北大附中河南分校2012校本課程數(shù)學(xué)培優(yōu)

1、北大附中河南分校2012-2013年校本課程數(shù)學(xué)培優(yōu)第三講 三角形的“五心”問題 邱常遠(yuǎn)l 三角形的五個“心”1.重心：三角形三條中線交點(diǎn).2.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn). 這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心。 3.內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn). 是三角形的內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心。4.垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).5.旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn).l 重心的性質(zhì):1.在ABC中，中線AD交BC于D, G是重心，則AG=2GD2.在中，A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)的重心G坐標(biāo)公式3.若O是的重心，則=4.內(nèi)角平分線定理：:

2、在ABC中，AD是交A的平分線BC于D,則l 三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心=.一、與三角形“四心”相關(guān)的向量問題1：已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足, . 則P點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心2：已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足, . 則P點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心3：已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足

3、, 則動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心4：已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足, 則動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心5：已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足, , 則動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心6：三個不共線的向量滿足= = 0，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 內(nèi)心 D. 外心7：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若, 則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C

4、. 重心 D. 垂心8：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(其中P為平面上任意一點(diǎn)), 則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心9：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心10：已知O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 內(nèi)心 D. 外心11：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心12：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心13：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(其中P是ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn))，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心二、與三角形形狀相關(guān)的向量問題14：已知非零向量和滿足且，則ABC為( )A. 三邊均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等邊三角形 D. 等邊三角形15：已知O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則ABC一定是( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等邊三角形16：已知a, b,