等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（5）（人教A版）中第二章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”（第一課時(shí)）本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實(shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問題同時(shí)，求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問題，通過對公式推導(dǎo)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問題方法二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì)，也對高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學(xué)提供了基礎(chǔ)；同時(shí)學(xué)生已有了函數(shù)知識，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲

2、透函數(shù)思想高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離，如何從首尾配對法引出倒序相加法，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙三、設(shè)計(jì)思想建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動地建構(gòu)知識的過程，因此，應(yīng)該讓學(xué)生在具體的問題情境中經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識與經(jīng)驗(yàn)，自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對新知識的建構(gòu)在教學(xué)過程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法通過設(shè)計(jì)一些從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過生生互動和師生互動等形式，讓學(xué)生在問題解決中學(xué)

3、會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)同時(shí)根據(jù)我校的特點(diǎn)，為了促進(jìn)成績優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，還設(shè)計(jì)了選做題和探索題，進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解決問題的能力，達(dá)到了分層教學(xué)的目的四、教學(xué)目標(biāo)1. 理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程；掌握并能熟練運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；了解倒序相加法的原理；2. 通過公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，滲透函數(shù)思想與方程（組）思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、反思的能力；通過小組討論學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨(dú)立思考等良好的個性品質(zhì)五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會用公式解決一些實(shí)際問題；難點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）

4、創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)的感悟和體驗(yàn) 世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？體展示三角形圖案）設(shè)計(jì)意圖 情境學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定的知識背景，即“情境”相聯(lián)系從實(shí)際問題入手，圖中蘊(yùn)含算數(shù)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的興趣，并且可引導(dǎo)學(xué)生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用，為新課的講解作鋪墊知識鏈接 高斯，德國著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。200多年前，高斯的算術(shù)教師提出了下面的問題：123+100？據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答

5、案：（1100）（299）（5051）101×505050.學(xué)情預(yù)設(shè)高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性教學(xué)時(shí)，應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律學(xué)生對高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對的方法來求和，但估計(jì)他們對這種方法的認(rèn)識可能處于記憶階段，為了促進(jìn)學(xué)生對這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了以下三道由易到難的問題（二）由易到難，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)問題1 圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？該題組織學(xué)生分組討論，在合作中學(xué)習(xí)，并把小組發(fā)現(xiàn)的方法一一呈現(xiàn)學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法方法1：原式（12350）51方法2：原式0125

6、051方法3：原式（12252751）26以上方法實(shí)際上是用了“化歸思想”，將奇數(shù)個項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個項(xiàng)求解，教師應(yīng)進(jìn)行充分肯定與表揚(yáng)設(shè)計(jì)意圖 這是求奇數(shù)個項(xiàng)和的問題，若簡單地摹仿高斯算法，將出現(xiàn)不能全部配對的問題，借此滲透化歸思想問題2：求圖案中從第1層到第n層（1n 100，nN*）共有多少顆寶石？學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生通過激烈的討論后，發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時(shí)不能配對，可能會分n為奇數(shù)、偶數(shù)的情況分別求解，教師如何引導(dǎo)學(xué)生避免討論成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵設(shè)計(jì)意圖 從求確定的前n個正整數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個正整數(shù)之和，讓學(xué)生領(lǐng)會從特殊到一般的研究方法，旨在讓學(xué)生對“首尾配對求和”這一算法的改進(jìn)啟發(fā)：（多媒體演示

7、）如右圖，在三角形圖案右側(cè)倒放一個全等的三角形與原圖補(bǔ)成平行四邊形設(shè)計(jì)意圖 借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學(xué)生記憶深處的東西，并為倒序相加法的出現(xiàn)提供了一個直接的模型通過以上啟發(fā)學(xué)生再自主探究，相信容易得出解法：1 + 2 + 3 +（n1） + n n +（n1）+ （n2）+ + 2 + 1_ (n+1) + (n+1) + (n+1) + +(n+1) + (n+1)1+2+3+n=問題3： 在公差為d的等差數(shù)列an中，定義前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+an，如何求Sn？由前面的大量鋪墊，學(xué)生應(yīng)容易得出如下過程：Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +a1+(n1)d S

8、n=an + (and) +（an2d）+an(n1)d (公式1)組織學(xué)生討論：在公式1中若將an=a1+（n1）d代入又可得出哪個表達(dá)式?即：（公式2）（三）設(shè)置典例，促進(jìn)學(xué)生對公式的應(yīng)用對于以上兩個公式，初學(xué)的學(xué)生在解決一些問題時(shí)，往往不知道該如何選取教師應(yīng)通過適當(dāng)?shù)睦右龑?dǎo)學(xué)生對這兩個公式進(jìn)行分析，根據(jù)公式各自的特點(diǎn)，幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的公式例1 為了參加冬季運(yùn)動會的5000m長跑比賽，某同學(xué)給自己制定了7天的訓(xùn)練計(jì)劃（單位：m）如下表：5000550060006500700075008000問這個同學(xué)7天一共將跑多長的距離？設(shè)計(jì)意圖 該例題是將課本P53習(xí)題2.3A組第3題改編成

9、表格形式，可以鍛煉學(xué)生處理數(shù)據(jù)信息的能力和選用公式的能力。學(xué)生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式1；也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式2，通過兩種方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)注意選擇適當(dāng)?shù)墓剑员阌谟?jì)算例2 已知等差數(shù)列5，4 ，3 ，求(1)數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列an的前幾項(xiàng)和為？(3)Sn的最大值為多少？并求出此時(shí)相應(yīng)的n的值。設(shè)計(jì)意圖 通項(xiàng)公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個基本元素，如果已知其中三個，就可求其余兩個，主要是訓(xùn)練學(xué)生的方程（組）思想。第（3）小題是讓學(xué)生初步接觸用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問題，為以后函數(shù)與數(shù)列的綜合打下基礎(chǔ)知識鏈接（1）由若令可知當(dāng)時(shí)，

10、點(diǎn)是在常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)圖象上，可由二次函數(shù)的知識解決的最值問題；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和（），則數(shù)列一定是等差數(shù)列；（3）由，可知，點(diǎn)在直線上；（4）在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，最小。（四）反饋調(diào)控，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對知識的掌握練習(xí)1 已知等差數(shù)列an的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求前n項(xiàng)和Sn.練習(xí)2 等差數(shù)列an中，a1= 4， a8= 18， n=8，求公差d及前n項(xiàng)和Sn.選做題 已知函數(shù)f（x）= ，則f（-5）+f（-4）+f（0）+f（5）+f（6）的值為 設(shè)計(jì)意圖 分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材基本任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟

11、，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實(shí)現(xiàn)“以人為本”的教育理念（五）回顧反思，深化知識組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法，小組之間互相補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的再次深化1.從特殊到一般的研究方法；2.體會倒序相加的算法，掌握等差數(shù)列的兩個求和公式，領(lǐng)會方程（組）思想；3. 前n項(xiàng)和公式的函數(shù)意義4、用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；知識鏈接（六）布置作業(yè)1.課本P52習(xí)題23，第1題（1）（3），第2題（3）（4），第5題2.探索題（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和= + + + + ，求；（2）若公差為d(d0）的等差數(shù)列中，= + + + ，你能否由題（1）的啟發(fā)，得到的表達(dá)式？七、教學(xué)反思“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對等差數(shù)列性質(zhì)的理解，而且該推導(dǎo)過程體現(xiàn)了人類研究、解決問