第11講平面與立體表面相交(2)

1、第11講 3-3 平面與立體相交（2）-平面與回轉(zhuǎn)體相交教學(xué)目標(biāo)：1、掌握截交線的基本特性；2、掌握求畫(huà)曲面立體的截交線的一般方法、步驟；教學(xué)重點(diǎn)：截交線的作圖方法教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)雜曲面立體的截交線的求法教學(xué)方法：結(jié)合實(shí)例課堂講解教學(xué)用具：多媒體教學(xué)過(guò)程：主要介紹特殊位置平面與幾種常見(jiàn)回轉(zhuǎn)體相交的截交線畫(huà)法。一、平面與圓柱相交由于截平面與圓柱軸線的相應(yīng)位置不同，平面截切圓柱所得的截交線有三種：矩形、圓及橢圓，見(jiàn)表-。另一情況，當(dāng)與圓柱軸線傾斜的截平面截到圓柱的上或下的底圓或上、下底圓均被截到時(shí)，截交線由一段橢圓與一段直線或兩段橢圓與兩段直線組成。例-求圓柱被正垂面截切后的投影（圖-）。分析由于圓柱

2、軸線垂直面，截平面垂直面且與圓柱軸線傾斜，故截交線為橢圓。截交線的正面投影積聚在截平面的正面投影v上；截交線的水平投影積聚在圓柱面的水平投影（圓）上；截交線的側(cè)面投影為橢圓，但不反映真形。由此可見(jiàn)，求次截交線主要是求其側(cè)面投影。可用面上取點(diǎn)法或線面交點(diǎn)法直接求出截交線上點(diǎn)的正面投影和水平投影，再求其側(cè)面投影后將各點(diǎn)連線即得（本例是用面上取點(diǎn)法）。作圖步驟（如圖-b所示）：（）求特殊點(diǎn)（如點(diǎn)、）由正面投影標(biāo)出正視轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)、，按點(diǎn)屬于圓柱面的性質(zhì)，可求得水平投影、及側(cè)面。同理，由正面投影標(biāo)出側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)的正面投影、（），可求得水平投影、及側(cè)面投影、。點(diǎn)、分別為截交線橢圓的最低點(diǎn)（最

3、左點(diǎn)）和最高點(diǎn)（最右點(diǎn)）；點(diǎn)、為橢圓的最前點(diǎn)和最后點(diǎn)。點(diǎn)、和點(diǎn)、也正是橢圓的長(zhǎng)軸、短軸的端點(diǎn)。（）求一般點(diǎn)可由有積聚性的水平投影上先標(biāo)出、和正面投影、（）、（），然后按點(diǎn)的投影規(guī)律求出側(cè)面投影、。依此可再求出若干一般點(diǎn)。（）判別可見(jiàn)性由于平面的上面部分圓柱被切掉，截平面左低右高，所以截交線的側(cè)面投影為可見(jiàn)的。（）依次光滑連接各點(diǎn)的側(cè)面投影、為一橢圓即為所求。注意圓柱截切后其側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線的側(cè)面投影應(yīng)分別畫(huà)到、處。例-由聯(lián)軸節(jié)接頭的直觀圖（圖-a）,畫(huà)出它的三面投影圖（圖-b）。分析 連軸節(jié)接點(diǎn)的主體為圓柱，其上端削扁部分是用左、右兩個(gè)平行于圓柱軸線的對(duì)稱的側(cè)平面P及垂直與圓柱軸線的水平面Q截切

4、而成。其下端開(kāi)槽部分是用前、后兩個(gè)平行于圓柱軸線的對(duì)稱的正平面S及與圓柱軸線垂直的水平面R截切而成。平面P、S與圓柱表面的截交線是直線，而平面Q、R與圓柱表面的截線為垂直于其軸線的同圓周上的兩段圓弧，故此例的圓柱的削扁與開(kāi)槽部分的截交線均可用線面交點(diǎn)法作出。 作圖步驟（如圖3-6b）：（1）按圖56b箭頭所指方向?yàn)檎嫱队胺较?，先?huà)出連軸節(jié)接軸主體（圓柱）的三面投影圖。（2）畫(huà)上斷削扁部分 由于截平面P為側(cè)平面，Q為水平面，因此，它們與圓柱的截交線的正面投影都有積聚性。與截平面P的截交線為側(cè)平矩形（面），其正面投影和水平投影都積聚為直線，分別積聚在v和P上，根據(jù)這兩面投影，可求出其反映真形為矩

5、形的側(cè)面投影，截平面Q與圓柱軸線垂直，與截平面Q的截交線為同圓周上的、左右對(duì)稱的兩段水平圓弧，其水平投影積聚在圓柱面有積聚性的左、右圓周上，其正面投影積聚在Q左、右兩邊，根據(jù)這兩面投影求出積聚在Q上的側(cè)面投影，注意其兩端點(diǎn)不與圓柱側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線的側(cè)面投影接觸。（3）畫(huà)下端開(kāi)槽部分 由于截平面S為正平面，R為水平面，因此它們與圓柱的截交線的側(cè)面投影都有積聚性。與截平面S的截交線為正平矩形（面），其側(cè)面投影和水平投影分別積聚成粗實(shí)直線和虛直線，分別積聚在S和S上。根據(jù)這兩面投影，可求出其反映真形為矩形的正面投影。截平面R與圓柱軸線垂直，與截平面R的截交線為同圓周上的、左右對(duì)稱的兩段水平圓弧，其水平

6、投影積聚在圓柱面有積聚性的左、右圓周上，其側(cè)面投影在積聚在R的中間，根據(jù)這兩面投影可求出積聚在R上左、右各一小段正面投影的粗實(shí)線，其間的一段虛線為槽底面不可見(jiàn)的有積聚性的證正面投影，也要畫(huà)出。以后注意，由于圓柱下端開(kāi)一左右向的通槽，正視轉(zhuǎn)向輪廓線的下端被切去了一段，作圖后應(yīng)擦去這一段的正面投影，用截平面S的截交線和截平面R的截交線的正面投影代替擦去的一段，成為下端圓柱正面投影的外形輪廓。二、平面與圓錐相交由于截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同，平面截切圓錐所得的截交線有五種：圓、橢圓、拋物線與直線組成的平面圖形，雙曲線與直線組成的平面圖形及過(guò)錐頂?shù)娜切危?jiàn)表3-2。另一情況，當(dāng)>且截平面截

7、到圓錐的底圓時(shí)，截交線由一段橢圓曲線與一段直線組成。除上述用面上取點(diǎn)法求圓柱截交線上的點(diǎn)外，還可以用下列輔助平面法求圓錐截交線上的點(diǎn)：輔助平面法是根據(jù)三面共點(diǎn)的幾何原理，采用加輔助平面，使其與截平面和立體的表面相交，求出與截平面相交的輔助交線和與立體表面相交的輔助截交線的交點(diǎn)，即為所求截交線上的點(diǎn)，依此，完成截交線上一系列點(diǎn)的投影 ，如圖3-7所示。圖3-7所示為一正放的圓錐被鉛垂面P截切，如求截交線上一般點(diǎn)D、E，則可采用輔助水平面R與截平面P和圓錐面相交的輔助交線和輔助截交線的焦點(diǎn)D、E三面相交的交點(diǎn)，即為所求截交線上的點(diǎn)。求共有點(diǎn)時(shí)，應(yīng)先求出特殊點(diǎn)。其次，為作圖準(zhǔn)確，還應(yīng)求出若干個(gè)一般點(diǎn)

8、，并使這些點(diǎn)分步均勻。例3-4 求圓錐被正平面P截切后的投影（圖3-8）。分析 由于圓錐軸線為鉛垂線，截平面P為正平面，故截交線由雙曲線和直線組成。截交線的正面投影反映真形，左右對(duì)稱；水平投影和側(cè)面投影分別成為橫向直線和豎向直線，且分別積聚在P、P上。因此，此例主要是求截交線的正面投影，可用線面交點(diǎn)法，面上取點(diǎn)法或輔助平面法作出。作圖步驟（如圖3-8b所示）：（1）求特殊點(diǎn)（如A、B、C） 截交線上的最坐點(diǎn)A和最右點(diǎn)B在底圓上，因此可由水平投影a、b在底圓的正面投影上定出a、b。截交線上的最高點(diǎn)C在圓錐最前側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線上，因此，可由側(cè)面投影c直接得到正面投影c。（2）求一般點(diǎn)（如D、E） 作

9、輔助水平面R的正面跡線R及側(cè)面跡線R，該輔助面與圓錐面交線的水平投影是以12為直徑的圓，它與P相交得d、e，再求出d、e和d、e，如圖3-7和圖3-8所示。（3）判別可見(jiàn)性 由于P平面前面部分圓錐被切掉，所以截交線的正面投影adceb為可見(jiàn)。（4）連線 按截交線水平投影的順序，將a、d、c、e、b、a光滑地連接起來(lái)，即得截交線的正面投影adceba（其中，adceb為圓錐面上的截交線的正面投影；ba為圓錐底面上的截交線的正面投影，它在圓錐底面的有積聚性的正面投影上）。例3-5求錐面被正垂面P截切后的投影（圖3-9）。分析 由于圓錐軸線為鉛垂線，截平面為正垂面，與圓錐軸線斜交，且與圓錐的所有素線

10、相交，故截交線為橢圓。截交線的正面投影積聚成一直線，水平投影個(gè)側(cè)面投影均為橢圓，但不反映真形。可采用面上取點(diǎn)法和線面交點(diǎn)法作出截交線的水平投影和側(cè)面投影。也可選用輔助平面法求解本題。在本例中也運(yùn)用輔助平面法來(lái)求作截交線上一些點(diǎn)的投影。作圖步驟（如圖3-9b所示）：（1）求特殊點(diǎn)（如A、B、C、D） 截交線上最底點(diǎn)A和最高點(diǎn)B，是橢圓長(zhǎng)軸上的兩個(gè)端點(diǎn)，它們的正面投影a、b是圓錐體正面投影左、右兩條正視轉(zhuǎn)向輪廓線與截平面相交的交點(diǎn)的正面投影，可以直接求出。水平投影a、b和側(cè)面投影a、b可按點(diǎn)從屬于線的原理直接求出。截交線的最前C和最后點(diǎn)D是橢圓短軸上的兩個(gè)端點(diǎn)，它們的正面投影c（d）為ab的中點(diǎn)，

11、可C、D兩點(diǎn)作輔助水平面Q截切，作出Q面與圓錐軸線產(chǎn)生的截交線（緯圓）的水平投影求得c、d,再由c、d和c、d求得c和d。、兩點(diǎn)是圓錐面前、后兩條側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線與截平面相交的交點(diǎn)，它們的正面投影1、2和側(cè)面投影1、2都可直接求出。其水平投影1、2可按點(diǎn)的三面投影關(guān)系求得。（2）求一般點(diǎn)（如點(diǎn)、） 可利用輔助平面法（圖中用輔助水平面R）求出、兩點(diǎn)的水平投影3、4和側(cè)面投影3、4。（3）判別可見(jiàn)性 截平面P上面部分圓錐被切掉，截平面左低右高，所以截交線的水平投影和側(cè)面投影均為可見(jiàn)。（4）連線 將截交線的水平投影和側(cè)面投影光滑地連成橢圓，連線時(shí)注意曲線的對(duì)稱性。也可用長(zhǎng)軸a b和短軸c d作橢圓，得

12、截交線的水平投影；用長(zhǎng)軸cd和短軸ab作橢圓，得截交線的側(cè)面投影。（5）整理外形輪廓線的側(cè)面投影。三、平面與圓球相交平面與圓球相交，不論截平面處于何種位置，其截交線都是圓。當(dāng)截平面通過(guò)球心時(shí)，這時(shí)截交線（圓）的直徑最大，等于球的直徑。截平面離球心越遠(yuǎn)，截交線圓的直徑越小。由于截平面對(duì)投影面位置的不同，截交線（圓）的投影也不相同。截平面平行于投影面時(shí)，截交線在該投影面上的投影為圓（圖3-10a、b）；截平面垂直于投影面時(shí)，截交線的投影積聚為直線（圖3-10c的正面投影）；截平面傾斜于投影面時(shí)，截交線的投影為橢圓（圖3-10c的水平、側(cè)面投影）。例3-6 求圓球被正垂面P截切后的投影（3-10c）

13、。分析 圓球被正垂面P截切后的截交線（圓），其正面投影積聚不在P上，為直線段ab且等于該圓的直徑。截交線（圓）的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓?？捎妹嫔先↑c(diǎn)法或輔助平面法作圖。作圖步驟（如圖3-10c所示）：（1） 求特殊點(diǎn)（如A、B、C、D、） 先求轉(zhuǎn)向輪廓上的點(diǎn)A和B、和、和。a和b、3和（4）、5和（6）分別是截交線上的正視轉(zhuǎn)向輪廓線、俯視轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)的正面投影，它們的水平投影和側(cè)面投影可按點(diǎn)屬于線的原理直接求出。其中，點(diǎn)A是截交線的最低點(diǎn)，也是最左點(diǎn)，點(diǎn)B是最高點(diǎn)也是最右點(diǎn)。求截交線（圓）的H面投影橢圓、W面投影橢圓的長(zhǎng)、段軸。在截交線（圓）的一對(duì)垂直相交的共軛直徑AB

14、是正平線，其正面投影ab的長(zhǎng)度等于截交線（圓）的直徑，它的側(cè)面投影ab和水平投影a b分別為這兩個(gè)投影橢圓的短軸。長(zhǎng)軸CD和短軸AB互相垂直平分，處為正垂線位置的長(zhǎng)軸CD的正面投影c（d）積聚在ab的中點(diǎn)上，水平投影c d和側(cè)面投影cd可利用緯圓法求得，也可利用c d= cd= ab直接求得（讀者自行分析其原因）。C、D兩點(diǎn)分別是截交線發(fā)最前點(diǎn)和最后點(diǎn)。（2）求一般點(diǎn)（如、） 可利用輔助平面法（圖中用輔助水平面Q）求出、兩點(diǎn)的水平投影1、2和側(cè)面投影1、2。（3）判別可見(jiàn)性 截平面P上面部分球體被切掉，截平面左低右高，所以截交線的水平投影和側(cè)面投影均為可見(jiàn)。（4）連線 將求得的截交線上點(diǎn)的水平

15、投影和側(cè)面投影光滑連成橢圓，連線時(shí)注意曲線的對(duì)稱性。也可用長(zhǎng)軸a b和短軸c d作橢圓，得截交線的水平投影；用長(zhǎng)軸cd和短軸ab作橢圓，得截交線的側(cè)面投影。（5）整理外形輪廓線 在水平投影上，球的俯視轉(zhuǎn)向輪廓線的水平投影只畫(huà)到3、4處，在側(cè)面投影上，球的側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線的側(cè)面投影只畫(huà)到5、6處。從上述諸例中可以看出，轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)是截交線（亦是后面相貫線）上曲線段的轉(zhuǎn)向（改變方向）點(diǎn)，故轉(zhuǎn)向輪廓線因此而得名。例3-7 見(jiàn)圖3-11a，畫(huà)出球筏芯的投影圖。分析 球筏芯的主體為圓球，有一個(gè)過(guò)球心的圓柱橫孔，左右兩端被兩個(gè)側(cè)平面S截成兩個(gè)側(cè)平圓，且左、右對(duì)稱，直徑相等，球體上部開(kāi)一前后、左右對(duì)稱穿通

16、的凹槽，凹槽由兩個(gè)側(cè)平面P和一個(gè)水平面Q組成。兩個(gè)P面與球的截交線是平行側(cè)面的兩段相同的圓弧，其側(cè)面投影重合。Q面與球的截交線為同一圓周上的前后兩段對(duì)稱的水平圓弧，兩個(gè)P面與Q 面之間的兩條交線為正垂線?？梢杂镁晥A法作出凹槽上平面P、Q與球面截交線的側(cè)面投影和水平投影的圓弧。作圖步驟（如圖3-11b所示）（1）作兩側(cè)平面S與球的截交線，其正面投影和水平投影均分別積聚為直線，側(cè)面投影反映截交線圓弧的真形。應(yīng)該注意，由于左、右兩側(cè)個(gè)被切掉一段球面，作圖后，應(yīng)擦去正視轉(zhuǎn)向輪廓線的正面投影和俯視轉(zhuǎn)向輪廓線的水平投影的左、右個(gè)一段圓弧，再作出軸線橫過(guò)球心的圓柱孔的三面投影。（2）作凹槽兩側(cè)平面P與球的截

17、交線，其正面投影積聚在P上，水平投影積聚成直線，側(cè)面投影反映截交線為圓弧的真形，其半徑為R。應(yīng)該注意，由于球的頂部中間凹槽切掉一段球面，作圖后，應(yīng)擦去球的這一段側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線的側(cè)面投影。（3）作凹槽底面（水平面）Q與球的截交線，其水平投影反映為同一圓周上的前后對(duì)稱的兩段圓弧的真形，其半徑為R1，正面投影積聚在Q上，根據(jù)這兩個(gè)投影，可求出側(cè)面投影積聚成可見(jiàn)的同一圓周上的前后對(duì)稱的兩小段粗實(shí)直線，其間一段虛線為凹槽底面不可見(jiàn)的有積聚性的側(cè)面投影，也應(yīng)該畫(huà)出。四、平面與組合回轉(zhuǎn)體相交組合回轉(zhuǎn)體由若干基本回轉(zhuǎn)體組成。平面與組合回轉(zhuǎn)體相交，則形成組合截交線。作圖時(shí)首先要分析各部分的曲面性質(zhì)及其分界線，然

18、后按照它們各自的幾何特性確定其截交線的形狀，再分別作出。例3-8 圖3-12a所示為一頂尖，畫(huà)出它的投影圖。分析 頂尖由一同軸的圓錐和圓柱組成，其上切去的部分可以看成被水平面P和正垂面Q截切而成。平面P與圓錐面的截交線為雙曲線，與圓柱面的截交線為兩平行直線，它們的水平投影均反映真形，而正面投影和側(cè)面投影分別積聚在P和P上。平面Q截切圓柱的范圍只截切到P面為止，故與圓柱面的截交線是一段橢圓弧，其正面投影積聚在Q上，側(cè)面投影積聚在圓柱的側(cè)面投影上，而水平投影為橢圓弧但不反映真形。所以，頂尖上的整個(gè)截交線是由雙曲線、兩平行直線和橢圓弧組成的。作圖時(shí)，對(duì)截交線為兩平行直線的部分，可利用圓柱投影的積聚性

19、直接求得，而截交線為雙曲線和橢圓弧的部分，則需要運(yùn)用輔助平面法或面上取點(diǎn)線法進(jìn)行作圖。作圖步驟（如圖3-12b所示）：（1）畫(huà)出組成頂尖主體（圓錐、圓柱）的三面投影圖（2）畫(huà)出三段截交線的分界點(diǎn) 先求出雙曲線與矩形、矩形與橢圓的分界點(diǎn)B、C和E、D的正面投影b、（c）和e、（d），再求其側(cè)面投影b、c和（e）、（d），最后求其水平投影b、c和e、d。（3）畫(huà)左邊雙曲線的投影 求特殊點(diǎn)：雙曲線的頂點(diǎn)A和末端兩點(diǎn)B和C（即為中間截交線為兩平行直線左邊兩端點(diǎn)）。先在正面投影上確定a,然后求得它的其它兩個(gè)投影a、a。再求一般點(diǎn)，如和兩點(diǎn)，可用輔助側(cè)平面R求得。用曲線光滑地連接各點(diǎn)，即得雙曲線的水平投影

20、，其正面投影和側(cè)面投影分別積聚在P和P上。（4）畫(huà)右邊橢圓弧的投影 先求特殊點(diǎn)F、E和D（中間截交線為兩平行直線右邊兩端點(diǎn)），即先在正面投影上確定f，就可求得它的其它兩個(gè)投影f、f。再求一般點(diǎn)，如和兩點(diǎn)，可根據(jù)其截交線的正面投影和側(cè)面投影有積聚性，定出3、4和3、4，再求得水平投影3、4。用曲線光滑地連接各點(diǎn)，即得橢圓弧的水平投影，其正面投影積聚在Qv上，側(cè)面投影積聚在圓柱的側(cè)面投影上。（5）畫(huà)中間直線部分的投影 將b和e、c和d相連成粗實(shí)線（即為P面與圓柱面截切的截交線為兩平行直線的水平投影），其正面投影積聚在P上，側(cè)面投影積聚在P上，將d和e相連成粗實(shí)線（兩截平面P、Q交線的水平投影），b和c改畫(huà)成虛線（下半部圓錐和圓柱同軸相貫的交線不可見(jiàn)圓弧線段的投影），即得這段不可見(jiàn)相貫線的水平投影。其正面投影積聚成直線，側(cè)面投影積聚在有積聚性的圓柱的側(cè)面投影（圓）上。例3-9 圖3-13a所示為一連桿頭，畫(huà)出它的投影圖。分析 連桿頭由組合回轉(zhuǎn)體切割而成。這個(gè)組合回轉(zhuǎn)體的左端是圓柱，中段是內(nèi)環(huán)臺(tái)的一部分，右段是圓球，它們之間是同軸相貫的光滑過(guò)渡。用兩個(gè)前后對(duì)稱的正平截平面P截切這個(gè)組合回轉(zhuǎn)體，再開(kāi)一個(gè)正垂圓柱孔，就形成了這個(gè)連桿頭。截平面P為正平面，它與右段球面的截交線為圓，與中段內(nèi)環(huán)面的截交線為一般曲線，與左