函數(shù)的單調(diào)性的題型分類及解析

1、 函數(shù)的單調(diào)性 知識(shí)點(diǎn) 1、增函數(shù)定義、減函數(shù)的定義：（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，區(qū)間MA，如果取區(qū)間M中的任意兩個(gè)值,當(dāng)改變量時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間M上是增函數(shù)，如圖（1）當(dāng)改變量時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間M上是減函數(shù)，如圖（2）注意：?jiǎn)握{(diào)性定義中的x1、x2有什么特征：函數(shù)單調(diào)性定義中的x1,x2有三個(gè)特征,一是任意性，二是有大小，三是同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間1、 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義思考：由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)<f(x2)能否推出x1<x2(x1>x2)2、 我們來(lái)比較一下增函數(shù)與減函數(shù)定義中的符號(hào)規(guī)律，你有什么發(fā)現(xiàn)沒(méi)有？3、 如果將增函數(shù)中的“當(dāng)時(shí)，都

2、有”改為當(dāng)時(shí)，都有結(jié)論是否一樣呢？4、 定義的另一種表示方法如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1,x2,若即，則函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，若即，則函數(shù)y=f(x)為減函數(shù)。判斷題：已知因?yàn)椋院瘮?shù)是增函數(shù)若函數(shù)滿足則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù).通過(guò)判斷題，強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))單調(diào)性是對(duì)定義域的某個(gè)區(qū)間上的整體

3、性質(zhì)，不能用特殊值說(shuō)明問(wèn)題。 函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)（2）單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)yf（x）在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)yf（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做yf（x）的單調(diào)區(qū)間函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)：（1）增函數(shù)：如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值， 當(dāng)時(shí)，都有， （2）減函數(shù)：如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)， 都有， （3） 函數(shù)的單調(diào)性還有以下性質(zhì)1函數(shù)yf（x）與函數(shù)yf（x）的單調(diào)性相反2當(dāng)f（x）恒為正或恒為負(fù)時(shí)，函數(shù)y與yf（x）的單調(diào)性相反3在公共區(qū)間內(nèi)

4、，增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)等4 .如果k>0 函數(shù)k與函數(shù)具有相同的單調(diào)性。 如果k<0 函數(shù)k與函數(shù)具有相反的單調(diào)性。 5.若0，則函數(shù)與具有相反的單調(diào)性,. 6. 若>O，函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性。 若 <0，函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性 7。.函數(shù)在R上具有單調(diào)性，則在R上具有相反的單調(diào)性。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。如果函數(shù) ，則稱為x 的復(fù)合函數(shù)。解決復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清復(fù)合的過(guò)程，即中間變量的定義域與值域的作用。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷：同增異減。函數(shù) 單調(diào)狀況內(nèi)層函數(shù)增增減減外層函數(shù)增減增減復(fù)合函數(shù)增減減增 函數(shù)的單調(diào)性題型分類講解題型一：.單調(diào)性

5、討論 1.討論函數(shù)y=(k-2)x+3(a0)在區(qū)間R內(nèi)的單調(diào)性. 2.討論函數(shù)f(x) (a0)在區(qū)間(-1，1)內(nèi)的單調(diào)性.解：設(shè)-1x1x2，則f(x1)-f(x2)-x1，x2(-1，1)，且x1x，x1-x20，1+x1x20，(1-x21)(1-x22)0 于是，當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)；當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2). 故當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在(-1，1)上是增函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在(-1，1)上為減函數(shù).題型二：?jiǎn)握{(diào)性判斷與證明1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)的是Ay|x21| B. Cy2x2x1 Dy|x|1題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及該區(qū)間上的單調(diào)性1.求下列函數(shù)

6、的增區(qū)間與減區(qū)間(1)y|x22x3| 2.判斷函數(shù)f(x)=x3+1在(,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；如果x（0，），函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？題型四：.已知簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性求與其相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性若函數(shù)yax,y在（0，）上都是減函數(shù)，則函數(shù)yax2bx在（0,）上是_（填單調(diào)性） 設(shè)y=f(x)的單增區(qū)間是(2，6)，求函數(shù)y=f(2x)的單調(diào)區(qū)間上是單調(diào)遞減的。），（在，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知是單減的，上在又），（），（而）上是增函數(shù)，（在則由已知得解：令04)()2()0,4(2)(04622)(62)(,2)(Î=-Î-=Î&

7、#206;-=Î-=xxtfxfxxxtxxxtttfxxt解：令t(x)=2-x,則由已知得，f(t)在區(qū)間是(2，6)，設(shè)函數(shù)yf（x）是定義在（1，1）上的增函數(shù)，則函數(shù)yf（x21）的單調(diào)遞減區(qū)間是_已知函數(shù)f(x)=82xx2，如果g(x)=f( 2x2 )，那么函數(shù)g(x)（ ） A在區(qū)間(1，0)上是減函數(shù) B在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù) C在區(qū)間(2，0)上是增函數(shù) D在區(qū)間(0，2)上是增函數(shù)設(shè)是上的減函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為 .題型五：已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍。已知函數(shù)f(x)x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-，4上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .已知函

8、數(shù)yx22x1在區(qū)間3，a上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_函數(shù)f(x) = ax24(a1)x3在2，上遞減，則a的取值范圍是_ 函數(shù)在區(qū)間（-2，+）上是增函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A.B.C.a<-1或a>1D.a>-2解：f(x)a.任取x1，x2(2，)，且x1<x2，則f(x1)f(x2).函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上為增函數(shù)，f(x1)f(x2)<0.x2x1>0，x12>0，x22>0，12a<0，a>. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.題型六：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用11已知f(x)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)，a、bR且ab0，則下列不等式

9、中正確的是（ ）Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)12定義在R上的函數(shù)y=f(x)在(，2)上是增函數(shù)，且y=f(x2)圖象的對(duì)稱軸是x=0，則（ ）Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f(3)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)，且f(a)f(b)0，則方程f(x)=0在區(qū)間a，b內(nèi)（ ）A至少有一實(shí)根 B至多有一實(shí)根 C沒(méi)有實(shí)根 D必有唯一的實(shí)根題型七：已知函數(shù)的單調(diào)性，解含函數(shù)符號(hào)的不等式。7已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，1)、B(3，1)

10、是其圖象上的兩點(diǎn)，那么不等式 |f(x1)|1的解集的補(bǔ)集是（ ） A(1，2) B(1，4) C(，1)4，） D(，1)2，） 已知：f(x)是定義在1，1上的增函數(shù)，且f(x1)<f(x21)求x的取值范圍已知函數(shù)f(x)若f(2a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(2，) B(1,2) C(2,1) D(，2)(1，)解析：f(x)由f(x)的圖象可知f(x)在(，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，由f(2a2)>f(a)得2a2>a，即a2a2<0，解得2<a<1.故選C.8.已知f(x)在其定義域R+上為增函數(shù)，f(2)=1，f(xy)=

11、f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x2) 3題型八：已知函數(shù)的單調(diào)性求最值已知x0，1，則函數(shù) 的最大值為_(kāi)最小值為_(kāi) 函數(shù)y=x22的值域?yàn)開(kāi) _題型九：綜合題型已知定義在區(qū)間（0，+）上的函數(shù)f(x)滿足f(=f(x1)-f(x2)，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判斷f(x）的單調(diào)性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。（2）當(dāng)0 < x < y時(shí)，y/x > 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f單調(diào)減。（3）f(3) = -

12、1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而 f（x)-2 = f(9)，且f單調(diào)減，所以| x | > 9 x9或x-9.函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.（1）設(shè)x1,x2R，且x1x2, 則x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. f（x2）f(x1).即f(x)是

13、R上的增函數(shù). （2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3，原不等式可化為f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函數(shù)，3m2-m-22, 解得-1m ,故解集為 . 設(shè)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），且在（0，+）是遞增的，（1）求證：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）設(shè)f（2）=1，解不等式。（1）證明：，令x=y=1，則有：f（1）=f（1）-f（1）=0，。（2）解：，2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），等價(jià)于：，且x>0，x-3>0由f（x）定義域?yàn)椋?，+）可得，4>0，又f（x）在（

14、0，+）上為增函數(shù)，。又x>3，原不等式解集為：x|3<x4。12.已知函數(shù)f(x)(a1)(1)若a>0，則f(x)的定義域是_；(2)若f(x)在區(qū)間(0,1上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：(1)當(dāng)a>0且a1時(shí)，由3ax0得x，即此時(shí)函數(shù)f(x)的定義域是；(2)當(dāng)a1>0，即a>1時(shí)，要使f(x)在(0,1上是減函數(shù)，則需3a×10，此時(shí)1<a3.當(dāng)a1<0，即a<1時(shí)，要使f(x)在(0,1上是減函數(shù)，則需a>0，此時(shí)a<0.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，0)(1,313. 定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)

15、，且對(duì)任意的，有. (1)求的值；(2)求證：對(duì)任意的，恒有；(3)若，求的取值范圍. 解：（1）解：令，則又，. （2）證明：當(dāng)時(shí)，又時(shí)，對(duì)任意的，恒有. （3）解：設(shè)，則. . 又=.是上的增函數(shù).由，得.，所求的x的取值范圍為 14.已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)解法一：函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，yR總有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1>x2，則x1x2&

16、gt;0，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x>0時(shí)，f(x)<0，而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)因此f(x)在R上是減函數(shù)解法二：設(shè)x1>x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x>0時(shí)，f(x)<0，而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在R上為減函數(shù)(2)f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)在3,3上也是減函數(shù)，f(x)在3,3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值為2，最小值為2.17.F(x)是定義在( 0，)上的增函數(shù)，且f() = f(x)f(y) （1）求f(1)的值 （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f() 2 解析：在等式中，則f(1)=0在等式中令x=36，y=6則 故原不等式為：即fx(x3)f(36)，又f(x)在(0，)上為增函數(shù)，故不等式等價(jià)于：22已知函數(shù)f(x)=，x1，（1）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)