函數(shù)與方程復(fù)習(xí)講義

1、 1 .函數(shù)與方程復(fù)習(xí)講義 一 【目標(biāo)要求】 結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系， 判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù) 會理解函數(shù)零點存在性定理，會判斷函數(shù)零點的存在性. 二 【基礎(chǔ)知識】 1 1函數(shù)零點的概念：函數(shù)零點的概念： 對于函數(shù))(xfy ，我們把方程0)(xf的實數(shù)根叫做函數(shù))(xfy 的零點。 2 2函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：函數(shù)零點與方程根的關(guān)系： 方程0)(xf有實數(shù)根函數(shù))(xfy 的圖象與x軸有點函數(shù))(xfy 有零點零點 3 3函數(shù)零點的存在性定理：函數(shù)零點的存在性定理： 如 果 函 數(shù))(xfy 在 區(qū) 間, a b上 的 圖 像 是 一 條 連 續(xù) 不

2、 斷 的 曲 線 ， 并 且有 0)()(bfaf，那么，函數(shù))(xfy 在區(qū)間, a b內(nèi)有零點，即存在),(0bax ，使得0)(0 xf，這個0 x也就是方程0)(xf的根。 注：若( )0( )0f xf x或恒成立，則沒有零點。 三 【技巧平臺】 1.1.對函數(shù)零點的理解及補充對函數(shù)零點的理解及補充 （1）若)(xfy 在xa處其函數(shù)值為 0，即( )0f a ，則稱a為函數(shù)( )f x的零點。 （2）變號零點與不變號零點 若函數(shù)( )f x在零點0 x左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，則稱該零點為函數(shù)( )f x的變號零點。 若函數(shù)( )f x在零點0 x左右兩側(cè)的函數(shù)值同號，則稱該零點為函數(shù)

3、( )f x的不變號零點。 若函數(shù)( )f x在區(qū)間, a b上的圖像是一條連續(xù)的曲線，則0)()(bfaf是( )f x在區(qū)間, a b內(nèi)有零點的充分不必要條件。 （3）一般結(jié)論：函數(shù))(xfy 的零點就是方程0)(xf的實數(shù)根。從圖像上看，函數(shù))(xfy 的零點，就是它圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)。 （4）更一般的結(jié)論：函數(shù)( )( )( )F xf xg x的零點就是方程( )( )f xg x的實數(shù)根，也 就是函數(shù)( )yf x與( )yg x的圖像交點的橫坐標(biāo)。 2 2.2.函數(shù)函數(shù))(xfy 零點個數(shù)（或方程零點個數(shù)（或方程0)(xf實數(shù)根的個數(shù)）確定方法實數(shù)根的個數(shù)）確定方法 1) 代

4、數(shù)法：函數(shù))(xfy 的零點( )0f x的根 2) 幾何法：有些不容易直接求出的函數(shù))(xfy 的零點或方程0)(xf的根，可利用)(xfy 的圖像和性質(zhì)找出零點。畫 3) 注意二次函數(shù)的零點個數(shù)問題 0 )(xfy 有 2 個零點( )0f x有兩個不等實根 0 )(xfy 有 1 個零點( )0f x有兩個相等實根 0 )(xfy 無零點( )0f x無實根 對于二次函數(shù)在區(qū)間, a b上的零點個數(shù)，要結(jié)合圖像進行確定 4) 對于函數(shù)( )( )( )F xf xg x的零點個數(shù)問題， 可畫出兩個函數(shù)圖像， 看其交點個數(shù)有幾個，則這些交點橫坐標(biāo)有幾個不同的值就有幾個零點。 5) 方程的根

5、或函數(shù)零點的存在性問題，要以根據(jù)區(qū)間端點處的函數(shù)值乘積的正負(fù)來確定，但要確定零點的個數(shù)還需進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性， 在給定的區(qū)間上， 如果函數(shù)是單調(diào)的，它至多有一個零點，如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)細(xì)分出小的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合這些小的區(qū)間的端點處的函數(shù)值的正負(fù)，作出正確的判斷。 6) 要特別注意數(shù)形結(jié)合解出方程解的個數(shù)的問題。 3.3.一元二次函數(shù)的零點、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之間的關(guān)一元二次函數(shù)的零點、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之間的關(guān)系。系。 3 為學(xué)習(xí)的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程時，把二次項系數(shù)a化為正數(shù)， （1）20(0)axbxca恒成立00a

6、 ，20(0)axbxca恒成立00a （2）20axbxc的解集為 R0000aabc 或 20a xb xc的解集為 R0000aabc 或 （3）對于二次函數(shù)在區(qū)間, a b上的最值問題，參照第 1.5（1）和 1.5（2）節(jié) 4.4.用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 給定精確度，用二分法求方程的近似解的基本步驟如下： 1.精確區(qū)間, a bD，使( )(0)f af b.令00,aa bb. 2.取區(qū)間00,a b的中點0001()2xab,計算000(),(),()f xf af b 一般步驟 (1)如果0()0f x,則0 x就是( )f x的零點, 計算終止； (2)

7、 如果00() ()0f af x,則零點位于區(qū)間00,a x,令1010,aa bx； (3) 如果00() ()0f af x,則零點位于區(qū)間00,x b令1010,ax bb。 3. 取區(qū)間11,a b的中點1111()2xab,計算1( )f x (1)如果1( )0f x,則0 x就是( )f x的零點, 計算終止； (2) 如果11() ( )0f af x,則零點位于區(qū)間00,a x,令2121,aa bx； (3) 如果11() ( )0f af x,則零點位于區(qū)間00,x b令1121,ax bb。 4判斷是不是達(dá)到精確度,即如果ab,則得到零點近似值 a 或(b)； 否則就

8、重復(fù)步驟 2-4 函數(shù)與方程復(fù)習(xí)題 1.(2015 安徽 2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是（ ） （A）ycosx （B）ysin x （C）yln x （D）21yx 【答案】A 4 2.( 2015 天津 8)已知函數(shù) 22,2,2,2,xxf xxx 函數(shù) 2g xbfx ，其中bR，若函數(shù) yf xg x 恰有 4 個零點，則b的取值范圍是( ) （A）7,4 （B）7,4 （C）70,4 （D）7,24 【答案】D【解析】由 22,2,2,2,xxf xxx得222,0(2),0 x xfxxx， 所以222,0( )(2)42,0222(2) ,2xxxyf xfxxxxx

9、xx ， 即222,0( )(2)2,0258,2xxxyf xfxxxxx ( )( )( )(2)yf xg xf xfxb,所以 yf xg x恰有 4 個零點等價于方程 ( )(2)0f xfxb有 4 個不同的解，即函數(shù)yb與函數(shù)( )(2)yf xfx的圖象的 4 個公共點，由圖象可知724b. 864224681510551015 【考點定位】求函數(shù)解析、函數(shù)與方程思、數(shù)形結(jié)合. 3.(2015 湖南 15)已知32,( ),xxaf xxxa，若存在實數(shù)b，使函數(shù)( )( )g xf xb有兩個零 5 點，則a的取值范圍是 . 【答案】), 1 ()0 ,(. 【解析】試題分析

10、：分析題意可知，問題等價于方程)(3axbx與方程)(2axbx的 根的個數(shù)和為2，若兩個方程各有一個根：則可知關(guān)于b的不等式組ababab31有解， 23aba，從而1a；若方程)(3axbx無解，方程)(2axbx有 2 個根：則 可知關(guān)于b的不等式組abab31有解，從而0a，綜上，實數(shù)a的取值范圍是 ), 1 ()0 ,(. 4.(2015 北京 14)設(shè)函數(shù) 21421.xaxf xxaxax 若1a ，則 f x的最小值為 ； 若 f x恰有 2 個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 【答案】(1)1，(2)112a或2a. 【解析】1a時， 2114121.xxf xxxx，函數(shù)( )f

11、 x在(,1)上為增函數(shù)，函數(shù)值大于 1，在31, 2為減函數(shù)，在3,)2為增函數(shù)，當(dāng)32x時，( )f x取得最小值為 1； （2）若函數(shù)( )2xg xa在1x時與x軸有一個交點，則0a，并且當(dāng)1x時，(1)2ga0，則02a，函數(shù)( )4()(2 )h xxaxa與x軸有一個交點，所以21且1aa112a； 6 若函數(shù)( )2xg xa與x軸有無交點，則函數(shù)( )4()(2 )h xxaxa與x軸有兩個交點，當(dāng)0a時( )g x與x軸有無交點，( )4()(2 )h xxaxa在1x與x軸有無交點， 不合題意； 當(dāng)(1)20ha時，2a，( )h x與x軸有兩個交點，xa和2xa， 由于

12、2a， 兩交點橫坐標(biāo)均滿足1x； 綜上所述a的取值范圍112a或2a. 5.(2015 江蘇 13)已知函數(shù)|ln|)(xxf，1, 2|4|10 , 0)(2xxxxg，則方程1| )()(|xgxf實根的個數(shù)為 【答案】4【解析】由題意得：求函數(shù)( )yf x與1( )yg x 交點個數(shù)以及函數(shù)( )yf x與1( )yg x 交點個數(shù)之和，因為221,011( )7,21,12xyg xxxxx ，所以函數(shù)( )yf x與1( )yg x 有兩個交點，又221,011( )5,23,12xyg xxxxx ，所以函數(shù)( )yf x與1( )yg x 有兩個交點，因此共有 4 個交點 6.

13、(2014 山東 08）已知函數(shù) 12 xxf, kxxg.若方程 xgxf有兩個不相等的實根，則實數(shù) k 的取值范圍是 （A），（210（B），（121（C），（ 21（D），（2 【答案】B【解析】畫出 f x的圖象最低點是2,1， g xkx過原點和2,1時斜率最小為12，斜率最大時 g x的斜率與 1f xx的斜率一致。 7.(2014 天津 14）已知函數(shù)2( ) |3 |f xxx，xR.若方程( )|1| 0f xa x恰有 4 個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為_. 【答案】01a. 【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出yf(x)與ya|x1|的圖像如圖所示當(dāng)ya|x1| 7 與y

14、f(x)的圖像相切時，由axax23x，a0，整理得x2(3a)xa0，則 (3a)24aa210a90，解得a1 或a9.故當(dāng)ya|x1|與yf(x) 的圖像有四個交點時，0a9. 8.(2014 江蘇 13 ）已知)(f x是定 義在R上且周期 為 3 的 函數(shù)， 當(dāng))3 , 0 x時，|212|)(2xxxf axf)(y在區(qū)間4 , 3上有 10 個零點（互不相同） ，則實數(shù)a的取值范圍是 【答案】)21, 0(【解析】 根據(jù)題目條件， 零點問題即轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合， 通過找)(xfy 與ay 的圖象交點去推出零點，先畫出0,3上2122xxy的圖像，再將x軸下方的圖象對稱 到上方，利用周

15、期為 3，將圖象平移至4 , 3，發(fā)現(xiàn)若)(xf圖象要與ay 有 10 個不同的交點，則)21, 0(a 9 已經(jīng)函數(shù)21( )()sin ,23xf xx aRaa， 則( )f x在0， 2上的零點個數(shù)為 （ B ） A1 B2 C3 D4 10下列函數(shù)中，在(0,)2上有零點的函數(shù)是（ D ） A( )sinf xxx B2( )sinf xxx C2( )sinf xxx D22( )sinf xxx 11. 設(shè)定義在 R 上的函數(shù)3, 13,|3|1)(xxxxf，若關(guān)于 x 的方程 f2(x) +af(x) +b=O 有 5個不同實數(shù)解,則實數(shù) a 的取值范圍是（D ） A.(0,

16、1) B.(- ,-1) C.(1，+ ) D. ( -，2) U ( 2， 1) 8 12.已知函數(shù)4( )f xx與 g(x)=x3+t，若 f(x)與 g(x)的交點在直線 y = x 的兩側(cè)，則實數(shù) t 的取值范圍是（ B ） A. (-6， 0 B. ( -6,6) C. (4,+ ) D. ( -4,4) 13“m1”是“函數(shù)f(x)x22xm有零點”的（A ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 14設(shè)函數(shù)f(x)1x，g(x)ax2bx（a，bR R，a0） ，若yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1，y1)，

17、B(x2，y2)，則下列判斷正確的是（D ） A當(dāng)a0 時，x1x20，y1y20 B當(dāng)a0 時，x1x20，y1y20 C當(dāng)a0 時，x1x20，y1y20 D當(dāng)a0 時，x1x20，y1y20 15.設(shè)函數(shù) f（x） （xR）滿足 f（x）f（x） ，f（x）f（2x） ，且當(dāng) x0,1時，f（x）x2，又函數(shù) g（x）xcos（x），則函數(shù) h（x）g（x）f（x）在1 3, 2 2上的零點個數(shù)為（B ） A、5 B、6 C、7 D、8 16 （2013 年重慶） 若abc,則函數(shù) f xx ax bx bx cx cx a的兩個零點分別位于區(qū)間( ) A., a b和, b c內(nèi) B.

18、,a和, a b內(nèi) C., b c和, c 內(nèi) D.,a和, c 內(nèi) 【答案】A 17 （2013 年湖南）函數(shù) 2lnf xx的圖像與函數(shù) 245g xxx的圖像的交點個數(shù)為（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 18 （2013 年天津數(shù)學(xué)）函數(shù)0.5( )2 |log| 1xf xx的零點個數(shù)為（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】B 19 （2013 上海）方程1313313xx的實數(shù)解為_ 【答案】3log 4x . 20.(2012 遼寧 11)設(shè)函數(shù)f(x)()xR滿足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)， 且當(dāng)0,1x時，f(x)=x3

19、.又函數(shù)g(x)=|xcos()x|， 則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在1 3, 2 2上的零點個數(shù)為 （ ） (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】B 9 21.(2012 湖北 9)函數(shù)2( )cosf xxx在區(qū)間0,4上的零點個數(shù)為（ ） A4 B5 C6 D7 【答案】C 22.(2012 天津 14)已知函數(shù)112xxy的圖象與函數(shù)2 kxy的圖象恰有兩個交點，則實數(shù) k 的取值范圍是_. 【答案】10 k或41 k 23、 已知( )ln2f xxx，( )ln2g xxxx在1,上都有且只有一個零點，( )f x的零點為1x，( )g x的零點為2x，則（ A ）

20、 A2112xx B1212xx C1212xx D212xx 24.(2012 江蘇 17)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單 位 長 度 為 1 千 米 某 炮 位 于 坐 標(biāo) 原 點 已 知 炮 彈 發(fā) 射 后 的 軌 跡 在 方 程221(1)(0)20ykxkx k表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo) （1）求炮的最大射程； （2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為 3.2 千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時， 炮彈可以擊中它？請說明理由 【答案】【答案】解： （1）在221(1)(0)20ykxkx k

21、中，令0y ，得221(1)=020kxkx。 由實際意義和題設(shè)條件知00 xk ，。 2202020=10112kxkkk，當(dāng)且僅當(dāng)=1k時取等號。 炮的最大射程是 10 千米。 （2）0a，炮彈可以擊中目標(biāo)等價于存在0k ，使221(1)=3.220kaka成立，即關(guān)于k的方程2222064=0a kaka有正根。 由222=204640aaa得6a 。 此時，22222020464=02aaaaka（不考慮另一根） 。 10 當(dāng)a不超過 6 千米時，炮彈可以擊中目標(biāo)。 25用“二分法”求方程0523 xx在區(qū)間3 , 2的實數(shù)根，取區(qū)間中點為5 . 20 x，那么下一個有根的區(qū)間是 ；2

22、，2.5 26用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù))(xfy 在)2 , 1 (x內(nèi)零點近似值的過程中得到0) 1 (f，0)5 . 1 (f，0)25. 1 (f，則函數(shù)的零點落在區(qū)間（ B ） A （1，1.25） B （1.25，1.5） C （1.5，2） D無法確定 27已知函數(shù))(xf在區(qū)間), 0(a)0(a上有唯一的零點，在用二分法尋找零點的過程中，依次確定了零點所在的區(qū)間為)2, 0(a，)4, 0(a，)8, 0(a，則下列說法中正確的是（ B ） A函數(shù))(xf在區(qū)間)16, 0(a內(nèi)一定有零點 B函數(shù))(xf在區(qū)間)16, 0(a或)8,16(aa有，或零點是16a C函數(shù))

23、(xf在區(qū)間)16, 0(a內(nèi)無零點 D函數(shù))(xf在區(qū)間)16, 0(a或)8,16(aa有零點 28下列函數(shù)中能用二分法求零點的是（ B ） A B C D 29已知函數(shù))(xf的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，)(xf對應(yīng)值表 x 1 2 3 4 5 6 )(xf 123.56 21.45 -7.82 11.57 -51.76 -126.49 函數(shù))(xf在區(qū)間1，6上的零點至少有（ B ） A2 B3 個 C4 個 D5 個 30.如果函數(shù)32( )22f xxxx的一個正零點附近的函數(shù)值用二分法計算，起參考數(shù)據(jù)如下 x 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 ( )f x 2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 -0.054 則方程32220 xxx的一個近似解（精確到 0.1）為 C A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 yxOyxOyxOyxO 11 31. 求方程( )0f x 在區(qū)間0,1內(nèi)的近似根, 用二分法計算到10