定積分與微積分基本定理練習(xí)題及答案

1、1.4定積分與微積分基本定理練習(xí)題及答案1.(2011寧夏銀川一中月考)求曲線yx2與yx所圍成圖形的面積，其中正確的是()AS(x2x)dxBS(xx2)dxCS(y2y)dy DS(y)dy答案B分析根據(jù)定積分的幾何意義，確定積分上、下限和被積函數(shù)解讀兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)是(0,0)，(1,1)，故積分上限是1，下限是0，由于在0,1上，xx2，故函數(shù)yx2與yx所圍成圖形的面積S(xx2)dx.2(2010山東日照模考)axdx，bexdx，csinxdx，則a、b、c的大小關(guān)系是()AacbBabcCcbaDca2，csinxdxcosx|021cos2(1,2)，cab.3(2010

2、山東理，7)由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形面積為()A.B.C.D.答案A解讀由得交點為(0,0)，(1,1)S(x2x3)dx01.點評圖形是由兩條曲線圍成的時，其面積是上方曲線對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式減去下方曲線對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式的積分，請再做下題：(2010湖南師大附中)設(shè)點P在曲線yx2上從原點到A(2,4)移動，如果把由直線OP，直線yx2及直線x2所圍成的面積分別記作S1，S2.如圖所示，當(dāng)S1S2時，點P的坐標(biāo)是()A.B.C.D.答案A解讀設(shè)P(t，t2)(0t2)，則直線OP：ytx，S1(txx2)dx；S2(x2tx)dx2t，若S1S2，則t，P.4由三條直線x0、x2、y0和曲

3、線yx3所圍成的圖形的面積為()A4 B.C.D6答案A解讀Sx3dx024.5(2010湖南省考試院調(diào)研)1(sinx1)dx的值為()A0 B2C22cos1 D22cos1答案B解讀1(sinx1)dx(cosxx)|11(cos11)(cos(1)1)2.6曲線ycosx(0x2)與直線y1所圍成的圖形面積是()A2 B3C.D答案A解讀如右圖，S02(1cosx)dx(xsinx)|022.點評此題可利用余弦函數(shù)的對稱性面積相等解決，但若把積分區(qū)間改為，則對稱性就無能為力了7函數(shù)F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，無最小值B有最大值0和最小值C有最小值，無最大值D既無最

4、大值也無最小值答案B解讀F(x)x(x4)，令F(x)0，得x10，x24，F(xiàn)(1)，F(xiàn)(0)0，F(xiàn)(4)，F(xiàn)(5).最大值為0，最小值為.點評一般地，F(xiàn)(x)(t)dt的導(dǎo)數(shù)F(x)(x)8已知等差數(shù)列an的前n項和Sn2n2n，函數(shù)f(x)dt，若f(x)a3，則x的取值范圍是()A.B(0，e21)C(e11，e) D(0，e11)答案D解讀f(x)dtlnt|1xlnx，a3S3S2211011，由lnx11得，0xe11.9(2010福建廈門一中)如圖所示，在一個長為，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線ysinx(0x)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(該點落在矩形

5、OABC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是()A.B.C.D.答案A解讀由圖可知陰影部分是曲邊圖形，考慮用定積分求出其面積由題意得Ssinxdxcosx|0(coscos0)2，再根據(jù)幾何概型的算法易知所求概率P.10(2010吉林質(zhì)檢)函數(shù)f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形面積S為()A.B1 C4 D.答案C解讀面積S2f(x)dx2(x2)dx02cosxdx224.11(2010沈陽二十中)設(shè)函數(shù)f(x)xx，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如1.22，1.21，11.又函數(shù)g(x)，f(x)在區(qū)間(0,2)上零點的個數(shù)記為m，f(x)與g(x)的圖象交點的個數(shù)記為n，

6、則g(x)dx的值是()ABCD答案A解讀由題意可得，當(dāng)0x1時，x0，f(x)x，當(dāng)1x2時，x1，f(x)x1，所以當(dāng)x(0,2)時，函數(shù)f(x)有一個零點，由函數(shù)f(x)與g(x)的圖象可知兩個函數(shù)有4個交點，所以m1，n4，則g(x)dxdx14.11(2010江蘇鹽城調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行一項游戲比賽，比賽規(guī)則如下：甲從區(qū)間0,1上隨機(jī)等可能地抽取一個實數(shù)記為b，乙從區(qū)間0,1上隨機(jī)等可能地抽取一個實數(shù)記為c(b、c可以相等)，若關(guān)于x的方程x22bxc0有實根，則甲獲勝，否則乙獲勝，則在一場比賽中甲獲勝的概率為()A.B.C.D.答案A解讀方程x22bxc0有實根的充要條件為4b24

7、c0，即b2c，由題意知，每場比賽中甲獲勝的概率為p.12(2010吉林省調(diào)研)已知正方形四個頂點分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲線yx2(x0)與x軸，直線x1構(gòu)成區(qū)域M，現(xiàn)將一個質(zhì)點隨機(jī)地投入正方形中，則質(zhì)點落在區(qū)域M內(nèi)的概率是()A.B.C.D.答案C解讀如圖，正方形面積1，區(qū)域M的面積為Sx2dxx3|01，故所求概率p.2如圖，陰影部分面積等于()A2B2C.D.答案C解讀圖中陰影部分面積為S (3x22x)dx(3xx3x2)|.3.dx()A4 B2C D.答案C解讀令y，則x2y24(y0)，由定積分的幾何意義知所求積分為圖中陰影部分的面積，S2

8、2.4.已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是()A在t1時刻，甲車在乙車前面B在t1時刻，甲車在乙車后面C在t0時刻，兩車的位置相同Dt0時刻后，乙車在甲車前面答案A解讀判斷甲、乙兩車誰在前，誰在后的問題，實際上是判斷在t0，t1時刻，甲、乙兩車行駛路程的大小問題根據(jù)定積分的幾何意義知：車在某段時間內(nèi)行駛的路程就是該時間段內(nèi)速度函數(shù)的定積分，即速度函數(shù)v(t)的圖象與t軸以及時間段圍成區(qū)域的面積從圖象知：在t0時刻，v甲的圖象與t軸和t0，tt0圍成區(qū)域的面積大于v乙

9、的圖象與t軸和t0，tt0圍成區(qū)域的面積，因此，在t0時刻，甲車在乙車的前面，而且此時乙車的速度剛剛趕上甲車的速度，所以選項C，D錯誤；同樣，在t1時刻，v甲的圖象與t軸和tt1圍成區(qū)域的面積，仍然大于v乙的圖象與t軸和tt1圍成區(qū)域的面積，所以，可以斷定：在t1時刻，甲車還是在乙車的前面所以選A.5(2012山東日照模擬)向平面區(qū)域(x，y)|x，0y1內(nèi)隨機(jī)投擲一點，該點落在曲線ycos2x下方的概率是()A.B.C.1 D.答案D解讀平面區(qū)域是矩形區(qū)域，其面積是，在這個區(qū)6 (sinxcosx)dx的值是()A0B. C2D2答案D解讀 (sinxcosx)dx(cosxsinx) 2.

10、7(2010惠州模擬)(2|1x|)dx_.答案3解讀y，(2|1x|)dx(1x)dx(3x)dx(xx2)|(3xx2)|3.8(2010蕪湖十二中)已知函數(shù)f(x)3x22x1，若1f(x)dx2f(a)成立，則a_.答案1或解讀1f(x)dx1(3x22x1)dx(x3x2x)|4，1f(x)dx2f(a)，6a24a24，a1或.9已知a0(sinxcosx)dx，則二項式(a)6的展開式中含x2項的系數(shù)是_答案192解讀由已知得a0(sinxcosx)dx(cosxsinx)|0(sincos)(sin0cos0)2，(2)6的展開式中第r1項是Tr1(1)rC26rx3r，令3r

11、2得，r1，故其系數(shù)為(1)1C25192.10有一條直線與拋物線yx2相交于A、B兩點，線段AB與拋物線所圍成圖形的面積恒等于，求線段AB的中點P的軌跡方程解讀設(shè)直線與拋物線的兩個交點分別為A(a，a2)，B(b，b2)，不妨設(shè)ab，則直線AB的方程為ya2(xa)，即y(ab)xab.則直線AB與拋物線圍成圖形的面積為S(ab)xabx2dx(x2abx)|(ba)3，(ba)3，解得ba2.設(shè)線段AB的中點坐標(biāo)為P(x，y)，其中將ba2代入得消去a得yx21.線段AB的中點P的軌跡方程為yx21.能力拓展提升11.(2012鄭州二測)等比數(shù)列an中，a36，前三項和S34xdx，則公比

12、q的值為()A1 BC1或D1或答案C解讀因為S34xdx2x2|18，所以618，化簡得2q2q10，解得q1或q，故選C.12(2012太原模擬)已知(xlnx)lnx1，則lnxdx()A1 Be Ce1 De1答案A解讀由(xlnx)lnx1，聯(lián)想到(xlnxx)(lnx1)1lnx，于是lnxdx(xlnxx)|(elnee)(1ln11)1.13拋物線y22x與直線y4x圍成的平面圖形的面積為_答案18解讀由方程組解得兩交點A(2,2)、B(8，4)，選y作為積分變量x、x4y，S (4y)dy(4y)|18.14.已知函數(shù)f(x)ex1，直線l1：x1，l2：yet1(t為常數(shù)，

13、且0t1)直線l1，l2與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域所示，其面積用S2表示直線l2，y軸與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域所示，其面積用S1表示當(dāng)t變化時，陰影部分的面積的最小值為_答案(1)2解讀由題意得S1S2(et1ex1)dx(ex1et1)dx(etex)dx(exet)dx(xetex)|(exxet)|(2t3)ete1，令g(t)(2t3)ete1(0t1)，則g(t)2et(2t3)et(2t1)et，令g(t)0，得t，當(dāng)t0，)時，g(t)0，g(t)是增函數(shù)，因此g(t)的最小值為g()e12e(1)2.故陰影部分的面積的最小值為(1)2.15求下列定積分(1)1|x|dx。 (2)cos2dx；(3)dx.解讀(1)1|x|dx2xdx2x2|1.(2)cos2dxdxx|sinx|.(3)dxln(x1)|1.16已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a，bR)的圖象如圖所示，它與x軸在原點處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，求a的值解讀f (x)3x22axb，f (0)0，b0，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)S陰影0(x3ax2)dx(x4ax3)|a4，a，sinxdx2.4設(shè)函數(shù)f(x)ax2c(