復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

1、 函數(shù)的值域與函數(shù)的單調(diào)性我們將復(fù)習(xí)函數(shù)的值域與函數(shù)的單調(diào)性兩部分內(nèi)容通過本專題的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)掌握求函數(shù)值域的常用方法；掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，能用定義判定函數(shù)的單調(diào)性；會判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般方法知識要點(diǎn)一函數(shù)的值域求函數(shù)值域的方法主要有：配方法、判別式法、換元法、基本不等式法、圖象法，利用函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的反函數(shù)、利用已知函數(shù)的值域、利用導(dǎo)數(shù)求值域等二函數(shù)的單調(diào)性1定義如果對于給定區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2)，那么就稱f(x)在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)；如果對于給定區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值x1、x

2、2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)如果y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說y=f(x)在這一區(qū)間上具有嚴(yán)格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間注：在定義域內(nèi)的一點(diǎn)處，這個(gè)函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)呢？函數(shù)的單調(diào)性是就區(qū)間而言，對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題2函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)算規(guī)律在共同的定義域上，設(shè)“f型”是增函數(shù)，“g型”是減函數(shù)，則： （1）f1(x)+f2(x)是增函數(shù)； （2）g1(x)+g2(x)是減函數(shù)； （3）f(x)-g(x)是增函數(shù)； （4）g(x)-

3、f(x)是減函數(shù)典型例題 一函數(shù)值域的求法 （一）配方法例1解：例2 求函數(shù) y=2x+2-3×4 x(-1x0) 的值域解 y=2x+2-3·4x =4·2x-3·22x 令 2x=t 例3解：函數(shù)定義域?yàn)?,5 例4若實(shí)數(shù)x、y滿足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域解：4y2=4x-x20 x2-4x0，即0x4 當(dāng)x=4時(shí)，Smax=16 當(dāng)x=0時(shí)，Smin=0 值域0S16例5已知函數(shù)y=f(x)=x2+ax+3在區(qū)間x-1,1時(shí)的最小值為-3，求實(shí)數(shù)a的值分析：的位置取決于a，而函數(shù)的自變量x限定在-1，1內(nèi)，因此

4、，有三種可能性，應(yīng)分別加以討論解： 綜合（1）（2）（3）可得：a=±7 （二）判別式法例6解 由已知得 (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*) （2）若2y-10，則xR =(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)0 即 (2y-1)(10y-3)0 例7解 由已知得 (y-1)x2+(y-4)x-(6y+3)=0 (*) 若y=1，代入（*）式-3x-9=0 x=-3，此時(shí)原函數(shù)分母x2+x-6的值為0 y1 若y1，則xR =(y-4)2+4(y-1)(6y+3)0 化簡可得(5y-2)20，則yR 說明：m(y)x2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利

5、用xR，由0求出y的取值范圍，但需注意兩點(diǎn)： （1）要分m(y)=0和m(y)0兩種情況討論，只有m(y)0時(shí)，才可利用判別式； （2）在求出y的取值范圍后，要注意“=”能否取到 （三）換元法例8解： ymax=1，ymin=-23原函數(shù)值域 -23y1例9解： （四）利用函數(shù)的單調(diào)性例10解： 例11 解： 調(diào)遞減 說明 在利用函數(shù)的單調(diào)性求值域時(shí)，應(yīng)注意如下結(jié)論：在共同定義域上，設(shè)“f型”是增函數(shù)，“g型”是減函數(shù)，則（1）f1(x)+f2(x)是增函數(shù)；（2）g1(x)+g2(x)是減函數(shù)；（3）f(x)-g(x)是增函數(shù)；（4）g(x)-f(x)是減函數(shù)但當(dāng)兩個(gè)單調(diào)函數(shù)之間的

6、運(yùn)算符號為“x”、“÷”時(shí)，則不具有這種規(guī)律 （五）基本不等式法這種方法是利用如下的“基本不等式”和與“復(fù)數(shù)的?！庇嘘P(guān)的不等式求函數(shù)值域 例12解：例13解：y0 例14解：又y是x的連續(xù)函數(shù) （六）利用原函數(shù)的反函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)存在，那么反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域例15解 y·10x+y·10-x=10x-10-x 即y·102x+y=102x-1 1+y=(1-y)·102x （七）利用已知函數(shù)的值域 例16解 利用三角函數(shù)的值域來求值域，把函數(shù)式去分母變形得：ycosx-sinx=1-3y （八）圖象法例17解： 由圖象知：值

7、域?yàn)閥3 （九）利用導(dǎo)數(shù)求值域此種方法在本學(xué)期學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)已作了詳盡的闡述，這里就不再多說了二函數(shù)的單調(diào)性 （一）函數(shù)單調(diào)性的判定 1利用已知函數(shù)的單調(diào)性例1 若y=(2k+1)x+b是R上的減函數(shù)，則有（ ） 解：選D說明：函數(shù)y=kx+b，當(dāng)k>0時(shí)是增函數(shù)；k=0時(shí)是常函數(shù)；k<0時(shí)是減函數(shù)例2減區(qū)間是_解：減區(qū)間是（-,-1）和（-1,+）說明：函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間之間可以用“，”或“和”字連接，而不能用符號“”連 例3 函數(shù)f(x)=4x2-mx+5，當(dāng)x(-2,+)時(shí)是增函數(shù)，則m的取值范圍是_；當(dāng)x(-2,+)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x(-,-2)時(shí)是減函數(shù)，則f(1)=_.

8、解： m=-16 f(1)=4+16+5=252利用定義判定或證明函數(shù)的單調(diào)性例4 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=-x3+1在R上是減函數(shù)證明 在（-,+）上任取x1、x2，且x1<x2，則 f(x2)-f(x1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) x1<x2 x1-x2<0 當(dāng)x1x2<0時(shí)，有x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2>0 當(dāng)x1x20時(shí)，有x12+x1x2+x22>0 f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0 即f(x2)<f(x1) 所以函數(shù)f(x)

9、=-x3+1在(-,+)上是減函數(shù)說明-f(x1)的符號；同學(xué)們也不妨應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識來解決本題 （2）用定義證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性，要注意步驟清晰，討論嚴(yán)密例5 解 （1）i）設(shè)x1，x2（0，1，且x1<x2， x1-x2<0, 0<x1x2<1 f(x1)-f(x2)>0 即f(x1)>f(x2) ii）設(shè)x1，x21,+)，且x1<x2 由(1)中討論可知y當(dāng)x0時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)， 當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值說明(2)中函數(shù)最值不能用基本不等式求，因?yàn)椴淮嬖谑沟膞；同理可證：3利用圖象討論函數(shù)的單調(diào)性例6 作函數(shù)f(x)=|x2-1|+x的圖象

10、，并根據(jù)圖象討論函數(shù)的單調(diào)性解 由圖象， （二）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例7解 -x2-2x+30 x2+2x-30 (x-1)(x+3)0 -3x1 則當(dāng)x-3,-1時(shí)，u=-x2-2x+3單調(diào)遞增 當(dāng)x-1,1時(shí)，u=-x2-2x+3單調(diào)遞減例8解： 例9 已知f(x)=8+2x-x2,g(x)=f(2-x2),討論g(x)的增減性解：g(x)=8+2(2-x2)-(2-x2)2=8+4-2x2-4+4x2-x4=-x4+2x2+8=-(x2-1)2+9 g(x)=-4x3+4x=-4x(x+1)(x-1) 令 g(x)>0，得 x-1 或 0x1 令 

11、;g(x)<0，得 -1x0或x1 g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,-1和0,1 g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是-1,0和1,+) （三）函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例10的取值范圍 解：時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增，得0<a<1綜上，a的取值范圍是a(0,1)(2,+)例11區(qū)間0,+)是單調(diào)函數(shù)解：                          

12、;               （1）當(dāng)a1時(shí)， 又x1-x2<0 f(x1)-f(x2)>0 即f(x1)>f(x2) 所以，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在0，+)上是單調(diào)減函數(shù) f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+ )上不是單 調(diào)函數(shù)綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間 (0,+ 上是單調(diào)函數(shù)例12 定義在R+上的函數(shù)f(x)滿足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y) 當(dāng)x>

13、y時(shí)，有f(x)>f(y)，如果f(x)+f(x-3)2，求x的取值范圍解 f(x)+f(x-3)=f(x2-3x)2=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4) 由知 x2-3x4 x2-3x-40 又f(x)定義域?yàn)閤>0 練習(xí)題值域與最值A(chǔ)組一選擇題1已知I = R，函數(shù)y = lgx的值域?yàn)镻，y = ax（a0且a1）的值域?yàn)镸，則下列等式中不正確的是（ ） （A）（ IM）P = （B）MP = P （C）P（ IM）= R（D）PM = M5函數(shù)y = f(x)的值域是-2，2，則函數(shù)y = f (x + 1)的值域是（ ） （A）-1，3 （B）-3，1 （C）-2，

14、2 （D）-1，1二填空題6若x + 2y = 4，x0，y0，則lgx + lgy的最大值是_范圍是_8f (x) = ax2 c（a0），如果-4f (1)-1，-1f (2)5，那么f (3)的取值范圍是_三解答題 B組 一選擇題1函數(shù)y = -x2 2x +3（-5x0）的值域是（ ） （A）（-，4（B）3，12（C）-12，4（D）4，12 （A）（-，+）（B）（-，0）（0，+） （C）（-，0）（D）（0，+） （A）6（B）12（C）16（D）245函數(shù)y = x (x 2)的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?1，3，則點(diǎn)（a，b）的軌跡是右圖的 （A）點(diǎn)H（1，3）和F（-1，1）

15、（B）線段EF，GH （C）線段EH，F(xiàn)G（D）線段EF，EH6已知函數(shù)f (x) = 2x 1，g (x) = 1 x2，構(gòu)造函數(shù)F (x)，定義如下：當(dāng)|f (x)|g (x) 時(shí)，F(xiàn) (x) = |f (x)|，當(dāng)|f (x)|g (x)時(shí)，F(xiàn) (x) = -g (x)，那么F (x)（ ） （A）有最小值0，無最大值（B）有最小值-1，無最大值 （C）有最大值1，無最小值（D）無最小值，也無最大值二填空題7實(shí)數(shù)x，y滿足xy0且x2y = 2，則xy + x2的最小值是_8設(shè)x，yR+，x + y + xy = 2，則x + y的取值范圍是_三解答題 （1）求實(shí)數(shù)b、c的值 （2）判斷

16、函數(shù)F (x) = lg f (x)在x-1，1上的單調(diào)性，并給出證明. 13f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足如下兩個(gè)條件：對于任意的x、yR，有f (x + y) = f (x) + f (y)當(dāng)x0時(shí)，f (x)0，且f (1) = -2求函數(shù)f (x)在-3，3上的最大值和最小值.函數(shù)的單調(diào)性A組 一選擇題（共20分）1已知函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù)，若a + b0，則（ ） Af (a) + f (b)f (-a) + f(-b)Bf (a) + f(b)f (-a) f(-b) Cf (a) + f (-a)f (b) + f (-b)Df (a) + f (-a)f (b)

17、 f (-b) A(0，2B（1，2C（-1，0D（1，+）3若a1，且a-x + logaya-y + logax，則x、y之間關(guān)系為（ ） Axy0Bx = y0 Cyx0D不確定，與a值有關(guān)4已知F(x) = f (x) f (-x)，其中l(wèi)g f (x) + x = 0，則F(x)是（ ） A單調(diào)遞增的奇函數(shù)B單調(diào)遞增的偶函數(shù) C單調(diào)遞減的奇函數(shù)D單調(diào)遞減的偶函數(shù)二填空題（共20分）6若f (x) = (m 1)x2 + mx + 3（xR）是偶函數(shù)，則f (x)的增區(qū)間是_7已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0，+)上單調(diào)遞增，那么使f (-2)f (a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是_

18、減區(qū)間為_三解答題（共15分）B組1已知函數(shù)f (x) = log2x，且函數(shù)g (x)的圖象與f (x)的圖象關(guān)于直線y = x對稱，則函數(shù)g (x2)是（ ） （A）奇函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞減 （B）奇函數(shù)，且在（-，0）上單調(diào)遞減 （C）偶函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞增 （D）偶函數(shù)，且在（-，0）上單調(diào)遞增2已知f (x) = x2 + cosx，則（ ） 的解集是（ ） 函數(shù)y = f (x)的圖象關(guān)于y軸對稱在區(qū)間（-，0）上，f (x)是減函數(shù)函數(shù)f (x)的最小值是lg2在區(qū)間（1，+）上，f (x)是增函數(shù)其中正確命題是（ ） （A）（B）（C）（D）僅正確6已知定義域

19、為R的偶函數(shù)y = f (x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（2，6），則函數(shù)y = f (2 x)的（ ） （A）對稱軸為x = -2且一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（4，8） （B）對稱軸為x = -2且一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（0，4） （C）對稱軸為x = 2，且一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（4，8） （D）對稱軸為x = 2，且一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（0，4）二填空題 10教師給出一個(gè)函數(shù)y = f (x)，四個(gè)學(xué)生甲、乙、丙、丁各指出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：甲：對于xR，都有f (1 + x) = f (1 x)；乙：在（-，0上函數(shù)遞減；丙：f (0)不是函數(shù)的最小值；?。涸冢?，+）上函數(shù)遞增如果其中恰有3人說得正確，請寫

20、出這樣一個(gè)函數(shù)：_三解答題 （I）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明單調(diào)性.13設(shè)函數(shù)f (x)是定義在（-，+）上的增函數(shù)，如果不等式f (1 ax x2)f (2 a)對于任意x0，1都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.14已知f (x) = x2 + c，且f (f (x) = f (x2 + 1) （1）設(shè)g (x) = f (f (x)，求g (x)的解析式并在（-1，0）內(nèi)是增函數(shù)？練習(xí)題答案及提示值域與最值A(chǔ)組一選擇題1A2D3B4D5C二填空題6lg2三解答題11用換元法故當(dāng)t = 1時(shí)y有最大值4即y的值域?yàn)椋?，4 所求函數(shù)值域?yàn)椋?，1.B組一選擇題1C2B3A4C5D6B二填空題73

21、三解答題當(dāng)y 20時(shí)，由xR，有= b2 4 (2 y) ( c y)0，即4y2 4 (2 + c) y + 8c b20當(dāng)y 2 = 0時(shí)，將b = -2，c = 2代入（*）式中，得x = 0 b = -2，c = 2為所求|x1|1，|x2|1，x1x2|x1x2|1 即1 x1x20而x2 x10 u1 u20 即u1u2由于u0 lgu1lgu2即F(x1)F(x2)故F(x)在x-1，1上是減函數(shù).13設(shè)0x1x23，則由條件（1）得 f (x2) = f(x2 x1) + x1 = f(x2 x1) + f (x1) 即f (x2 x1) = f (x2) f (x1) x2 x10，由條件（2）得f (x2 x1)0 f (x2) f (x1)0 即f (x1)f (x2) f (x)在0，3上是減函數(shù) 又f (x)為奇函數(shù) f (x)在-3，