中考總復習方程與不等式綜合復習知識講解(提高)

1、方程與不等式綜合復習 【考綱要求】 1會從定義上判斷方程（組）的類型，并能根據(jù)定義的雙重性解方程 （組）和研究分式方程的增根情況； 2. 掌握解方程（組）的方法，明確解方程組的實質(zhì)是 “消元降次”、“化分式方程為整式方程”、“化無理式為有理式” 3 理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式 （組）的解法，在數(shù)軸上表示解集，以及求特殊解集； 4列方程（組）、列不等式（組）解決社會關(guān)注的熱點問題； 5. 解方程或不等式是中考的必考點，運用方程思想與不等式 （組）解決實際問題是中考的難點和熱點. 【知識網(wǎng)絡】 【考點梳理】 考點一、一元一次方程 1. 方程 含有未知數(shù)的等式叫做方程 2. 方程的解 能使方程

2、兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解 3. 等式的性質(zhì) （1） 等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式 （2） 等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零） ，所得結(jié)果仍是等式. 4. 一元一次方程 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 ax b 0（ x為未知數(shù)，a 0）叫做一元一次方程的標準形式， a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項.方ff.Q與不等降次 代人消元法 不尊式的定義 一不等式的解如 一藪軸如法 解不等式 等 一不等式的性質(zhì) 解法 方程與方程組 5. 一元一次方程解法的一般步驟 整理方程 一一去分母一一 去括號一

3、一 移項一一 合并同類項一一系數(shù)化為 1 (檢驗方程的解). 6. 列一元一次方程解應用題 讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題” 仔細讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配 套”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得 到方程 (2) 畫圖分析法：多用于“行程問題” 利用圖形分析數(shù)學問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學中的體現(xiàn)，仔細讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使圖形各部分具 有特定的含義，通過圖形找相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵， 從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系(可 把未知數(shù)看作

4、已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ) . 要點詮釋： 列方程解應用題的常用公式： (1)行程問題： 距離=速度x時間 速度 距離 時間 時間 距離. 速度； 工程問題： 工作量=工效X工時 工效 工作量 工時 工作量. 工時 工效； (3)比率問題： 部分=全體X比率 比率 部分 全體 全體 部分. 比率； 順逆流問題： 順流速度=靜水速度 +水流速度，逆流速度 =靜水速度-水流速度; 售價 成本 商品價格問題： 售價=定價折丄，利潤=售價-成本， 利潤率 售價一成一100% ； 10 成本 周長、面積、體積問題： C圓=2n R, S圓=n R , C長方形=2(a+b) , S長方形

5、=ab, C正方形=4a, 2 2 2 3 2 S正方形=a , S環(huán)形=n (R -r ) , V長方體=abh , V正方體=a , V圓柱=n Rh , 考點二、一兀二次方程 1. 一元二次方程 含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2的整式方程叫做一元二次方程 . 2. 一元二次方程的一般形式 2 2 ax bx c 0(a 0)，它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù) x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax2 叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項. 3. 一元二次方程的解法 (1) 直接開平方法 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方

6、法叫做直接開平方法 .直接開平方法適用于解形如 (x a)2 b的一元二次方程 .根據(jù)平方根的定義可知， x a是b的平方根，當 b 0時，x a - b , x a 4，當bb） 圖示 解集 口訣 x a x b x a （同大取大） b a 廠 x a x b * J x b （同小取?。?b a x a x b b x a （大小取中間） b a 1x a x b Jk b a 無解 （空集） （大大、小小 找不到） 注： 不等式有 等號的在數(shù)軸上用實心圓點表示 要點詮釋： 用符號“v”“”“w ” “”“工”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式 （1） 不等式的其他性質(zhì)：若 ab,則bva;

7、若ab, bc,則ac;若ab，且ba, ?則a=b; 若a w 0,則a=0;若ab 0或0 ,則a、b同號；若abv 0或0 ,則a、b異號. b b （2） 任意兩個實數(shù) a、b的大小關(guān)系：a -b O ab:a -b=O a=b；a-b v O av b. 不等號具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但 av b可轉(zhuǎn)換為b a, c d可轉(zhuǎn)換為dw c. 【典型例題】 1 如圖所示，是在同一坐標系內(nèi)作出的一次函數(shù) yi、y2的圖象l1、l2，設(shè)y1 k,x d , y2 k2x b2，則方 類型一、方程的綜合運用程組y1 k1x九的解是() y2 k2x b2 【答案】B； 【解析】由圖

8、可知圖象|1、|2的交點的坐標為(-2 , 3), Vi k|X b, “ x 2, 所以方程組 的解為 y2 k2x b2 y 3. 【總結(jié)升華】 方程組與函數(shù)圖象結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，這也是中考所考知識點的綜合與相互滲透. 02 .近年來，由于受國際石油市場的影響，汽油價格不斷上漲.請你根據(jù)下面的信息，幫小明計算今年 汽油的價格如圖所示. 【思路點撥】 根據(jù)“用150元給汽車加油今年比去年少 18.75升”列方程. 【答案與解析】 解：設(shè)今年5月份汽油價格為x元/升，則去年5月份的汽油價格為(x-1.8)元/升. 150 150 根據(jù)題意，得150 18.75 , x 1.8 x

9、整理，得 x2 1.8x 14.4 0. 解這個方程，得 X1= 4.8 , X2= -3 . 經(jīng)檢驗兩根都為原方程的根，但 X2= -3不符合實際意義，故舍去. 【總結(jié)升華】 解題的關(guān)鍵是從對話中挖掘出有效的數(shù)學信息，構(gòu)造數(shù)學模型，從而解決問題，讓同學們更進一步地體會到 數(shù)學就在我們身邊.x 2, C .x 3, D y 3 y 3 x 3, y 4 【思路點撥】 圖象l1、l2的交點的坐標就是方程組的解 5月份 +十+十+ 廠卜卜卜卜卜卜卜卜卜 令年列扌階的料泄價帶比去年了片 盼那升多 I.R 冗.州 1 旳托給料乍加的 油址比去年少 LK75 升. 類型二、解不等式(組) 2 2 已知

10、A= a+2, B= a-a+5, C= a+5a-19，其中 a2. (1) 求證：B-A0,并指出A與B的大小關(guān)系; (2) 指出A與C哪個大？說明理由. 【思路點撥】 計算B-A結(jié)果和0比大小，從而判斷 A與B的大?。煌碛嬎?C-A，根據(jù)結(jié)果來比較 【答案與解析】 2 2 (1) 證明：B-A= a -2a+3 = (a-1) +2 . 2 2 / a 2,. (a-1) 0,. (a-1) +2 0. a -2a+3 0,即卩 B-A 0. 由此可得B A. 2 (2) 解：C-A= a +4a-21 = (a+7)(a-3). / a 2,. a+7 0. 當 2 v av 3 時

11、，a-3 v 0, (a+7)(a-3) v 0. 當2v av 3時，A比C大； 當 a = 3 時，a-3 = 0, (a+7)(a-3) = 0. 當a= 3時，A與C一樣大; 當 a3 時，a-3 0, (a+7)(a-3) 0. 當a 3時，C比A大. 【總結(jié)升華】 比較大小通常用作差法，結(jié)果和 0比大小，此時常常用到因式分解或配方法 本題考查了整式的減法、十字 相乘法分解因式，滲透了求差比較大小的思路及分類討論的思想. 舉一反三： 【變式 1 】已知：A=2a2 a 2 , B=2, C= a2 2a 4,其中 a 1 . (1)求證：A-B0; (2) 試比較A B、C的大小關(guān)系

12、，并說明理由 【答案】 (1) A-B= 2a2 a 2 2 2a2 a a(2a 1) a 1 , a 0,2a 1 0 A-B0 CB=a2 2a 4 2 a2 2a 2 (a 1)2 1 0 CB A-C= 2a2 a 2 a2 2a 4 a2 a 2 (a 2)(a 1) a 1 , a 2 0, a 1 0 A與C的大小. ACB 【變式2】如圖，要使輸出值 y大于100,則輸入的最小正整數(shù) 5(2n 1) 100,解得門 87 2n 4 13 100. 8 則n可取的最小正整數(shù)為 11. 若x為奇數(shù)，即x = 21時，y= 105; 若x為偶數(shù)，即x = 22時，y= 101 .

13、滿足條件的最小正整數(shù) x是21. 類型二、方程（組）與不等式（組）的綜合應用 4. 宏志高中高一年級近幾年來招生人數(shù)逐年增加， 去年達到550名，其中有面向全省招收的 “宏志班 也有一般普通班的學生.由于場地、師資等限制，今年招生最多比去年增加 100人，其中普通班學生可多招 “宏志班”學生可多招 10%問今年最少可招收“宏志班”學生多少名 ？ 【思路點撥】 根據(jù)招生人數(shù)列等式，根據(jù)今年招生最多比去年增加 100人列不等式 【答案與解析】 將y = 550-x代入不等式，可解得 x 100,于是（1+10%）x 110. 故今年最少可招收“宏志班”學生 110名. 【總結(jié)升華】本題屬于列方程與

14、不等式組綜合題 . 舉一反三： 【變式】為了加強學生的交通安全意識，某中學和交警大隊聯(lián)合舉行了“我當一日小交警”活動，星期天選派部分 學生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維持交通秩序，若每一個路口安排 4人，那么還剩下 78人; 路口安排8人，那么最后一個路口不足 8人，但不少于4人求這個中學共選派值勤學生多少人 少個交通路口安排值勤？ 【答案】 設(shè)這個學校選派值勤學生 x人，共到y(tǒng)個交通路口值勤.根據(jù)題意得 x 4y 78, 4 x 8（y 1） 8. 由可得 x = 4y+78，代入，得 4 78+4y-8（y-1） V 8,解得 19.5 v y 20.5 . 根據(jù)題意y取20,這時x為15

15、8,即學校派出的是158名學生，分到了 20個交通路口安排值勤. 【答案】 解：設(shè)n為正整數(shù)，由題意得 學生， 20% 設(shè)去年招收“宏志班”學生 x名，普通班學生y名，由條件得 x y 550, 10%x 20%y 100. 若每個 ?共有多 5已知關(guān)于x的一元二次方程 (m 2)x2 3 4 5 (m 1)x m 0.(其中m為實數(shù)) (1 )若此方程的一個非零實數(shù)根為 k, 當k = m時，求m的值； 1 若記m(k ) 2k 5為y,求y與m的關(guān)系式； k (2) 當1 v m 2時，判斷此方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由 . 4 【思路點撥】 (1) 由于k為此方程的一個實數(shù)根，故把 k代

16、入原方程， 即可得到關(guān)于 k的一元二次方程， 把k=m代入關(guān)于k的方程，即可求出 m的值； 由于k為原方程的非零實數(shù)根，故把方程兩邊同時除以 k，便可得到關(guān)于y與m的關(guān)系式; (2) 先求出根的判別式，再根據(jù) m的取值范圍討論的取值即可. 【答案與解析】 (1 )T k 為(m 2)x2 (m 1)x m 0 的實數(shù)根， 2 (m 2)k (m 1)k m 0.探 當k = m時， k為非零實數(shù)根， m豐0 ,方程兩邊都除以 m,得(m 2)m (m 1) 1 0. 整理，得 2 m 3m 2 0 . 解得 m 1, m2 2 2)x2 (m 2)(m 1)x m 0是關(guān)x 的 元二次方程,

17、二 m豐 2. m=1. / k為原方程的非零實數(shù)根， 將 方程兩邊都除以 k,得 (m m 2)k (m 1) k 0. 整理， 得 m(k丄)2k k m 1 . y 1 m(k -) 2k 5 k m 4 . (2)解法 : (m 1) 4m(m 2) 2 3m 6m 1 3m(m 2) 1 1 當一 v m 0 ,m 2 v 0. 4 3m(m 2): 0, 3m(m 2) 1 1 0, 0. 2 當丄 v m 2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根 4 1 解法二：直接分析 m 2時，函數(shù)y (m 2)x2 (m 1)x m的圖象, 5 該函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，與 y軸正半軸相交，

18、 該拋物線必與x軸有兩個不同交點. 1 當丄 m 2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根 . 4 結(jié)合 3(m 1)2 4關(guān)于m的圖象可知，(如圖) 當 1 V * 1 時，37 V 4 ； 4 16 當 1 V m 2 時，1 V V 4. 1 當 1 m 0. 4 1 當 m 0, k 0 此方程總有實根。 解：解得方程兩根為 X1=- 1, X2=3 - k 方程有一根大于 5且小于乙 53 k7, 4k 2, 解法三: 2 (m 1) 4m(m 2) 2 3m 6m 1 2 3(m 1) 4 . 【總結(jié)升華】 / k為整數(shù)， k= 3. 解：由知 k=-3, y2 x2 5x 6 yi y2

19、，二 y2 yi 0, 即 x2 6x 6 b 0 T在 1 x 7時，有y1 y2 類型四、用不等式(組)解決決策性問題 裝8件，需要1880元；若購進 A種型號服裝9件，B種型號服裝10件，需要1810元. (1) 求A、B兩種服裝的進價分別為多少元？ (2) 若銷售一件 A型服裝可獲利18元，銷售一件B型服裝可獲利30元，根據(jù)市場需求，服裝店老板決定：購進 A、B兩種服裝共34件，并使這批服裝全部銷售完畢后總獲利不少于 906元問服裝店購進B種服裝至少多少件？ (3) 在(2)問的條件下，服裝店應怎樣購進 A、B兩種服裝，才能使得兩種服裝的總成本最低？最低為多少元？ 【思路點撥】 (1)

20、 根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是 A種型號服裝12件，B種型號服裝8件， 需要1880元”和A種型號服 裝9件，B種型號服裝10件，需要1810元”列方程組求解即可； (2) 若設(shè)購進B種服裝m件，則購進A種服裝的數(shù)量是34 - m,列出不等式解答即可； (3) 設(shè)服裝店購進 B種服裝m件列出函數(shù)解析式，結(jié)合最值解答即可. 【答案與解析】 解(1)設(shè)A服裝進價為x元，B服裝進價為y元由題意得: 解得：x=90, y=100 , 答：A服裝進價為90元，B服裝進價為100元； (2)設(shè)服裝店購進 B種服裝m件由題意得： 18X( 34 - m) +30m 為06 答：服裝店購進 B種服裝至少25 件; (3) 設(shè)服裝店購進 B種服裝m件.兩種服裝的總成本為 w元.由題意得: w100m+90 (34 - m) =10m, 因為w隨著m的增大而增大，所以當 m取最小值即25時，w最小為3310, 答：服裝店購進 A種9件B種25件服裝，才能使得兩種服裝的總成本最低，最低為 3310元. 【總結(jié)升華】 本題考查了二元一次方程組和不等式的應用，利用二元一次方程組求解的應用題一般情況下題中要給出 2個等 量關(guān)系，準確的找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵象這種利用不等式解決方案設(shè)計問題時，往往是 在解不等式的解后，再利用實際問題中