導(dǎo)數(shù)壓軸題分類(2)---極值點(diǎn)偏移問題(含答案)

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題分類（2）-極值點(diǎn)偏移問題極值點(diǎn)偏移問題常見的處理方法有構(gòu)造一元差函數(shù)或者。其中為函數(shù)的極值點(diǎn)。利用對(duì)數(shù)平均不等式。變換主元等方法。任務(wù)一、完成下面問題，總結(jié)極值點(diǎn)偏移問題的解決方法。1設(shè)函數(shù)（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）有兩解（）,求證：.解析：（1）由可知因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所?若時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 若時(shí)，當(dāng)在內(nèi)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增； 若時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；（2）要證，只需證，為增函數(shù)。只需證：，即證（*）又兩式相減整理得：，把代入（*）式，即證：化為：所以為減函數(shù)，綜上得：原不等式得證。2.設(shè),是函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn),為線段

2、的中點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn),試問:曲線在點(diǎn)處的切線是否平行于直線？ 解:由題意可得,且,故直線的斜率. 由題意可知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,因此我們只需判斷直線的斜率與是否相等即可.又由于,因此.令函數(shù),則. 不妨令,則,則由可知在上遞增.故.從而可得,即直線的斜率與不相等,也即曲線在點(diǎn)處的切線與直線不平行.任務(wù)二、完成下面練習(xí)，體驗(yàn)極值點(diǎn)偏移問題的解決方法在解題中的運(yùn)用。3.設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個(gè)不等實(shí)根,求證:解:(1)由,且可知: 當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí),若,則；若,則；此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.(2)由是方程的兩個(gè)不等實(shí)根可知:

3、,. 兩式作差可得. 故.由可得. 由可知,因此由,則由可知在上遞增.故,從而可知4.設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),且是的等差中項(xiàng),求證:.證明:由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)可知 , 兩式作差可得. 故. 由,及可得. 由可知,因此由,則由可知在上遞增.故,從而可知5.（2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)理科第21題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) （）求的取值范圍； （）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，得，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由得，由得，由得， 故，是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，所以 又，故在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，即 由又，所以，在區(qū)間 存在唯一零點(diǎn)，即， 故時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得， 若，即時(shí)，故在上單調(diào)遞增，與題意不符 若，即時(shí)，易證故在上只有一 個(gè)零點(diǎn)，若，即時(shí)，易證，故在上只有一個(gè)零點(diǎn)綜上述，（）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明由（）知，且令，則因?yàn)椋?，所以，所以在?nèi)單調(diào)遞增,所以，即，所以，所以，因?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式證明由（）知，又 所以，當(dāng)時(shí)，且，故當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?即 所以 所以 所以 所以 下面用反證法證明不等式成立 因?yàn)?，所以，所?假設(shè)，當(dāng)，,與矛盾； 當(dāng)時(shí),與矛盾，故假設(shè)不成立 所以6.設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求證:.證明:由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)可得: , 兩式相減可得. 兩式