圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題(毛玉峰)

1、校際交流材料圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題泰興市第二高級中學(xué) 毛玉峰圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一,是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.這部分知識綜合性較強(qiáng),對學(xué)生邏輯思維能力、計(jì)算能力等要求很高,特別是圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題,此類問題主要涉及到直線、圓、圓錐曲線等方面的知識，滲透了函數(shù)、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，是高考的熱點(diǎn)題型之一.【要點(diǎn)梳理】1.解析幾何中，定點(diǎn)、定值問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，解決這類問題基本思想是明確的，那就是定點(diǎn)、定值必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變量，所以可運(yùn)用函數(shù)的思想方法，選定適當(dāng)?shù)膮?shù)，結(jié)合等式的恒成立求解，也就是說與題中的可變量無關(guān)。2.橢圓中常見的定值結(jié)論：結(jié)

2、論1：經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率都存在，則為定值.結(jié)論2：已知是橢圓兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線的斜率都存在，則為定值.結(jié)論3：設(shè)是橢圓上的三個(gè)不同點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，則為定值.結(jié)論4：過橢圓上一點(diǎn)上任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則直線的斜率為定值.結(jié)論5：分別過橢圓上兩點(diǎn)，作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則直線的斜率為定值.3. 定點(diǎn)問題：對圓錐曲線中定點(diǎn)的確定，通常設(shè)出適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出相應(yīng)曲線系（直線系）方程，利用定點(diǎn)對參變量方程恒成立的特點(diǎn)，列出方程（組），從而確定出定點(diǎn)或者也可以對參變量取特殊值確定出定點(diǎn)，再進(jìn)行一般性證明

3、.4. 定值問題：求證或判斷某幾何量是否為定值時(shí)，可引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮⒆兞浚苯忧蟪鱿鄳?yīng)幾何量的值，說明或證明其為定值（與參變量無關(guān)）.下面結(jié)合具體例子加以說明.例1.已知圓和圓（1）過圓心作傾斜角為的直線交圓于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求；（2）過點(diǎn)引圓的兩條割線和，直線和被圓截得的弦的中點(diǎn)分別為.試問過點(diǎn)的圓是否過定點(diǎn)（異于點(diǎn)）？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，說明理由；【解析】（1）（解略）（2）依題意，過點(diǎn)的圓即為以為直徑的圓，所以，即整理成關(guān)于實(shí)數(shù)的等式恒成立則，所以或 即存在定點(diǎn). 小結(jié)：本題列出了圓系方程，再整理成關(guān)于參變量的方程，列出方程組，得出定點(diǎn)。（第18題）例2.（2016年南京三模

4、18）已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn)，P到直線l1：x2的距離為d1，到點(diǎn)F(1，0)的距離為d2，且（1）求橢圓C的方程； （2）如圖，直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B(A，B都在x軸上方)，且OFAOFB180º（）當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；（）是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論OFA如何變化，直線l總過該定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【解析】（1）（2）（解略）（2）（）由于OFAOFB180º，所以kAFkBF0 設(shè)直線AB方程為：ykxb，代入y21得：(k2)x22kbxb210，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x2，

5、x1x2所以，kAFkBF0所以，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)2kx1x2(kb)(x1x2)2b2k×(kb)×2b0 b2k0， 所以直線AB方程為：yk(x2)， 所以直線l總經(jīng)過定點(diǎn)M(2，0) .小結(jié)：本題中列出了直線系方程，有兩個(gè)參數(shù)，根據(jù)題意，求出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，再整理成關(guān)于一個(gè)參數(shù)的方程，得出定點(diǎn)。例題3.已知橢圓方程，過點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)直線斜率分別是，且,求證：直線過定點(diǎn).證明一：顯然直線的斜率不為零，設(shè)的直線方程是由方程，消去得，則，而直線的斜率為，以代替，得，所以直線的方程為 (*)由取，得直線的方程: 取，得直線的方程

6、: 由得交點(diǎn)代入(*)，得即，又因?yàn)?，所以，?*)恒成立，所以直線必過.證明二：當(dāng)直線不垂直軸，故設(shè)的直線方程是，由方程組，消去得設(shè)，即代入，得直線方程：即直線過定點(diǎn)另外，當(dāng)直線垂直軸，設(shè)，代入，易得，即直線方程為，也過定點(diǎn)，綜上：直線直線過定點(diǎn).證明三：顯然直線不平行軸，故設(shè)的直線方程是，由方程組，消去得設(shè)，即代入，那么即直線過定點(diǎn).小結(jié)：本題中方法1中，用了特殊到一般的解題思路。方法2和3中，注重了直線方程的兩種設(shè)法。例題4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).（）求的最小值；（）若，求證：直線過定點(diǎn)；

7、解：（）由題意:設(shè)直線,由消y得:,，設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得: =,即,所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為,因?yàn)槿c(diǎn)在同一直線上，所以，即， 解得（解略）（）證明:由題意知:n>0,因?yàn)橹本€OD的方程為,所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為, 又因?yàn)?且，所,又由（）知: ,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實(shí)數(shù)k無關(guān),所以直線過定點(diǎn)(-1,0).小結(jié)：（1）證明直線過定點(diǎn)的基本思想是使用一個(gè)參數(shù)表示直線方程，根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出關(guān)于的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn)。例題5.已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且，過P作關(guān)

8、于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值；解：（1）（略解）點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為，則PB的直線方程為： 由 得 設(shè)則同理可得，則所以直線AB的斜率為定值.例題6.（2016年揚(yáng)州三模檢測）如圖，已知點(diǎn)F1,F2是橢圓Cl：y2 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓C2：y2 經(jīng)過點(diǎn)F1,F2，點(diǎn)P是橢圓C2上異于F1,F2的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓C1的交點(diǎn)分別是A，B和C，D設(shè)AB、CD的斜率分別為 （1）試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由（2）求|AB|

9、83;|CD|的最大值解. （1）因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，故的坐標(biāo)是；而點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，將的坐標(biāo)帶入的方程得， 設(shè)點(diǎn)，直線和分別是. （1）， 又點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，故 （2） 聯(lián)合（1）（2）兩式得 ，故為定值例題7、（2016年三模17）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C： (ab0)的離心率為，點(diǎn)(2，1)在橢圓C上OxyFPQ（第17題圖）（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與圓O：x2y22相切，與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn) 若直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F，求OPQ的面積；求證：解、（1）（解略）（2）（解略）(ii) 若直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為ykxm，即kxym0因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即m22k22將直線PQ方程代入橢圓方程，得(12k2) x24kmx2m260.設(shè)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2因?yàn)閤1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)×km×()m2將m22k22代入上式可得0小結(jié)：定值問題求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)