向量與坐標知識點總結

1、解析幾何復習知識點總結第1章 向量與坐標第一節(jié) 向量的概念：空間中具有大小和方向的量叫做空間向量。向量的大小叫做向量的長度或模（moduius)。規(guī)定，長度為0的向量叫做零向量，記為0.模為1的向量稱為單位向量。與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量。記為-a方向相等且模相等的向量稱為相等向量。長度為一個單位（即模為1）的向量，叫做單位向量與向量a同向，且長度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作a0，a0=a/|a|。1共線向量定理兩個空間向量a,b向量(b向量不等于0），ab的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使a=b2共面向量定理如果兩個向量a,b不共線，則向量c與向量a,b共

2、面的充要條件是：存在唯一的一對實數(shù)x,y,使c=ax+by3空間向量分解定理如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，零向量的表示唯一。1.2 向量的加法三角形定則解決向量加減的方法：將各個向量依次首尾順次相接，結果為第一個向量的起點指向最后一個向量的終點。平行四邊形定則解決向量加法的方法：將兩個向量平移至公共起點，以向量的兩條邊作平行四邊形，向量的加法結果為公共起點的對角線。平行四邊形定則解決向量減法的方法：將兩個向量平移至公共起點，以向量的兩條邊作平行四邊形，結果由減向量的終點

3、指向被減向量的終點。（平行四邊形定則只適用于兩個非零非共線向量的加減。）坐標系解向量加減法：在直角坐標系里面,定義原點為向量的起點.兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差若向量的表示為(x,y)形式,A(X1,Y1) B(X2,Y2)，則A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2） 簡單地講：向量的加減就是向量對應分量的加減。類似于物理的正交分解。向量加法的運算律：交換律：a+b=b+a；結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。減法如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0OA-OB=BA.即“共同起點，

4、指向被向量的減法減”a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y').如圖：c=a-b 以b的結束為起點，a的結束為終點。交換律：a+(-b)=a-b1.3向量的數(shù)乘實數(shù)和向量a的叉乘乘積是一個向量，記作a，且a=*a。當>0時，a的方向與a的方向相同；當<0時，a的方向與a的方向相反；當=0時，a=0，方向任意。當a=0時，對于任意實數(shù)，都有a=0。注：按定義知，如果a=0，那么=0或a=0。實數(shù)叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。當>1時，表示向量a的有向線段在原方向（&g

5、t;0）或反方向（<0）上伸長為原來的倍當<1時，表示向量a的有向線段在原方向（>0）或××反方向（<0）上縮短為原來的倍。實數(shù)p和向量a的點乘乘積是一個數(shù)。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律結合律：(a)·b=(a·b)=(a·b)。向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.數(shù)乘向量的消去律： 如果實數(shù)0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。需要注意的是：向量的加減乘除運算滿足實數(shù)加減乘除運算法則。1.4 向量的線性關系與向量的分解如果V是一個線性

6、空間，如果存在不全為零的系數(shù)c1, c2, ., cnF，使得c1v1+ c2v2+ . + cnvn= 0，那么其中有限多個向量v1, v2, ., vn稱為線性相關的.反之，稱這組向量為線性無關的。更一般的，如果有無窮多個向量，我們稱這無窮多個向量是線性無關的，如果其中任意有限多個都是線性無關的。分解定理平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不平行向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使a=1e1+2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內所有向量的一基底。定比分點公式定比分點公式（向量P1P=·向量PP2）設P1、P2是直線上的兩點，P是直線

7、上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個任意實數(shù) 且不等于-1，使 向量P1P=·向量PP2，叫做點P分有向線段P1P2所成的比。若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有OP=(OP1+OP2)/(1+)；（定比分點向量公式）x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+)。（定比分點坐標公式）我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式三向量共面的充要條件是他們線性相關空間任何四個向量總是線性相關空間四個以上向量總是線性相關1.5標架與坐標三個坐標面把空間分成八個部分，每個部分叫做一個卦限。含有x軸正半軸、y軸正半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限

8、，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆時針方向確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五、六、七、八卦限。空間向量的八個卦限的符號x+-+-+y+-+-z+-空間的一個定點O，連同三個不共面的有序向量e1，e2，e3的全體，叫做空間中的一個標架，記做O；e1，e2，e3。如果e1，e2，e3都是單位向量，那么O；e1，e2，e3就叫做笛卡兒標架。兩兩互相垂直的標架叫做笛卡兒直角標架。在一般情況下，O；e1，e2，e3叫做仿射標架。標架一般是完全決定空間坐標系來用的，所以空間坐標系也可以用標架O；e1，e2，e3來表示，這時候點O就可以叫做坐標原點，而向量e1，e2，e3都叫做坐

9、標向量。當空間取定標架O；e1，e2，e3后，空間全體向量的集合或者全體點的集合與全體有序三數(shù)組x，y，z的集合具有一一對應的關系，這種一一對應的關系就叫做空間向量或點的一個坐標系。此時，向量或點關于標架O；e1，e2，e3的坐標，也稱為該向量或點關于由這標架所確定的坐標系的坐標。標架是空間坐標系的向量化。笛卡爾坐標系(Cartesian)- 系統(tǒng)用 X、Y 和 Z 表示坐標值。柱坐標系(Cylindrical)- 系統(tǒng)用半徑、theta (q) 和 Z 表示坐標值。球坐標系(Spherical)- 系統(tǒng)用半徑、theta (q) 和 phi (f) 表示坐標值。1.6向量在軸上的射影設向量A

10、B的始點A和終點B在軸l上的射影分別為A和B，那么向量AB叫做向量AB在軸l上的射影向量，記做射影向量lAB射影l(fā)AB=|AB|COS，=（l，AB）1.7兩向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b，則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a,b并規(guī)定0a,b定義：兩個向量的數(shù)量積（內積、點積）是一個數(shù)量（沒有方向），記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cosa，b（依定義有：cosa,b=a·b / |a|·|b|）；若a、b共線，則a·b=±ab。向量的數(shù)量積的

11、坐標表示：a·b=x·x'+y·y'。向量的數(shù)量積的運算律a·b=b·a（交換律）(a)·b=(a·b)(關于數(shù)乘法的結合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的數(shù)量積的性質a·a=|a|的平方。ab=a·b=0。|a·b|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cos| 因為0|cos|1，所以|a·b|a|·|b|）向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點1向量

12、的數(shù)量積不滿足結合律，即：(a·b)·ca·(b·c)；例如：(a·b)²a²·b²。2向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a0)，推不出b=c。3|a·b|與|a|·|b|不等價4由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反過來則成立。1.8兩向量的向量積定義：兩個向量a和b的向量積向量的幾何表示（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這里“×”并不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“”）。若

13、a、b不共線，則a×b的模是：a×b=|a|·|b|·sina，b；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b垂直，則a×b=|a|*|b|（此處與數(shù)量積不同，請注意），若a×b=0，則a、b平行。向量積即兩個不共線非零向量所在平面的一組法向量。運算法則：運用三階行列式設a,b,c分別為沿x,y,z軸的單位向量A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）則A*B=a b cx1 y1 z1x2 y2 z2向量的向量積性質：a×b是以a和b為邊的平行四邊形面積。a

14、15;a=0。a平行b=a×b=0向量的向量積運算律a×b=b×a（a）×b=（a×b）=a×（b）a×（b+c）=a×b+a×c.（a+b）×c=a×c+b×c.上兩個分配律分別稱為左分配律和右分配律。在演算中應注意不能交換“×”號兩側向量的次序。如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是錯誤的！注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。1.9三向量的混合積定義：給定空間三向量a

15、、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c，向量的混合積所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合積具有下列性質：1三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當a、b、c構成右手系時混合積是正數(shù)；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數(shù)，即(abc)=V（當a、b、c構成右手系時=1；當a、b、c構成左手系時=-1）2上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=03(abc)=(bca)=

16、(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)例題正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相連，L是EH中點，求證LBGK？設AE=a向量, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'*EH=-a+c+c'+b LB=EH/2-b-c=-a-c+c'-b/2, GK=-a'+c'+c+b'從*：-a-c+c'-b·-a'+c'+c+b'=0. LBGK1.10三向量的雙重向量積由于二重向量叉乘的計算較為復雜，于是直接給出了下