銳角三角函數(shù)的技巧及練習題附解析

1、銳角三角函數(shù)的技巧及練習題附解析一、選擇題B 30 , AD是 BAC的角平分線， AC= 6,1.如圖，在 RtVABC 中，C=90 , 則點D到AB的距離為（）D. 3. 3如圖，過點D作DE，AB于E,根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得/ BAC=60,由AD 為/ BAC的角平分線可得/ DAC=30,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 DE=CD利用/ DAC的正切 求出CD的值即可得答案.【詳解】 / B=30°, / C=90 , .-.Z BAC=60 , . AD 平分/ BAC/ DAC=30 , DE=CD ,.AC=6, . CD=ACtan / DAC=6 叵=273

2、 ,即 DE=2 V3 ,3，點D到AB的距離為2眄,故選：C.【點睛】本題考查解直角三角形及角平分線的性質(zhì)，在直角三角形中，銳角的正弦是角的對邊比斜 邊；余弦是鄰邊比斜邊；正切是對邊比鄰邊；余切是鄰邊比對邊；角平分線上的點到角兩 邊的距離相等；熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.2 .如圖，某地修建高速公路，要從 A地向B地修一條隧道（點 A, B在同一水平面上）.為了測量 A, B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地起飛，垂直上升1000米到達C處，在C處觀察B地的俯角為,則AB兩地之間的距離約為（A. 1000sin 米B. lOOOtan,1000 業(yè)米 C.米tanD.幽米sin在 Rt

3、AABC 中，/ CAB=90, / B=a,AC=1000 米，根據(jù) tanACAB,即可解決問題.解：在二.tanACAB 'Rt ABC 中，: CAB 90°, B , AC 1000 米, AB故選:AC 1000 米. tan tanC.【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用 -仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考 ?？碱}型.D. 15 或 453 .在半彳仝為1的e O中，弦AB、AC的長度分別是 J3 , J2 ,則BAC為（）度.A. 75B. 15 或 30C. 75或 15【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出草圖，因為 C點位置待定，所以分

4、情況討論求解.【詳解】利用垂徑定理可知： AD=e AE 返 2 '2Bsin/AOD=® . AOD=60 ;2 2sin/AOE*,，/AOE=45;2. / BAC=75 .當兩弦共弧的時候就是15。.故選：C.【點睛】此題考查垂徑定理，特殊三角函數(shù)的值，解題關(guān)鍵在于畫出圖形趙爽弦圖”如圖所示,4 .公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解周髀算經(jīng)時給出的積是125,小正方形面積是25,則 sin2cos ()A. 一5B.P 3.5C. 59D.一5根據(jù)正方形的面積公式可得大正方形的邊長為5.5 ,小正方形的邊長為 5,再根據(jù)直角三它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方

5、形拼成的一個大正方形.如果大正方形的面角形的邊角關(guān)系列式即可求解.【詳解】解：,大正方形的面積是125,小正方形面積是 25,大正方形的邊長為 5. 5 ,小正方形的邊長為 5,l- 5而cos575 sin5 ，5一cos sin , 5sincos故選：A.【點睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度適中，解題的關(guān)鍵是正確得出cos sin5 .55 .如圖，在 ABC中，AB AC , MN是邊BC上一條運動的線段（點 M不與點B重1 合，點N不與點C重合），且 MN BC, MD BC交AB于點D , NE BC交2AC于點E ,在MN從左至右的運動過程中，設(shè) B

6、M x , BMD的面積減去 CNE的 面積為y,則下列圖象中，能表示 y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）C.“1/設(shè) a= - BC, / B=/ C=2【詳解】a,求出CN、DM、EN的長度，利用y=”MD-Sacnee,即可求解.解：設(shè) a= 1BC, Z B= / C= % 則 MN = a,2，CN= BC-MN-BM = 2a-a-x = a-x , DM = BM tanB= x tan,”EN= CN?tanC= ( a-x ) tan,”c 一1,，y = Szbmd-Sacne= ( BM. DM-CN EN)=21一 tan 222 a tanx tan a x 2x2a

7、tan2-為常數(shù),上述函數(shù)圖象為一次函數(shù)圖象的一部分, 故選：A.【點睛】 本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積等知識 點.解題關(guān)鍵是深刻理解動點的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點所代表的實際意義，理解動 點的完整運動過程.6 .如圖，在等腰直角 AABC中，/ C= 90°, D為BC的中點，將 那BC折疊，使點 A與點D/B. 3C,【答案】B【解析】【分析】D.先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到DEF AEF ,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得到BED CDF ,設(shè) CD 1 , CFx ,則CA CB 2 ,再根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】解：

8、DEF是UEF翻折而成， DE陣 AEF, / A= / EDF,ABC是等腰直角三角形，/EDF= 45°,由三角形外角性質(zhì)得/ CDF+45° = Z BED+45°,BEDU / CDF設(shè) CD- 1 , CF= x,貝U CA= CB= 2, .DF= FA= 2-x,在RtACDF中，由勾股定理得，C*+CD2=DF2,即 x2+l = ( 2 x) 2,-3解得：x 3,4一 CF 3sin BED sin CDF DF 5 ,故選：B.【點睛】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性 質(zhì)，涉及面較廣，但難易適中.

9、7.如圖，從點 A看一山坡上的電線桿 PQ,觀測點P的仰角是45 ,向前走6m到達B 點，測得頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60和30。，則該電線桿PQ的高度()A.6273B.633C. 1033D. 873【答案】A【解析】【分析】延長PQ交直線AB于點E,設(shè)PE=x米，在直角那PE和直角ABPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用 表示出AE和BE,列出方程求得x的值，再在直角 ABQE中利用三角函數(shù)求得 QE的長, 問題求解.【詳解】解：延長PQ交直線AB于點E,設(shè)PE=x在直角AAPE中，/ A=45 ,AE=PE=x / PBE=60. / BPE=30在直角 4BPE 中，BE=Y3PE=Y3

10、X, 33.AB=AE-BE=6 米，則 x-二3 x=6, 3解得：x=9+3 J3.貝U BE=3j3+3.在直角 BEQ 中，QE=Y3BE=Y! （3禽+3） =3+J3 . 33PQ=PE-QE=9+3/3- （3+百）=6+2 向.答：電線桿PQ的高度是（6+2 J3）米.故選：A.【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形解決問題8.如圖，在矩形 ABCD中，AB=2j3, BC= 10, E、F分別在邊 BC, AD上，BE= DF.將EAD. /ABE, CDF分另IJ沿著AE, CF翻折后得到AAGE, CHF.若AG、CH分別平分/【解析】【

11、分析】C. 5D. 7如圖作 GMAD于M交BC于N,作HT±BC于T.通過解直角三角形求出 AM、GM的長，同理可得 HT、CT的長，再通過證四邊形 ABNM為矩形得MN=AB= 2石，BN = AM =3,最后證四邊形 GHTN為平行四邊形可得 GH= TN即可解決問題. 【詳解】解：如圖作 GMLAD于M交BC于N,作HT± BC于T.ABE沿著AE翻折后得到 小GE, ./ GAM=/BAE, AB=AG= 2 丘,.AG分別平分/ EAD, ./ BAE= / EAG, . / BAD= 90°, . / GAM = / BAE= / EAG= 30&#

12、176;,.GMXAD, ./ AMG = 90°,GMAM二.在 RtAAGM 中，sin/GAM = , cos/ GAM =.GM = AG?sin30° =事,AM = AG?cos30 = 3,同理可得HT= J3, CT= 3,. / AMG=Z B=/ BAD= 90°,四邊形ABNM為矩形,.MN=AB= 2百，BN = AM = 3,.GN=MN - GM= 33 ,.GN=HT,又. GN/ HT,四邊形GHTN是平行四邊形，.-.GH=TN=BC- BN - CT= 10-3-3=4,故選：B.【點睛】本題考查翻折變換，解直角三角形，矩形的判

13、定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常 用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.9.如圖，4個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，己知菱形的一個內(nèi)角為60°, A、B、C都是格點，則tan ABC ()A 3B 3C 3AB.C.【答案】A【解析】EF的長，進而利用【分析】直接利用菱形的對角線平分每組對角，結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出tan ABC EC得出答案. BE【詳解】解:連接DC,交AB于點E.由題意可得：/AFC=30 , DC± AF,設(shè) EC=xlJ1 EF=一x一 =y/3x , BF AFtan/ ABC故選:A 【點睛】此題主

14、要考查了菱形的性質(zhì)以及解直角三角形，正確得出tan302EF 2j3xEC x _1_ _3BE 2,3x 、3x 3、39EF的長是解題關(guān)鍵.10.如圖，某建筑物的頂部有一塊標識牌 CD,小明在斜坡上 B處測得標識牌頂部 C的仰角 為45 °,沿斜坡走下來在地面 A處測得標識牌底部 D的仰角為60 °,已知斜坡AB的坡角為 30°, AB= AE=10米.則標識牌 CD的高度是（ 沐.口口口口口口A. 15-5 6B. 20-1073C. 10-573D, 5石-5【答案】A【解析】【分析】過點B作BM，EA的延長線于點M,過點B作BNCE于點N,通過解直角三角

15、形可求出 BM, AM, CN, DE的長，再結(jié)合 CD= CN+ EN-DE即可求出結(jié)論.【詳解】解：過點B作BMLEA的延長線于點 M,過點B作BNLCE于點N,如圖所示.在 RtAABE 中，AB= 10 米，Z BAM = 30°, .AM=AB?cos30 =5 石（米），BM = AB?sin30= 5 （米）.在 RtAACD 中，AE= 10 （米），/ DAE= 60°, .DE=AE?tan60° = 10 73 （米）.在 RtBCN 中，BN = AE+ AM = 10+573 （米），/ CBN= 45 °, .CN=BN?ta

16、n45° =10+573 （米）, .CD=CN+ EN-DE= 10+5 73+ 5-10 73=15-5 73 （米）.故選：A.【點睛】本題考查了解直角三角形-仰角俯角問題及解直角三角形 -坡度坡腳問題，通過解直角三角 形求出BM, AM, CN, DE的長是解題的關(guān)鍵.11.如圖，河堤橫斷面迎水坡 AB的坡比是1： 3 堤高BC=10m,則坡面AB的長度是【解析】【分析】C. 20mD. in-3解:. RtAABC中，BC=10m, tanA=f： =-BC .AC=tan/l10= 3=103m.T.AB= ACG me1 m J（ioV3）z + ioz=2Om.故選C

17、.，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值及勾股【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問題） 定理，熟練掌握相關(guān)知識點正確計算是本題的解題關(guān)鍵.12.如圖，在 RtVABC中， ACB.3 八一90 , tanB , CD為AB邊上的中線，CE平 43A.一5【答案】DB.根據(jù)角平分線定理可得 AE： BE= AC：BC= 3:4,進而求得AE= AB,再由點D為AB中點71.一得AD= AB,進而可求得2【詳解】AEi的值.AD解： CE平分，點E到ACB設(shè)點E到ACBACB ,的兩邊距離相等， 的兩邊距離位h,則 SAACE=S AACE： Sabcee= - ACh: 1BCh= AC:

18、 BC,又 Saacee： Szbce= AE： BE,.AE: BE= AC: BC,.在 RtVABC 中， ACB 90 ,3 tan B 一，4.AC: BC= 3:4, .AE: BE= 3:43 - AE= AB, 7 CD為AB邊上的中線,11 1 AD= AB2.AE 7AB 6,布 1AB 72故選：D.【點睛】本題主要考查了角平分線定理的應(yīng)用及三角函數(shù)的應(yīng)用，通過面積比證得AE： BE= AC： BC是解決本題的關(guān)鍵.13 .奔跑吧，兄弟！ ”節(jié)目組，預(yù)設(shè)計一個新的游戲：奔跑”路線需經(jīng)A、B、C、D四地.如圖，其中 A、B、C三地在同一直線上， D地在A地北偏東30

19、6;方向、在C地北偏西45方向.C地在A地北偏東75 °方向.且BD=BC=30m.從A地到D地的距離是（mC. 30 ,2 mD. 15 .6 m分析：過點D作DH垂直于AC,垂足為H,求出/ DAC的度數(shù)，判斷出 4BCD是等邊三角 形，再利用三角函數(shù)求出 AB的長，從而得到 AB+BC+CD的長.詳解：過點 D作DH垂直于AC,垂足為H,由題意可知/ DAC=75 - 30 =45°,;BCD是等邊三角形，/ DBC=60°, BD=BC=CD=30m, . DH=Y3 x 30=15/3 ,AD= J2DH=15j6m.故從A地到D地的距離是15 J6 m

20、.故選D.點睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直 角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學應(yīng)用于實際生活的思想.14 .已知圓錐的底面半徑為5cm,側(cè)面積為60兀cm,設(shè)圓錐的母線與高的夾角為0,則sin的值為（）B.135C.1212 D.1313【答案】C【解析】 【分析】1先求出圓錐底面周長可得到圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長，再利用扇形面積公式S lr可2求出母線的長，最后利用三角函數(shù)即可求出答案【詳解】解：圓錐底面周長為 25 10且圓錐的側(cè)面積為 60 71,圓錐的母線長為 2 6012,10 . sin 打 .12故選C.【點睛】本題考查了圓錐和三角

21、函數(shù)的相關(guān)知識.利用所學知識求出圓錐母線的長是解題的關(guān)鍵15.如圖，拋物線y=ax2+bx+c （a>0）過原點O,與x軸另一交點為 A,頂點為B,若祥OB為等邊三角形，則 b的值為（）A.一石B. - 2石C. - 373D. - 473【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出B (-上2a,2,2.2 ),由 9OB為等邊三角形，得到 且 =tan60 °x (- 上)，4a4a2a即可求解；【詳解】解：拋物線y = ax2+bx+c(a>0)過原點O,c= 0,2a 4a. AOB為等邊三角形，b2b- = tan60 x(-),4a b= - 2 百;故選B.2a【

22、點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)；能夠?qū)佄锞€上點的關(guān)系轉(zhuǎn)化為等邊三 角形的邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16.如圖，點E是矩形ABCD的邊AD的中點，且 ()BEX AC于點F,則下列結(jié)論中錯誤的是A. AF= -CF2B. / DCF= / DFCC.圖中與AAEF相似的三角形共有,3D. tan Z CAD=1 一一4一“人 一，故A正確，不符合題意;22由AE=- AD=-BC,又AD/ BC,所以緋 竺22BC FC1過D作DM / BE交AC于N,得到四邊形 BMDE是平行四邊形，求出 BM=DE=- BC 得到2，CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故 B正確，

23、不符合題意;根據(jù)相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；由BA04ADC,得到CD與AD的大小關(guān)系，根據(jù)正切函數(shù)可求tan/CAD的值，故D錯誤，符合題意.【詳解】解：A、AD/ BC, . AE% CBF,AE AF.=,BC FC1 1一 AE AD= BC, 22AF 1=故A正確，不符合題意；FC 2B、過 D作 DM / BE交 AC于 N,1. DE/ BM, BE/ DM, 四邊形BMDE是平行四邊形，.-.BM = DE= -BC,.BM = CM,.-.CN= NF,. BEAC 于點 F, DM / BE, DNXCF,.DF= DC,丁./ DCF= / DFC,

24、故B正確，不符合題意；C、圖中與 AAEF相似的三角形有 ZACD, ABAF, CBF, ACAB, 那BE共有5個，故 C正 確，不符合題意.b aD、設(shè) AD= a, AB= b 由 ABAEs ADC,有一=一.a 2 tanZCAD= CD = b = 變，故d錯誤，符合題意.AD a 2故選：D.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計算，正確的作出輔助線 是解題的關(guān)鍵.17.如圖，矩形 ABCD的對角線AC、BD相交于點O, AB： BC= 2： 1,且BE/ AC, CE/DB,連接 DE,貝U tan / EDO ()【解析】【分析】C 2C.D.3

25、10過點E作EN直線DC交線段DC延長線于點F,連接OE交BC于點G.根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷四邊形OBEC是菱形，則 OE與BC垂直平分，易得 EFx,2CF=x再由銳角三角函數(shù)定義作答即可.【詳解】解：矩形 ABCD的對角線 AC、BD相交于點 O, AB: BC= 2: 1 ,BC= AD,設(shè) AB=2x,貝U BC= x.如圖，過點E作EH直線DC交線段DC延長線于點F,連接OE交BC于點G.1. BE/AC, CE/ BD, 四邊形BOCE是平行四邊形， 四邊形ABCD是矩形，.-.OB=OC,，四邊形BOCE是菱形. OE與BC垂直平分，1 _1 一 - EF= -A

26、D= - x, OE/ AB,22四邊形AOEB是平行四邊形,-.OE=AB= 2x,CF= OE= x【點睛】2,本題考查矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形, 解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.18.如圖，AB是。的直徑，弦 CD）± AB于E點，若AD CD 2 J3 .則？C的長為（）A.一32 B.3D. 2-33根據(jù)垂徑定理得到CE DE J3 , ?C Bd，/ A=30°,再利用三角函數(shù)求出 OD=2,即可利用弧長公式計算解答 .【詳解】如圖：連接OD,.AB是。的直徑，弦 CD, AB于E點，AD CD 2底,/ A=30 °,CE DE 73, ?C Bd. / DOE=60 , .OD= DE 2, o sin 60Bc 的長=?D 的長=史2180故選：B.耳【點睛】此