圓壓軸八大模型題4圓內(nèi)接等邊三角形

1、圓壓軸題八大模型題（四）瀘州市七中佳德學(xué)校 易建洪引言：與圓有關(guān)的證明與計(jì)算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習(xí)題。一般都是在固定習(xí)題模型的基礎(chǔ)上變化與括展，本文結(jié)合近年來(lái)各省市中考題，整理了這些習(xí)題的常見的結(jié)論，破題的要點(diǎn)，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺(tái)階性幫助考生解決問題。類型4 圓內(nèi)接等邊三角形如圖，點(diǎn)P為等邊ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn).(1) 求證：PAPBPC；(2) 設(shè)PA、BC交于點(diǎn)M， 若BP4，PC2，求CM的長(zhǎng)度. 若AB4，PC2，求CM的長(zhǎng)度.【分析】(1) 證明：連結(jié)CD在PA上截取PD=PC，圖1證得A

2、CDBCP，AD=PB，又DP=PC，因此PA=PB+PC.(2)O中ABMCPM, 設(shè)MC=x，則AM=2x,MN=2-x，又AN=2,在RtAMN中，由勾股定理得CM=x=.圖（3）圖（2）圖（1）(2)過點(diǎn)C作CEAP于E，過點(diǎn)A作ANBC于點(diǎn)N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,RtPCE中PE=1,CE=，則AE=5,AC=2,因此AB=AC=2,由（2）可得CM=.【典例】（2018·湖南常德）如圖，已知O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D在圓上，在CD的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F，使DFDA，AEBC交CF于E（1）求證：EA是O的切線； （2）求證：BDCF圖4-1【分析

3、】（1）連結(jié)OA后，由OAC30°，BCAE得CAEBCA60°，因此OAE90°證得AE是O的切線.（2）ADFABC60°，且DFDA得等邊ADF，且ABC也是等邊三角形，可得ADBAFC，因此BDCF.【解答】證明：（1）連接OD，O是等邊三角形ABC的外接圓，OAC30°，BCA60°，AEBC，EACBCA60°，OAEOACEAC30°60°90°，圖aAE是O的切線；（2）ABC是等邊三角形，ABAC，BACABC60°，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，ADFABC60°

4、;，ADDF，ADF是等邊三角形，ADAF，DAF60°，BACCADDAFCAD，即BAFCAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BDCF【點(diǎn)撥】等邊三角形的邊等角等易構(gòu)造三角形全等和相似，圓上一點(diǎn)與圓內(nèi)接等邊三角形三頂點(diǎn)的連線之間的關(guān)系探究，可以運(yùn)用延長(zhǎng)法與截短法；含60°角三角形，知兩邊求第三邊；借相交弦或平行線得三角形相似，作等邊三角形的高，借比例線段和勾股定理建方程求線段是關(guān)鍵?！咀兪竭\(yùn)用】1.（2011·瀘州）如圖，點(diǎn)P為等邊ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)（1）求BPC的度數(shù)；（2）求證：PAPBPC；（3）設(shè)PA，BC交于點(diǎn)M，若AB4，PC2，求CM

5、的長(zhǎng)度（1）解：ABC為等邊三角形，BAC60°，點(diǎn)P為等邊ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形BPCBAC180°，BPC120°，（2）證明：連結(jié)CD在PA上截取PDPC，圖4-2ABACBC，APBAPC60°，PCD為等邊三角形，PCDACB60°，CPCD，PCDDCMACBDCM，即ACDBCP，在ACD和BCP中，ACDBCP，ADPB，PAADDP，DPPC，圖bPAPBPC；（3）解：PCD和ABC都為等邊三角形，MDCACM60°，CDPC，又DMCCMA，CDMACM，AB4，PC2，CM：

6、AMDM：MCDC：ACPC：AC2：41：2，設(shè)DMx，則CM2x，BM42x，PM2x，AM4x，ADAMDM4xx3xBMPCMA，PBMCAM，BPMACM，BP：ACPM：CM，即3x：4（2x）：2x，解得x（舍去負(fù)號(hào)），則x，CM2.如圖，已知AD是ABC外角EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC.（1）求證：FBFC；（2）FB2FA·FD；（3）若AB是ABC的外接圓的直徑，EAC120°，BC6cm，求AD的長(zhǎng).證明：（1）AD平分EAC，EADDAC.四邊形AFBC內(nèi)接于圓，圖4-3DACFBC.EADFA

7、BFCB，F(xiàn)BCFCB，F(xiàn)BFC.（2）FABFCBFBC，AFBBFD，F(xiàn)BAFDB，F(xiàn)B2FA·FD.（3）解：AB是圓的直徑，ACB90°.EAC120°，DACEAC60°.四邊形ACBF內(nèi)接于圓，DACFBC60°，又FBFC，BFC是等邊三角形，BACBFC60°，D30°.BC6，AC2，AD2AC43.（2016·德陽(yáng)）如圖，點(diǎn)D是等邊三角形ABC外接圓上一點(diǎn).M是BD上一點(diǎn)，且滿足DMDC，點(diǎn)E是AC與BD的交點(diǎn).（1）求證：CM/AD；（2）如果AD1，CM2.求線段BD的長(zhǎng)及BCE的面積.解：（1）DABC是正三角形，,ADBBDC60°，又DMDC，DCDM是等邊三角形，即DMCMCD，DMC60°，ADBDMC60°，CMAD； （2）DACDBC，BMCADC120°，而ACBC，DADCDBMC，BMAD1，圖4-4BDBMMD123 由（1）可得，DADEDCME，而AD1，CM2，又MD2，DE，ME， ，且點(diǎn)E在線段AC上，AEAC，BACBDC60°，ABDACD，DABE