圓錐曲線與方程知識(shí)總結(jié)

1、高二數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程單元復(fù)習(xí)與鞏固知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：圓錐曲線的統(tǒng)一定義橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱(chēng)圓錐曲線。平面內(nèi)，到一定點(diǎn)的距離與它到一條定直線（不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)）的距離之比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫做離心率。e（0，1）時(shí)軌跡是橢圓；e=1時(shí)軌跡是拋物線；e（1，+）時(shí)軌跡是雙曲線。知識(shí)點(diǎn)二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1橢圓：(1)定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦點(diǎn)(2)標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中； 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；(3)橢圓的

2、的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì): 范圍：， 焦點(diǎn)，頂點(diǎn)、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)=，焦距，2雙曲線(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線,這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)(2)標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中； 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中.(3)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 范圍：，； 焦點(diǎn)，頂點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=，焦距； 離心率是，準(zhǔn)線方程是； 漸近線：.3拋物線(1)定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線(2)標(biāo)準(zhǔn)方程 四種形式：，。(3)拋物線標(biāo)準(zhǔn)

3、方程的幾何性質(zhì) 范圍：， 對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn) 離心率：.知識(shí)點(diǎn)三：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系1直線Ax+By+C0和橢圓的位置關(guān)系：將直線方程代入橢圓后化簡(jiǎn)為一元二次方程，其判別式為。(1)若0，則直線和橢圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn))；(2)若0，則直線和橢圓相切，有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；(3)若0，則直線和橢圓相離，無(wú)公共點(diǎn)2直線Ax+By+C0和雙曲線的位置關(guān)系：將直線方程代入雙曲線方程后化簡(jiǎn)方程若為一元一次方程，則直線和雙曲線的漸近線平行，直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切不是切點(diǎn)；若為一元二次方程，則(1)若0，則直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn))；

4、(2)若0，則直線和雙曲線相切，有一個(gè)切點(diǎn)；(3)若0，則直線和雙曲線相離，無(wú)公共點(diǎn)注意：如說(shuō)直線和雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，則要考慮兩種情況：一個(gè)切點(diǎn)和一個(gè)交點(diǎn)3直線Ax+By+C0和拋物線y22px(p0)的位置關(guān)系：將直線方程代入拋物線方程后化簡(jiǎn)后方程：若為一元一次方程，則直線和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行，直線和拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切不是切點(diǎn)；若為一元二次方程，則(1)若0，則直線和拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn))；(2)若0，則直線和拋物線相切，有一個(gè)切點(diǎn)；(3)若0，則直線和拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)。注意：如說(shuō)直線和拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，則要考慮兩種情況：一個(gè)切點(diǎn)和一個(gè)交點(diǎn)4直線被圓錐曲線截得

5、的弦長(zhǎng)公式：當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，直線ykx+b與圓錐曲線相交于，兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)公式：當(dāng)k存在且不為零時(shí), 弦長(zhǎng)公式還可以寫(xiě)成：知識(shí)點(diǎn)四：曲線的方程和方程的曲線的關(guān)系一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.那么，方程叫做曲線的方程；曲線叫做方程的曲線.知識(shí)點(diǎn)五：求曲線的方程1. 定義：在直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）所滿(mǎn)足的方程表示曲線，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì).這

6、就是坐標(biāo)法.2. 坐標(biāo)法求曲線方程的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中涉及的幾何因素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.通過(guò)坐標(biāo)法，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一.用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何對(duì)象，然后對(duì)坐標(biāo)和方程進(jìn)行代數(shù)討論；最后再把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”。 3求軌跡方程的常用方法：直接法、相關(guān)點(diǎn)法.定義法、代入法、參數(shù)法等。規(guī)律方法指導(dǎo) 3圓錐曲線綜合題類(lèi)型(1)用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程

7、數(shù)形結(jié)合：先定型，再定量，注意區(qū)分解析條件與純幾何條件，如果位置不確定時(shí)，考慮是否兩解在圖形上標(biāo)出已知條件，檢查軸上的點(diǎn)、垂直于軸的直線的位置是否準(zhǔn)確；方程思想：n個(gè)未知數(shù)，列夠n個(gè)獨(dú)立的方程，并注意韋達(dá)定理的使用：注意“點(diǎn)在線上”條件的使用 (2)求軌跡方程基本方法：定義法、直接代入法、參數(shù)法(利用已知參數(shù)方程法或自設(shè)參數(shù))注意：注意限制；求軌跡方程與求軌跡的區(qū)別。求軌跡是要求先求軌跡方程再描述該軌跡方程所表示的曲線類(lèi)型及相應(yīng)的幾何特征；n個(gè)未知數(shù)，列夠n-1個(gè)獨(dú)立方程，特別注意考慮是否可利用定義直接列出方程 (3)求取值范圍或最值函數(shù)方法-將待求范圍參數(shù)表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，注意求函數(shù)的

8、定義域。方程與不等式組-n個(gè)未知數(shù)，列夠n個(gè)獨(dú)立方程或不等式，注意歸納總結(jié)列不等式的方法：利用幾何性質(zhì)求參數(shù)范圍；利用不等式性質(zhì)(結(jié)合幾何性質(zhì))求參數(shù)范同 圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)回顧 1橢圓的性質(zhì) 2雙曲線的性質(zhì) 3拋物線中的常用結(jié)論過(guò)拋物線y22px的焦點(diǎn)F的弦AB長(zhǎng)的最小值為2p設(shè)A(x1，y)， 1B(x2，y2)是拋物線y22px上的兩點(diǎn)， 則AB過(guò)F的充要條件是y1y2p2設(shè)A， B是拋物線y22px上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)， 則OAOB的充要條件是直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p，0)(4).圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱(chēng)圓錐曲線)的統(tǒng)一定義與一定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓

9、錐曲線，定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫做離心率，用e表示，當(dāng)0e1時(shí)，是橢圓，當(dāng)e1時(shí)，是雙曲線，當(dāng)e1時(shí)，是拋物線4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（在這里我們把圓包括進(jìn)來(lái)）(1).首先會(huì)判斷直線與圓錐曲線是相交、相切、還是相離的 a.直線與圓：一般用點(diǎn)到直線的距離跟圓的半徑相比(幾何法)，也可以利用方程實(shí)根的個(gè)數(shù)來(lái)判斷(解析法).b.直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯(lián)立方程，判斷相交、相切、相離c.直線與雙曲線、拋物線有自己的特殊性(2).a.求弦所在的直線方程b.根據(jù)其它條件求圓錐曲線方程(3).已知一點(diǎn)A坐標(biāo)，一直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P、Q，且中點(diǎn)為A，求P、Q所在的直線方程(4).已知一直線方程，某圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求某個(gè)值的取值范圍（或者是圓錐曲線上否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)）5二次曲線在高考中的應(yīng)用二次曲線在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)。通過(guò)以二次曲線為載體，與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識(shí)進(jìn)行綜合，結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，并與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，其設(shè)問(wèn)形式新穎、有趣、綜合性很強(qiáng)。本文關(guān)注近年部分省的高考二次曲線問(wèn)題，給予較深入的剖析，這對(duì)形成高三復(fù)習(xí)的新的教學(xué)理念將有著積極的促進(jìn)作用。(1).重