導(dǎo)數(shù)討論含參單調(diào)性習(xí)題(含詳解答案及解析)

1、WORD格式可編輯m(x + n)f(x) = lnx,g(x) =(m > 0)1 ,設(shè)函數(shù)x + 1.(1)當(dāng)m = l時(shí)，函數(shù)¥ =小)與¥ =由)在* =1處的切線互相垂直，求n的值；(2)若函數(shù)V =在定義域內(nèi)不單調(diào)，求 m-n的取值范圍；2a xf(卜f(e ) + f(_) 5 0(3)是否存在正實(shí)數(shù)"使得K2a 對(duì)任意正實(shí)數(shù)K恒成立？若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)白；若不存在，請(qǐng)說明理由.2,已知函數(shù)皿*g + i)lxax+1釀)是小)的導(dǎo)函數(shù)，合為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論削田的單調(diào)性；(2)當(dāng)白>時(shí)，證明：或呼,)>0；(3)當(dāng)

2、"七時(shí)，判斷函數(shù)*x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.bf(x) = a(x + 一)+ blnx3,已知函數(shù)*(其中，為BER).(1)當(dāng)6 =用時(shí)，若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 總的取值范圍；(2)當(dāng)"T時(shí)，是否存在實(shí)數(shù) '使得當(dāng)KE©/時(shí)，不等式f僧)> °恒成立，如果存在，求b的取值范圍，如果不存在，說明理由(其中R是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，2.71828).4,已知函數(shù)統(tǒng))=1+己)其中m為常數(shù).(1)討論函數(shù)或"的單調(diào)性；蚓 + g%). + .X X) 以)(2)若以K)存在兩個(gè)極值點(diǎn) Y求證：無論實(shí)數(shù)取什么值都有.5,已知函數(shù)颯二

3、內(nèi)伯。己)6為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù) m)= *(x) + sinx是區(qū)間T, 1上的減函數(shù).(1)求3的值；(2)若+肘+1在* E -1. 1及X所在的取值范圍上恒成立，求t的取值范圍；Inx 2=x -2ex + m(3)討論關(guān)于 '的方程”對(duì)的根的個(gè)數(shù).6 .已知函數(shù) f (x)= ax ln x, F (x)= ex+ax,其中 x>0,a<0.(1)若f (x)和F(x)在區(qū)間(0,ln3 )上具有相同的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；1(2)若aw ,_丁|,且函數(shù)g(x)=xe,2ax+f (x)的最小值為M ,求M的 e最小值.7 .已知函數(shù) f(x

4、) =exw -lnx.(1)如x =1是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的值并討論的單調(diào)性 f (x)；(2)若x = x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，且f(x)之0恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍(注：已知常數(shù)a滿足alna=1).x2.8 .已知函數(shù) f (x ) = ln (1+mx )+萬mx ,其中 0<mE1.x3(1)當(dāng) m=1 時(shí)，求證：1<xE0時(shí)，f(x)E ;3(2)試討論函數(shù)y = f (x )的零點(diǎn)個(gè)數(shù). *、 Y 19 .已知 e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，F(xiàn)(x)=2e +x + lnx, f(x)=a(x1)+3.(1)設(shè)T(x)=F(x )f(x)，當(dāng)a =1+

5、2e時(shí)，求證：T(x )在(0,y )上單調(diào)遞增；(2)若Vx >1,F (xf (x ),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10 .已知函數(shù) f (x)=ex +ax 2(1)若a=-1 求函數(shù)f (x )在區(qū)間-1,1的最小值；(2)若a w R,討論函數(shù)f (x )在(0, +oc)的單調(diào)性；(3)若對(duì)于任意的x1, x2W(0,依),且x1 < x2,都有x2f (x1) +a<x1f (x2)+a】成立，求a的取值范圍。專業(yè)知識(shí)整理分享WORD格式可編輯參考答案ea :1 . （1） 口 = 5；巾-n3；（3）2 .【解析】i 1 - ng =試題分析：（1）本小題主要利用導(dǎo)數(shù)

6、的幾何意義，求出切線斜率；當(dāng) m = 1時(shí)， ），1 - n可知V = g在x = 1處的切線斜率4，同理可求得f”）= l ,然后再根據(jù)函數(shù) V = Wx）與1 -（1 乂 1 : 1V=削2在X = 1處的切線互相垂直，得 4,即可求出結(jié)果.1x + 2 - mil - n） +- IXV =f（x）-g（x）=（2）易知函數(shù)Y/北的定義域?yàn)?叼，可得僅+ D ,由題意，1 1x + 2 - m（l - n） + -k + 2 - m（：l - n） + -K在W，+a）內(nèi)有至少一個(gè)實(shí)根且曲線與X不相切，即區(qū)的最小> m（l - n） > 4值為負(fù)，由此可得進(jìn)而得到 4,由此即

7、可求出結(jié)果.（3）2a aw x>11h（x = f（一 f（e ） + f（）h （x） = aln2a - alnx - a + -= aln2a - alnx- a + -令 k禽，可得k,令k,則p a 1 ax +1k（X）=- - " ' =" ； < 0*x"/ ，所以3）在區(qū)間O + g）內(nèi)單調(diào)遞減，且k仰三°在區(qū)間*g）內(nèi)必存1In* =+ In2a -1在實(shí)根，不妨設(shè)川）二 °,可得 %，（*）,則財(cái)在區(qū)間”）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間值。+3）內(nèi)單調(diào)遞減，1h（xJ = ax + 2.htK1- =哂FIU -

8、%THn%將（*）式代入上式，得,使7av1f（）+ f（） < 0hx口）= ax0 + - - 2 £ °得k2a對(duì)任意正實(shí)數(shù)”恒成立，即要求川。恒成立，然后再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.試題解析：專業(yè)知識(shí)整理分享1 - ng(x)=當(dāng)m = l時(shí)， 僅+ D,1 - n k =V =虱的在x = 1處的切線斜率411 -nf(X)= -.x 1 =- 1由 K ,得f門)=1 , 4（2）易知函數(shù)Y =詢-虱'）的定義域?yàn)椤?吟,¥ =f(x)-e(x)=-又.2x + 2 - m(l n) + -m(l - n) x + 2 - m(

9、l - n)x + 1x(x + I)2x(k + l)2(x + I)21x+ 2 - m（l - n） + 由題意，得x的最小值為負(fù),（注：結(jié)合函數(shù)%/+ 2-詞1-口服+ 1圖象同樣可以得到）,> in(l - n) > 4h(x)= f(一) f(eax) + f() = ax ln2a - axdnx + Inx - In2a令X 焉，其中1t”3。,h(x) -alnZa - alnx- a +則.k(x) - aln2a - alnx - a +則x, a 1ax +1k (x) =< 0則 , ,W在區(qū)間 *g）內(nèi)單調(diào)遞減，且中）=°在區(qū)間內(nèi)必存在實(shí)

10、根，不妨設(shè)心。）-0,1 1k(xQ) = aln2a * alnx&- a + 一= 0 In/ =+ In2a -1 即%,可得 啊，(*)則h閭在區(qū)間出京。）（x + g內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間 °內(nèi)單調(diào)遞減,M44H =g。)=(%-IM 口 - (% 01個(gè) ?1 h(%) = ax0 + 2 將(*)式代入上式，得抑。.1 h(x0) = a% + 2 E。根據(jù)題意恒成立，1 1叫+3 2% =又二 叫,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，18% + = 2,axQ = 11 1% = In - = In2aa，代入（*）式，得日,1-=2a即a ,又a。，”一 ”一.2，存在滿足條件

11、的實(shí)數(shù)"且 2 .點(diǎn)睛:對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題，可以求函數(shù)最值的方法，一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后再構(gòu)造輔助函數(shù)fM,利用的"恒成立='%內(nèi)?但 : 恒成立f閭心, m ,即可求出參數(shù)范 圍.（0H2.（1）當(dāng)aw。時(shí)，鼠*）在。*3）上為減函數(shù)；當(dāng)aQ時(shí)，削X）的減區(qū)間為a ,增區(qū)1（一,4 g）間為占 ；（2）證明見解析；（3） 一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析.【解析】j a 1 ax-1g（x）= - =,試題分析：（1）討論函數(shù)單調(diào)性，先求導(dǎo) * k ，當(dāng)as。時(shí)，g。，故酣）在（0, + f1

12、 1 1* 下 一。-）（-, + 回上為減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，解旦 °可得 ,故削X）的減區(qū)間為 3 ,增區(qū)間為己 ；（2）=a 2 a* 2*'根據(jù)虱R）= T f ,構(gòu)造函數(shù)，設(shè)h（x）3r , Mk） = b-2x,當(dāng)kr時(shí)，h（X）0所以h（x）三"r,是增函數(shù)，h,） = e'x上得證；（與判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，需要研究函數(shù)的增減性及極值端點(diǎn)，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，或X）是先減再增的函數(shù)，其最小值為11 1 1 11 1 -g（-） = aln- + a = a（ln-+ 1） < 0-:e < - < ea a a，而此時(shí)g伯）= 1

13、+白 >。居伯）>。，且 a，故虱x）恰有兩個(gè)零點(diǎn) ,內(nèi),從而得到血的增減性，當(dāng)me 4）時(shí)，”的=綱:>0 ；當(dāng)KE%）時(shí)，問=則<0 ；當(dāng) 小力+回時(shí)，f二則>。，從而由）在X】，、兩點(diǎn)分別取到極大值和極小值，再證明極大值所以函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，只能有一個(gè)零點(diǎn).試題解析：, 1g（x） = f （x） = alnx + -（1）對(duì)函數(shù)不）求導(dǎo)得x , a 1 ax -1g（x）=；=?1當(dāng)。時(shí)，g（x）（。，故削X）在13）上為減函數(shù)；1 1 1,x > -（0，一）（一，十一）當(dāng)a1時(shí)，解目僅”?？傻昧?故齦）的減區(qū)間為日，增區(qū)間為日 ；（2）鼠設(shè)

14、h（x） = 1-/，則Mx） = 4-%,易知當(dāng)心時(shí)，hk）O,煙=已7-最>。（3）由（1）可知，當(dāng)a”時(shí)，g是先減再增的函數(shù)，1 1 1或一 = aln- + a = a（ln- + 1） < 0其最小值為1ag a ,i1 ia 1：_e < -< e而此時(shí)齦> = l + e %。，且 a ,故蝸恰有兩個(gè)零點(diǎn)F2. .當(dāng)XE（O-J時(shí)加）=4）"；當(dāng)XE%,用時(shí)/二如）（o；當(dāng)XW%, 十叼時(shí):一丁廠二（幻在，兩點(diǎn)分別取到極大值和極小值，且1 1削*i)- alnX + = 0 a 由xi知 &叫，1f(引=(aXj + IjlnXj

15、- ax1+ 3 = |nxL + 2lnx11 1lnX +<- 2 Inx. +=-1 乂鼠則白=匕不合題意，所以小卜。,. g<Q, . 叫，但當(dāng) 叫時(shí)， 故函數(shù)可幻的圖象與X軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn).，函數(shù)UK只有一個(gè)零點(diǎn).Ib E （, + «）3. （1） ，OUL + g）；存在，且I .【解析】試題 分析：（1 ）當(dāng)b = M時(shí)，首先求出函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，函數(shù) 的定義域 是（口，*8）,得到axZ-4x + 4af 僮）=算 ，分3£ 0和a >。兩種情況討論討論二次函數(shù)恒成立的問題，得到 白的取值r -x2 + bx + b f （x）=范圍；（2

16、）/，分b W0和b>0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，若能滿足當(dāng)時(shí)，當(dāng)滿足函數(shù)的最小值大于0,即得到b的取值范圍.試題解析:（1）由題4,4k > OFf(x) = a(x - 41rl乂 11f (x) = a(l + )kx*4 ax -4x + 4a當(dāng)a £0時(shí)，知fy 則網(wǎng)是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)"Q時(shí)，只有對(duì)于 心0,不等式州'g+ 4心0恒成立，才能使f（刈為單調(diào)函數(shù)，只需 心=-4）2-163口，解之得a£l或C1,此時(shí)3之1.綜上所述，a的取值范圍是+b f(x) = blnx - x - b b */+ bx + bK>O,f(X

17、)= - 1 + =y .2_.2(2)(i)當(dāng)b0Q時(shí)，于是f在+ a)上為減函數(shù)，則在 圖一上也為減函數(shù)b 1f儀)e前=f(e) = b - e - - = (1 - -)b * e < 0知e 已恒成立，不合題意，舍去b + 卅 + 4b(k =(ii)當(dāng)b>0時(shí)，由f=口得2，列表得Xb + vb2 4-4b fAIb +州+砧b + 6 + 4b2 122 ，)+0-21最大值Sib +Jb2 + 4beZWe 0 < b < 2若 2 ，即 e + 1則小)在甩M上單調(diào)遞減.b 111 e2 -2ef(x) =f(e) = b-e- = (1 -)b-e(

18、1 -)b* e < (1 -e =-于是 < 口恒成立，不合題意，舍去.b + Jb2 + 4b L e2 >e八若 2 ，即 e +1.b + Jb2 + 4bb + Q + 4b曲)(，+ 間則f在2 上為增函數(shù)，在 2上為減函數(shù),產(chǎn)) > 6要使在他】恒有>。恒成立，則必有f¥)>bb -白0, e2 b2b - e - >0,22eb > e-1則巳 ，所以 由于-/一(在2_1)= 1-3£ + 1工0,則e3-e2 2-1,所以eb E (, + 8)綜上所述，存在實(shí)數(shù)e l ，使得可刈> 口恒成立.【點(diǎn)睛

19、】導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：(1)根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；(2)若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 f(x) > 0 升有藉士門卜一、=耳刈 < 0Ein ,若Tx尸U恒成立 1片抽 (3)若“X"颯恒成立，可轉(zhuǎn)化為產(chǎn)虱小熊.4. (1)當(dāng)MW”？時(shí)，鼠時(shí)在區(qū)間(f + x)上單調(diào)遞增；-a-Ja2 -a + J-2-a-Ja2 -a + Ja2，、(三，；)E),(；，+ 叼當(dāng)時(shí)，或刈在 22上單調(diào)遞減，在 22上單調(diào)遞增；(2)見解析.【解析】試題分析 ：(1)先求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)在定義域上零點(diǎn)情況，本題實(shí)質(zhì)研

20、究v*2+ 2 ax+1在(-3, + 3)上零點(diǎn)情況：當(dāng)方程無根時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，比較兩根與定義區(qū)間之間關(guān)系，再確定1廠然1 + % =- 3,乂1乂2 =-單調(diào)區(qū)間，(2)先由(1)知己)小，且兩個(gè)極值點(diǎn) .七滿足'之.再代入化簡g的)+ 的/ xx-， /1 |應(yīng)a2 1 In2> g() - Il na - - + >0h(a) = & Ina 422得422,利用導(dǎo)數(shù)研究422單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性證明不等式.試題解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?日，+8).1 2xZ + 2ax + 1g'

21、(x) = 2x += 22k + 日 x + a ,記h(x) = 2x *2需+ 1,判別式 A = 4a -g.當(dāng) = 4日8£0即入*日32時(shí)，h閭之。恒成立，黑幻學(xué)。，所以削x)在區(qū)間(-4 + g)上單 調(diào)遞增.當(dāng)衣或”衣時(shí)，方程2縱+1 = 0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根F4記ar-2乂 =0(i)若h閔=2* +2dx + 1圖象的對(duì)稱軸2，m= h0 = l>0.兩根X1，%在區(qū)間。-日)上，可知當(dāng)x>-8時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(K)>h( -a)>0所以g'(x”0,所以虱X)在區(qū)間(-軋+ g)上遞增.a廠 ,2翼=w 一父0(ii)若

22、口氣2,則鋼二2* +2融+ 1圖象的對(duì)稱軸工,h(-司小=1>。.，所以行當(dāng)Xi<x<F時(shí)，h(x)<0所以研刈<。，所以削x)在%用)上單調(diào)遞減.當(dāng)-或“時(shí)，h(x"O,所以g'(x)>0,所以颯在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)一曲£ a £4時(shí)，虱x)在區(qū)間(-日，+司上單調(diào)遞增；當(dāng)a > /時(shí)，綱在)上單調(diào)遞減，在Qa = 2，+ g)2上單調(diào)遞增.(2)由(1)知當(dāng)口£隹時(shí)，颯沒有極值點(diǎn)，當(dāng)日收時(shí),颯有兩個(gè)極值點(diǎn) 如，且1xt + X. =- a,xtx,=- 1 Z,1 £.222g(xj +

23、 g(x2) = + INX + a + x2 + ln(x2 + aj = a -1 - In2眄)+ 颯)a<l-ln2Yia2 a a a )=g( T = + In4 2,或比)+或q-g(21 In2a21 In2h(a) = - - Ina - -+ 422a><23 1 a - 2 h'(x) = - - - => 012 a 2a，所以卜在a > 出時(shí)單調(diào)遞增,l 2廠 1 1口2h(<2)- lnJ2- + =042 2，所以h付” 0,削) + g(>2)4 + x所以5. (1) "。；(2) "一1;

24、 (3)詳見解析.【解析】 試題分析：(1)根據(jù)奇函數(shù)定義可得g伯-* + a) =- In伯"+可，再根據(jù)恒等式定理可得a = 0. (2)由函數(shù)的)=郎)十Sinx是區(qū)間-1, 1上的減函數(shù)，得其導(dǎo)函數(shù)恒非正，即入&8sx最小值-1而或+ l在xE -L 1恒成立等價(jià)于g(x)maG*+M + l ,從而有(t + 1)入+ sinl + 1之0對(duì)入91恒成立，再根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性可得只需端點(diǎn)處函數(shù)值非負(fù)Inx f=即可，解不等式組可得t的取值范圍(3)研究方程根的個(gè)數(shù)， 只需轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)K ,Inxf那)=乂.2"+小交點(diǎn)個(gè)數(shù)，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)1 x圖像，

25、再根據(jù)二次函數(shù)f2W;x+ m上下平移可得根的個(gè)數(shù)變化規(guī)律試題解析：(1)3二川17)是奇函數(shù)，則In館.葡二-力中田恒成立，伯、必產(chǎn) +白)二1即1 +日日，日J(rèn) +二 1. +” + 日)=°, .”0.(2)由(1)知 f(x) = x, .虱，)二從十5訪',iF日=。= A 一口 二 , ?又.g在-1, 1上單調(diào)遞減，.獻(xiàn)% , ?且日僅)=入+£門"與0對(duì)'毛-1，恒成立，即“E-8SX對(duì)'E - 1，1恒成立，X £ 1, ?.綱4 + At + l在丈E-L 1上恒成立，-A - -in-. < ： 

26、9; At： ?即(t + 1)X + t2 + Sim +1 豈。對(duì) A E-1 恒成立，tm令則二(t + in+t，sm + ngi),則3-1 + $巾 + 1之。，t今1 22.t -t + sml>0 而t -t + al之。恒成立，Inx 2=x - 2ex + m(3)由(1)知小廠卜方程為x,1 -tnx 小卜丁時(shí)時(shí)，J1在。 可上為增函數(shù);+回時(shí)，品僅,0,閭在0，目上為減函數(shù);1物"網(wǎng)丁而3僅,，函數(shù)fjx)、fx)在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示,m - e > - m > e2 + -，當(dāng) e，即 e時(shí)，方程無解;m=e-，即E時(shí)，方程有一個(gè)

27、根;工121m - e < - m < e + -當(dāng)e，即時(shí)，方程有兩個(gè)根.點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)， 另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法6. (1) M 的最小值為 0. (2) (-«,-31【解析】1ax 1x試題分析：(1)由 f(x) = a = ,F(x) = e+a,x>0n f(x)<0 在(0,代)上

28、 x x恒成立nf (x W (0, -He)上單調(diào)遞減 = 當(dāng)1a<0時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,即F(x )在(0,收)上單調(diào)遞增，不合題意； 當(dāng)a < 1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)工具得F (x )的單調(diào)減區(qū)間為(0,ln ( -a ),單調(diào)增區(qū)間為ln -a，二二1 - ln xa =xf (x "口 F (x)在區(qū)間(0,ln3 )上具有相同的單調(diào)性 二ln(a)ln3= aE3= a的取值范圍是(*,3; ( 2 )由 g'(x)=(ax + 1 /eax,1 1=0= x1 - l nx , lxn-2p(x)=,p (x)=2利 用 導(dǎo) 致 工 具 得xx

29、211 - ln x ax 11P(xmin=p(e )= a < = e - <0 ,再根據(jù)單倜性exxg x min1=g -a,11h t -0,h te t121t2設(shè) t = 一一 0,e , g 一一 = h t = - - ln t 1 0 < t < e = aae在(0,e2上遞減=h(t )之h(e2 )=0= M的最小值為0 .試題解析：(1) f'(x ) = a=ax-1, F'(x) = ex + a,x >0,x x*a<0,f(x)<0在(0,f 讓恒成立，即f(x近(0,f 讓單調(diào)遞減 當(dāng)-1 <

30、a <0時(shí)，F(xiàn)'(x )>0,即F(x )在(0,")上單調(diào)遞增，不合題意;當(dāng) a < -1 時(shí)，由 F'(x )>0,得 x>ln(a ),由 F '(x)<0 ,得 0< x< ln(a . F (x )的單調(diào)減區(qū)間為(0,ln (a),單調(diào)增區(qū)間為(ln(a),").'/ f (x )和F (x )在區(qū)間(0,ln3 )上具有相同的單調(diào)性，ln (a 戶ln3 ,解得 a < -3 ,綜上，a的取值范圍是(-m，-3.(2) g'(x ) = eax4 + axeax 1 -

31、a - =(ax +1 )1 eax1 -xlx)由eax-1 =0得到xIn x -22,x1 - In x1 - In x ,a = ，設(shè) p(x )=, p (x )=當(dāng) xe2 時(shí)，p' (x )>0 ；當(dāng) 0 <x <e2 時(shí)，p' (x)<0.2221從而 p(x 加(0,e遞減，在(e，)上遞增. p(x)m = p(e)=-. e、i,1,1 一 In x 尤 ax J 1-當(dāng) a w -2- 時(shí)，a w，即 e w 0 ,exx 1在 0,- I上，ax+10,g (x)E0,g(x)遞減; a,1在 | -, + 上,ax+1 <

32、;0,g (x)2 0,g(x 陛增.g(x mi a J121t2設(shè) t=-w(0,e I, g ,=h(t )= - -lnt +1(0 <t <e ),aae1122h (t )= 0,h(t 次(0,e I上遞減.，h(t )>h(e )=0； e tM的最小值為0 .考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的最值；3、函數(shù)與不等式.【方法點(diǎn)晴】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)與不等式，涉及分類討論思想、數(shù) 形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較 強(qiáng)，屬于較難題型.利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問題.在解答題中主要體現(xiàn)為不等式的證明與不等

33、式的恒成立問題.常規(guī)的解決方法是首先等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究 新函數(shù)的單調(diào)性和最值來解決，當(dāng)然要注意分類討論思想的應(yīng)用7.(1)m = 1, f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+受)上單調(diào)遞增；(2) mWa lna,g).【解析】試題分析：(1)由x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，得f'(1 )=0可得m得值，由導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系得其單調(diào)區(qū)間；(2)由題意知f'(x)=ex. 1,設(shè)h(x)=ex4m，知h'(x)>0得 xxh(x)單調(diào)遞增，即 x = M是f'(x)=0在(0,十比)上的唯一零點(diǎn)，得m =%lnx。， f (x

34、min =f(x。)，使得“小戶0即可，結(jié)合alna=1,得參數(shù)m范圍.試題解析：(1) x = 1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，f'(1) = 0= e1、1=0. m = -1, f '(x) =ex令 g(x) =xe" -1 , g'(x) =e" +xex，= (x +1)ix1 >0 ,. g(x)在(0,依c)上單調(diào)遞增，g(x) Ag(0) =1, g(1) = 0.,當(dāng) xe (0,1), g(x) <0;當(dāng) xe (1,-Hc), g(x)>0.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,g)上單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)x =1時(shí)

35、f (x),取極小值.(2) f'(x) =ex4m設(shè) h(x)=ex%1，xx1.、 一、則 h'(x) =ex4m +>0. h(x)在(0,依)上單調(diào)遞增，f'(x)在(0, -Ho)上單調(diào)遞增. - x = x0是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，x=x0是f'(x)=0在(0,f)上的唯一零點(diǎn)，x0 m 11 e 二：x0m = In: % m = In x0 = m = -xq - In x0. 0<x<xo，f '(x) < f '(%) =0 ,x>xo , f '(x) > f '(%)

36、 =0 , f(x)在(0,xo)上單調(diào)遞減，在(,收)上單調(diào)遞增，f(x)有最小值.f (x)min = f (xo) = ex0 m - In xoxo m.f （x）之0恒成立,1-1, +x0 +m >0 , +x° x° +ln x ,x0x。一 之 In x0.a In a = 1, ，x0 4 a , x0m = -x0 -In x0 -a - In a ,m -a -In a,二）.考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；（3）恒成立問題.【方法點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大值和最小值問題，以及對(duì)于

37、不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為最值恒成立.考查函 數(shù)的單調(diào)性，由fx )>0,得函數(shù)單調(diào)遞增，f '(x )<0得函數(shù)單調(diào)遞減；考查恒成立問題,正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段.通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為 a> h(x)或a<h(x)恒成立，即a > hmax (x )或a < hmin (x卿可，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合單調(diào)性求出)或hmJx )即得解.8. (1)見解析；(2)當(dāng)0cm<1時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) m = 1時(shí)；有且僅有一個(gè)零點(diǎn). 【解析】3 x試題分析：(1)首先將m=1代入函數(shù)解析式，然后令 g(x)=f(x

38、)，再通過求導(dǎo)得到g (x )的單調(diào)性，從而使問題得證；(2)首先求得f '(x),然后求得f '(x) = 0時(shí)x的值,再對(duì)m分類討論，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).x3_.x3試題斛析：(1)當(dāng) m =1時(shí)，令 g (x )= f (x )-一(一1 < x W 0),貝U g (x )=,31 x當(dāng)1<xE0 時(shí)，x3 之0, 1 +x>0, A g'(x)2 0,此時(shí)函數(shù) g(x)遞增,3一. 一x，當(dāng) 一1 <x M0 時(shí)，g(x )Mg(0 )=0 ,當(dāng) 一1 < x W0 時(shí)，f (x

39、 產(chǎn) 3mx |x - m -(2)f'(x) = -m，令f'(x)=0,得x1= 0,x2= m1 ,1 mxm2 x - (i)當(dāng)m=1時(shí)，x=x2=0,由得f (x) =1 x,當(dāng)x>1時(shí)，1+xA0, x2至0,二f'(x)之0,此時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù), -1<x<0 時(shí)，f(x)<f(0) = 0, f(0) = 0, x>0 時(shí)，f(x)>f(0)=0,故函數(shù)y = f(x),在x> -1上有且只有一個(gè)零點(diǎn) x = 0 ；1-11(ii )當(dāng) 0 cm <1 時(shí)，m 一 <0,且一一 <m ，

40、 mmm由知，當(dāng) xe ,m - L 1 +mx>0 , mx <0 , x-'m-<0, .m m. m此時(shí),f '（x戶0;同理可得，當(dāng)xe im_1，0Jf'(x )W0;當(dāng) x 20 時(shí),f <xR0 ;.函數(shù)y = f (x)的增區(qū)間為-Lm 和(0, g ),減區(qū)間為x2由知 f x = In 1 mx 一 - mx ： m ,0 1 m mJm m1故,當(dāng) m<x<0 時(shí)，f x >f 0 =0,當(dāng) x>0 時(shí)，f x >f 0 =0 mj.函數(shù)y = f(x), x = ' m -,十無I有且

41、只有一個(gè)零點(diǎn) x = 0 ； m又 f 1 m - "1= In m21 m2 -1- I,構(gòu)造函數(shù) (t )= In t - 11 -1 I,。<<1,則,m2 , m22 , t21(t 一1).t2，易知，對(duì)Vtw（0,1）,中'（t）<0,二函數(shù)1十1=0 m又函數(shù)y = f (x )在 工，m - m m上遞增,1m -m-12e m -1>m0 <t <1為減函數(shù)，邛（t ）>邛（1 ）=0由0 < m <1,知 0 <m2 <1 , ， f 1 m ln (m2 )-1 1 m2 -y >

42、0m2 . m1 -x.構(gòu)造函數(shù) k(x )=ln xx+1 ( x >0 ),則 k (x )=，當(dāng) 0<x<1 時(shí)，k(x)至 0,當(dāng) x>1x時(shí)，k'(x )<0,.函數(shù) y = k(x)的增區(qū)間為(0,1,減區(qū)間為(1,g),. k(x)Ek(1)=0,_111，二二 2，有 ln f Mi -1 < 1 +1 ,則 e m <m , m m m一 2一 2.e m T 11 e m 7. .1.<m -,當(dāng) 一一 <x<時(shí)，In (1+mx)<一1 -1mmmmm一 x21_而 - -mx < x mx

43、<+1 (72m2由和函數(shù)零點(diǎn)定理知,使得 fXo：） = 02 x 綜上，當(dāng)0<m<1時(shí)，函數(shù)f (x ) = ln (1+mx )十萬mx有兩個(gè)零點(diǎn),綜上所述：當(dāng)0 cm <1時(shí)，函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)m =1時(shí)，函數(shù)y = f (x )有且僅有一個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；3、函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.【技巧點(diǎn)睛】 函數(shù)的單調(diào)性是使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的根本，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間的分界點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)，在含有字母參數(shù)的函數(shù)中討論函數(shù)的單調(diào)性就是根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)把函數(shù)的定義域區(qū)間進(jìn)行分段，在各個(gè)分段上研究函數(shù)的

44、導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)性，也確定了函數(shù)的極值點(diǎn)，這是討論函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)情況進(jìn)行分類的基本原 則.9. (1)證明見解析；(2)(3,4.【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系推證；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解.試題解析：1 x 1(1) *a=1 + 2e ,T (x )= F (x f (x ),二 T (x )=2e + lnx 2e x + 2e -2 .: x >0,T'(x )=2ex°2e,+ 1 .'；2ex'2e， 關(guān) 于 x 單 調(diào) 遞增， x_xl J 11_x>0,T '(

45、x ) = 2e -2e +- >->0,. T (x )在(0,2 )上單調(diào)遞增. x x11(2)設(shè) H (x)=F(x) f(x)，則 H '(x ) = 2ex,+1-a .設(shè) h( x )= 2ex+1 a , xx則 h'(x )= 2ex-12-. 7 x 之 1.2ex之 2, -12-之一1,h'( x)N1. h(x)在【1,+ )內(nèi)單調(diào)遞 xx'增.二當(dāng) x 之1 時(shí)，h(x)>h(1).即 H '(x)之4a,，當(dāng) a44時(shí)， H' x -4-a-0.當(dāng)a<4時(shí)，H (x )在11,8)內(nèi)單調(diào)遞增.

46、，當(dāng)a <4 , x之1時(shí)，H (x)之H (1),即I +x 11x 1F (x )2 f (x ) , x 之1,二 H'(x ) = 2e +1+- -a <2e +2 a .當(dāng) a>4 時(shí), 由 x2ex、+2 -a =0得：2ex,+2a關(guān)于x單調(diào)遞增，二當(dāng)a >4,1 M x <1 + ln , a 1時(shí)，H(x )單調(diào)遞減.設(shè) 12Ja x0 =1 +ln -1 )則 H(x0 )<H (1 )=0，即 F(x0 )<f (x0 當(dāng) a >4時(shí)，5x0 =1 +ln 1 -1 1>1,F (x0 )> f (x0 )不成立.綜上，若Vx21, F (x)之f(x),a的取值范圍(-,