常見數(shù)列遞推的技巧一

1、常見數(shù)列遞推的技巧一（非常實(shí)用）數(shù)列問題是高考當(dāng)中非常重要的考點(diǎn)，常見于最后一道大題當(dāng)中，而最難處理的，是數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，其實(shí)高中數(shù)列有很多的處理技巧，下面這些形式的數(shù)列，我覺得是高中比較常見的：1.an=pan-1+q(n)，其中q(n)是已知的關(guān)于n的函數(shù)。先來看一種簡單的情況： (1)p=1且q(n)=(常數(shù)）      顯然,這是一個(gè)等差數(shù)列，而我們在推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)   公式的 時(shí)候，用到的是累差方法。即：        

2、          a2-a1=C，                   a3-a2=C，                  a4-a3=C，     

3、;             .                  an-an-1=C.       把上面所有式子的左邊和右邊同時(shí)加起來，可得：            &

4、#160;    an-a1=（n-1)C           即：an=a1+（n-1)C    再稍微復(fù)雜一點(diǎn)，我們來看：（2）p=1，但q(n)不再是常數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)，    最簡單的例子，q(n)=n:    此時(shí)，我們?nèi)匀豢梢杂美鄄罘椒ǎ?#160;          

5、0;      a2-a1=2，                  a3-a2=3，                   a4-a3=4，     &

6、#160;           .                 an-an-1=n.     把上面所有式子的左邊和右邊同時(shí)加起來，可得：              

7、 an-a1=(n-1)*(n+2)/2         即： an=a1+(n-1)*(n+2)/2.      好，我們再來看一種我們經(jīng)常遇到的情況：（3）p不等于1，而q=常數(shù)      對于這樣的情況，該怎么處理呢？一般來說，我們可以湊   成這樣的形式：           &#

8、160;       an+C=p（an-1+C)       其中C是常數(shù)，其值應(yīng)該滿足pC-C=q，由此可確定C的    值，這樣，我們構(gòu)造了一個(gè)新的數(shù)列bn=an+C，數(shù)列bn是    以b1=a1+C為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.由此可知，    bn=b1*p(n-1),而an=b1*p(n-1)-C=(a1+C)*p(n-1)-C.    

9、60; 如果q(n)不是常數(shù)呢，再來看更加復(fù)雜點(diǎn)的情況：（4）p不等于1，而q（n）是n的函數(shù)。這里我們經(jīng)常遇到的     q(n)一般是n的一次函數(shù)或者是指數(shù)函數(shù)。其實(shí)，類比    （3）中的做法，一般的，我們可以湊成如下的形式：            an+f(n)=pan-1+f(n-1)     其中f(n)是關(guān)于n的函數(shù)，滿足p*f(n-1)-f(n)=q(n)。 &

10、#160;   我們來看q(n)是一次函數(shù)的情況，簡單起見，我們     看q(n)=n,     此時(shí)：                 p*f(n-1)-f(n)=n,    易知f(n)可以是n的一次函數(shù)，設(shè)其為f(n)=kn+b，    帶入上式得：&

11、#160;         p*k*(n-1)+p*b-k*n-b=n    整理得：            (pk-k)n-pk+pb-b=n    由此可知pk-k=1且-pk+pb-b=0,于是我們可以求出k和b，    即可以確定出f(n).而數(shù)列bn=an+f(n)是以b1=a1+f(1)為 

12、60;  首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列。    同樣，對于q(n)是指數(shù)函數(shù)的情況，我們可以把此時(shí)    的f(n)求出來，按上述方法去求解。比如q(n)=2n,    此時(shí)f(n)滿足：                  p*f(n-1)-f(n)=2n    一般此時(shí)可設(shè)f(n)=x*2n,帶入上式可得：                 px*2(n-1)-x*2n=2n    由此可知px/2-x=1，由此可定出x的值，從而知道    f(n)形式。&#