向量的加法與減法

1、相等向量與相等向量與相反向量相反向量復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧：?jiǎn)挝幌蛄繂挝幌蛄颗c零向量與零向量向向 量量向量的大小向量的大小( (長(zhǎng)度、模長(zhǎng)度、模) )向量的方向向量的方向有向線段有向線段平行向量平行向量( (共線向量共線向量) )既有大小又有方向的量叫向量；既有大小又有方向的量叫向量；向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小. .向量的表示向量的表示: :aAB或臺(tái)北臺(tái)北香港香港上海上海 向量的加法向量的加法F1F2F向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法 EOOE例如例如:橡皮條在力橡皮條在力F1與與F2的作用下的作用下,從從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O

2、點(diǎn)點(diǎn).同時(shí)橡皮條在力同時(shí)橡皮條在力F的作用下也從的作用下也從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O點(diǎn)點(diǎn).問(wèn)問(wèn):合力合力F與力與力F1、F2有怎樣的關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？F1+F2=F力力F對(duì)橡皮條產(chǎn)生的效果，與力對(duì)橡皮條產(chǎn)生的效果，與力F1和和F2共同作用產(chǎn)共同作用產(chǎn)生的效果相同，物理學(xué)中把力生的效果相同，物理學(xué)中把力F叫做叫做F1和和F2的合力的合力.F1F2F1F2F FEOOE例如例如:橡皮條在力橡皮條在力F1與與F2的作用下的作用下,從從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O點(diǎn)點(diǎn).同時(shí)橡皮條在力同時(shí)橡皮條在力F的作用下也從的作用下也從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O點(diǎn)點(diǎn).問(wèn)問(wèn):合力合力F與力與力F1、F2有怎樣的關(guān)系？有怎

3、樣的關(guān)系？F1+F2=FF是以是以F1與與F2為鄰邊所形成的為鄰邊所形成的平行四邊形的對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線上述事例表明，兩個(gè)向量可以相加，上述事例表明，兩個(gè)向量可以相加，并且兩個(gè)向量的和還是一個(gè)向量并且兩個(gè)向量的和還是一個(gè)向量. .一般地，求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做一般地，求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法向量的加法. .向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法AC2.它們之們有聯(lián)系嗎它們之們有聯(lián)系嗎? 1.兩種方法做出的結(jié)果一樣嗎兩種方法做出的結(jié)果一樣嗎?向量加法的定義向量加法的定義任意給出兩個(gè)向量任意給出兩個(gè)向量a與與b.如何求如何求a+

4、b.ababBa + babBOACa + bACBCABbbaba向向 量量 加加 法法 向向 量量 加加 法法三三 角角 形形 法法 則則:平行四邊形法則平行四邊形法則:AC2.它們之們有聯(lián)系嗎它們之們有聯(lián)系嗎? 1.兩種方法做出的結(jié)果一樣嗎兩種方法做出的結(jié)果一樣嗎?向量加法的定義向量加法的定義任意給出兩個(gè)向量任意給出兩個(gè)向量a與與b.如何求如何求a+ b.ababBa + babBOACa + bb位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.

5、向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則:1.將向量平移使得它們將向量平移使得它們首尾相連首尾相連方法鞏固方法鞏固:2.和向量即是第一個(gè)向量的和向量即是第一個(gè)向量的首首指向第二個(gè)向量的指向第二個(gè)向量的尾尾向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則:1.將向量平移到將向量平移到同一起點(diǎn)同一起點(diǎn)2.和向量即以它們作為鄰邊和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形的共起點(diǎn)的對(duì)角線平行四邊形的共起點(diǎn)的對(duì)角線ababa + bbaa + b,00aaaa對(duì)于零向量與任一向量我們規(guī)定特例：共線向量abABC方向相同abCAB方向相反baACbaAC_,abab (,

6、 ,)請(qǐng)選用合適符號(hào)連接：請(qǐng)選用合適符號(hào)連接：, a b 非零向量處于什么位置時(shí)？(1)(2)(3)(4)abababababababbaab， 不共線或共線反向ab ， 共線且同向abab ， 反向且abab ， 反向且探究探究例例1 在小船過(guò)河時(shí)在小船過(guò)河時(shí),小船沿垂直河岸方向行駛的小船沿垂直河岸方向行駛的速度為速度為v1=3.46km/h，河水流動(dòng)的速度，河水流動(dòng)的速度v2=2.0km/h，試求小船過(guò)河實(shí)際航行速度的，試求小船過(guò)河實(shí)際航行速度的大小和方向大小和方向.。就是船實(shí)際航行的速度，則為鄰邊作平行四邊形、表示水流的速度，以駛的速度表示船向垂直于對(duì)岸行解：如圖，設(shè)OCAOBCOBOA

7、OBOA6073. 1tan)/( 0 . 4246. 3|/0 . 2| ,/46. 3|21222221CABvvBOChkmBCOBOChkmvOBhkmvBCOBCRt中在OBAC C練習(xí)：77頁(yè)31.兩個(gè)向量的和仍然是向量。 向量加法的三角形法則 以第一個(gè)向量的終點(diǎn)作為第二個(gè)向量的起點(diǎn)，則從第一個(gè)向量的起點(diǎn)到第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量就表示和向量.向量加法平行四邊形法則以?xún)蓚€(gè)同一起點(diǎn)的向量為鄰邊作平行四邊形, 以這兩個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量就表示和向量.小結(jié):尾首順次相接尾首順次相接首指向尾為和首指向尾為和起點(diǎn)相同，兩邊平行起點(diǎn)相同，兩邊平行同一起點(diǎn)，對(duì)角為和同一起點(diǎn)，對(duì)角

8、為和2.向量加法法則:練習(xí)練習(xí)（1）一架飛機(jī)向西飛行）一架飛機(jī)向西飛行 然后改變方向向南飛行然后改變方向向南飛行 , ,則飛機(jī)兩次位移的和為則飛機(jī)兩次位移的和為 km100km100（2） 一定成立嗎？一定成立嗎？baba 不一定不一定（3）在四邊形中）在四邊形中 ， ABCD_ BAADCBCD向量的加法向量的加法向西南方向飛行向西南方向飛行 km2100問(wèn)題探究問(wèn)題探究實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)任意實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)任意a，bR，都有，都有ab=ba.那么向量的那么向量的加法也滿足交換律嗎？如何檢驗(yàn)？加法也滿足交換律嗎？如何檢驗(yàn)？ba + babaabcabcABCDABC

9、D向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法a + b(a + b) + ca + (b + c)b + c實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律，即對(duì)任實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律，即對(duì)任意意a，b，cR，都有（，都有（ab）c=a（bc）.那么向量的加法也那么向量的加法也滿足結(jié)合律嗎？如何檢驗(yàn)？滿足結(jié)合律嗎？如何檢驗(yàn)？問(wèn)題探究問(wèn)題探究abba()a bcabc ( + )+向量加法滿足交換律和結(jié)合律向量加法滿足交換律和結(jié)合律(1)向量加法交換律：向量加法交換律：(2)向量加法結(jié)合律：向量加法結(jié)合律：以上兩個(gè)運(yùn)算律可以以上兩個(gè)運(yùn)算律可以推廣推廣到任意多個(gè)到任意多個(gè)向量向量.向向 量量 加加 法法向向 量量

10、加加 法法例例.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)_) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA(3)_ABBDCADC 學(xué)以致用學(xué)以致用ADMN0已知已知D,E,F分別是三角形分別是三角形ABC三邊三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。AFCEBD) 1 ( 求證：CFBEAD)2(00例例2.長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以點(diǎn)出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船

11、速以及船實(shí)際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；2 3ADBC,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實(shí)際.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以點(diǎn)出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度

12、；）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來(lái)表示）。角來(lái)表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實(shí)際航行速度為答：船實(shí)際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為60。ADBC向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法若水流速度和船速的大小保持不變?nèi)羲魉俣群痛俚拇笮”３植蛔?最后要能使渡船垂直過(guò)江最后要能使渡船垂直過(guò)江,則船的則船的航向

13、應(yīng)該如何航向應(yīng)該如何?并作圖探究并作圖探究.探究探究DC2BA3210103akmbkmab1.若 表 示 “ 向 南 走” ，表 示 “ 向 西 走” ，則表 示 _.練習(xí)題練習(xí)題2.35ababababab 若 ， 滿足，求的最大值，并指出 ， 滿足什么條件時(shí)?取到最大值.向向 量量 加加 法法 向向 量量 加加 法法課堂小結(jié)：課堂小結(jié)：向量加法的物理背景向量加法的物理背景向量的加法運(yùn)算向量的加法運(yùn)算向量加法的運(yùn)算律向量加法的運(yùn)算律平行四邊形法則平行四邊形法則三角形法則三角形法則向向 量量 加加 法法 向量加法實(shí)際應(yīng)用向量加法實(shí)際應(yīng)用向量加法的向量加法的三角形法則三角形法則baOa a a

14、 a a a a abbbbbbbBbaA注意：注意：a+b各向量各向量“首尾相連首尾相連”，和向量由第一個(gè)向，和向量由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn). .復(fù)習(xí)：baAa a a a a a a abbbBbaDaCba+b作法作法:(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A； (2)以以點(diǎn)點(diǎn)A為起點(diǎn)為起點(diǎn)以向量以向量a、b為鄰邊作平行為鄰邊作平行 四邊形四邊形ABCD.即即ADBCa,AB=DC=b ； （3）則以）則以點(diǎn)點(diǎn)A為起點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線的對(duì)角線ACa+b.向量加法的向量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則復(fù)習(xí)：2.2.2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義回

15、憶：相反數(shù)是怎樣定義的？若兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，滿足b=-a我們說(shuō)b就是a的相反數(shù)。. aaa的相反向量，記作的向量叫做的大小相等，方向相反規(guī)定：與?)(a思考：?jiǎn)枺?有相反數(shù)嗎？規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。?)(aa思考： a bab求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法表示為+(- )呢？作出根據(jù)減法的定義，如何已知baba,abOAabBbCDba.a bbaab方法：平移向量 、，使它們起點(diǎn)相同，那么 的終點(diǎn)指向 的終點(diǎn)的向量就是特殊情況特殊情況1.共線同向共線同向2.共線反向共線反向aBACaABCbbCBab ab思考例：例：如圖，已知向量如圖，已知向量a, b, c, d, 求作向量求作向量a-b, c-d.ababcdabcdOABCDcdABab例2：如圖，平行四邊形ABCD，AB=a，AD=b，1）用a、b表示向量AC、DB。 2） DC呢？結(jié)論？若互相垂直有怎樣