優(yōu)質(zhì)課選修4-4第二講_參數(shù)方程(圓錐曲線的參數(shù)方程)

1、第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程( ),( ).xf tyg t（1）并且對于并且對于t的每一個允許值的每一個允許值, 由方程組由方程組(1) 所確定的點所確定的點M(x,y)都在這條曲線上都在這條曲線上, 那么方程那么方程(1) 就叫做這條曲線的就叫做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程, 聯(lián)系變數(shù)聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)的變數(shù)t叫做參變數(shù)叫做參變數(shù), 簡稱參數(shù)簡稱參數(shù). 相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。關(guān)于參數(shù)幾點說明：關(guān)于參數(shù)幾點說明： 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁的橋梁,1. 參數(shù)方程中參數(shù)可以是有

2、物理意義參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義, 幾何意義幾何意義, 也可以沒有明也可以沒有明顯意義。顯意義。2.同一曲線選取參數(shù)不同同一曲線選取參數(shù)不同, 曲線參數(shù)方程形式也不一樣曲線參數(shù)方程形式也不一樣3.在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍1、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的如果曲線上任意一點的坐標坐標x, y都是某個變數(shù)都是某個變數(shù)t的函數(shù)的函數(shù)為為參參數(shù)數(shù)） (sincosryrx為為參參數(shù)數(shù)） (sincosrbyrax復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程1.圓心在原點圓心在原點,半徑為半

3、徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程:2.圓心為圓心為(a, b),半徑為半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程:yxorM(x,y)0M例、例、已知圓方程已知圓方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，將它，將它化為參數(shù)方程。化為參數(shù)方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標準方程，化為標準方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，參數(shù)方程為參數(shù)方程為sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))12222 byax sincosbyax2 , 012222 aybx sincosaybx12222

4、byax sincosbyax2 , 012222 aybx sincosaybx練習(xí)練習(xí) 把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22149xy(1)22116yx (2)2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxysec()tanxayb為參數(shù)2222-1(0,0)xyabab的參數(shù)方程為：30,2 )22通常規(guī)定且，。22221xyab22sec1tan 拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程oyx)HM(x，y)2拋物線y =2px(p0)的參數(shù)方程為:1其中參數(shù)t=(0),當(dāng) =0時，t=0.tan幾何意義為：,().ttRy2x=2pt為參數(shù)，2pt拋物線上除頂點

5、外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)。.x即P(x,y)為拋物線上任意一點,則有t=y小結(jié)小結(jié): : 參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：見方法有三種：1.1.代入法：代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)利用解方程的技巧求出參數(shù)t,t,然后代入消然后代入消 去參數(shù)去參數(shù)2.2.三角法：三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)利用三角恒等式消去參數(shù)3.3.整體消元法：整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征, ,從從 整體上消去。整體上消去?；瘏?shù)方程為普通方程為化參數(shù)方程為普通方程為F(x,yF(x,y)=0)=0：在消參過程中

6、注：在消參過程中注意意變量變量x x、y y取值范圍的一致性取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定值范圍，確定f(tf(t) )和和g(tg(t) )值域得值域得x x、y y的取值范圍。的取值范圍。例4 (1)設(shè)x=3cos ， 為參數(shù)；2.tt(2)設(shè)y=， 為參數(shù)22194xy求 橢 圓的 參 數(shù) 方 程 。223 13 1222xtxtytyt （ ）參參數(shù)數(shù)方方程程是是或或思考：為什么思考：為什么(2)中的兩個參數(shù)方程合起來才是橢圓中的兩個參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？的參數(shù)方程？)(sin2cos3為參數(shù)yx為為參參數(shù)數(shù)） (sincosryrx為為參

7、參數(shù)數(shù)） (sincosrbyrax復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程1.圓心在原點圓心在原點,半徑為半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程:2.圓心為圓心為(a, b),半徑為半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程:12222byax3.橢圓的標準方程：橢圓的標準方程：它的參數(shù)方程是什么樣的？它的參數(shù)方程是什么樣的？例4 (1)設(shè)x=3cos ， 為參數(shù)；22194xy求 橢 圓的 參 數(shù) 方 程 。)(sin2cos3為參數(shù)yx;)0( 142222一個參數(shù)方程為的我們得到了橢圓由例babyax)(sincos為參數(shù)byax參數(shù)方程。軸上的橢圓的，焦點在這是中心在原點xO12222 byax s

8、incosbyax2 , 012222 aybx sincosaybx練習(xí)練習(xí) 把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22149xy(1)22116yx (2)2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程( (標準式）標準式）)(sinyycosxx00為參數(shù)為參數(shù)直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程ttt 思考： （1）直線的參數(shù)方程中哪些是常量？哪些是變量？ （2）參數(shù)t的取值范圍是什么？ （3）該參數(shù)方程形式上有什么特點？為為參參數(shù)數(shù)） (sincosrbyrax2.圓心為圓心為(a, b),半徑為半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程:0,M

9、 Mtelt 由你能得到直線 的參數(shù)方程中參數(shù) 的幾何意義嗎？|t|=|M0M|xyOM0Me解解:0M Mte 0M Mte 1ee又是單位向量，0M Mt e t所以所以, ,直線參數(shù)方程中參直線參數(shù)方程中參數(shù)數(shù)t t的絕對值等于直線上的絕對值等于直線上動點動點M M到定點到定點M M0 0的距離的距離. .這就是這就是t的幾何的幾何意義意義,要牢記要牢記注意向量工具的使用注意向量工具的使用.此時此時,若若t0,則則 的方向向上的方向向上;若若t0)的參數(shù)方程為:1其中參數(shù)t=(0),當(dāng) =0時，t=0.tan幾何意義為：,().ttRy2x=2pt為參數(shù)，2pt拋物線上除頂點外的任意一點

10、與原點連線的斜率的倒數(shù)。.x即P(x,y)為拋物線上任意一點,則有t=y2121212121212121,1,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx、所在直線的斜率是則弦所對應(yīng)的參數(shù)分別是，兩點上異于原點的不同為參數(shù)、若曲線( )c2122212122222121121212112222)2 ,2(),2 ,2(,1ttptptptptkptptMptptMMMttMMMM的坐標分別為和，則可得點和別是兩點對應(yīng)的參數(shù)方程分解：由于214922 yx 例例1、已知橢圓、已知橢圓 上點上點M(x, y)，(2)求求2x+3y的最大值和最小值；的最大值和最小值； 例例2、如圖，

11、在橢圓如圖，在橢圓x2+8y2=8上求一點上求一點P，使，使P到直線到直線 l：x-y+4=0的距離最小的距離最小.xyOP分析分析1：),y,y(288P設(shè)設(shè)2882|4yy|d則則分析分析2：),sin,cos(P 22設(shè)設(shè)222|4sincos| d則則分析分析3：平移直線平移直線 l 至首次與橢圓相切，切點即為所求至首次與橢圓相切，切點即為所求.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX22110064xy 例例3、已知橢圓、已知橢圓 有一內(nèi)接矩形有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。 練習(xí)練習(xí) 已知已知A,B兩點是橢圓兩點是橢圓 與坐標軸正與坐標軸正半軸的

12、兩個交點半軸的兩個交點,在第一象限的橢圓弧上求一點在第一象限的橢圓弧上求一點P,使四邊使四邊形形OAPB的面積最大的面積最大.)sincos( baA，)20( abab22sin2 224ba 22max4baL )0( 12222 babyax sincos4|4baEAFAS 4 a，abS2max sin4cos4|)|(|4baEAFAL 116922 yx， cos8211021cos1221121 BAxxx3sin4211921sin621121 BAyyy13614422 yx21 MBAM sin6cos12， 3sin4cos8 yx116)3(6422 yx)0( 12

13、222 babyax)sincos( ba，aabkAP cos0sin， cossinabkOP 1cos0sincossin aabab 0coscos)(22222 baba 222cosbab 1cos 1cos1 11222 bab11122 ee212 e122 eB設(shè)中點設(shè)中點M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29y422 x練習(xí)練習(xí): 1 取一切實數(shù)時，連接取一切實數(shù)時，連接 A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)兩點的線段兩點的線段的中點軌跡是的中點軌跡是 . A. 圓圓 B. 橢圓橢圓 C. 直線直線 D. 線段線段_?_)(,

14、0cos3sin2cos42222通方程為通方程為，那么圓心的軌跡的普，那么圓心的軌跡的普為參數(shù)為參數(shù)、已知圓的方程為、已知圓的方程為 yxyx1)sin()cos2(22 yx化為化為)(sincos2為參數(shù)為參數(shù) yx1422 yx化為普通方程是化為普通方程是中點軌跡方程。中點軌跡方程。上各點連線的上各點連線的為參數(shù)為參數(shù)和橢圓和橢圓、求定點、求定點)(sincos)0 ,2(3 byaxa 144)(2222 byaax得得上述的方程消去參數(shù)，上述的方程消去參數(shù)，),(yxM點連線的中點為點連線的中點為解：設(shè)定點與橢圓上的解：設(shè)定點與橢圓上的)(2sin2cos2為參數(shù)為參數(shù)則則 bya

15、ax 的坐標為的坐標為，則點，則點的傾斜角為的傾斜角為為原點為原點，上一點，且在第一象限上一點，且在第一象限為參數(shù)為參數(shù)是橢圓是橢圓、POOPyxP3)()(sin32cos44 )1554,554( 、B)3 , 4( 、D( )B),3 , 2( 、A),3,32( 、C5154sin32,554cos4 yx33tan3 OPkOP的傾斜角為的傾斜角為解：解： 3cos4sin32 xykOP又又 cos2sin 在第一象限在第一象限且點且點又又P, 1cossin22 552sin,55cos )(sin2cos3為參數(shù)為參數(shù) yx9322331tan 6 sin2cos3yx)1,2

16、33( 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 )0, 0( 12222 babyax,1上上在圓在圓因為點因為點CA ,sin,cos baA的坐標為的坐標為 ,sin,cos baOA 所所以以 sin,cosaaxAA , AAOA 因因為為從從而而所所以以, 0 AAOA . 0sincoscos2 aaxa記記解解得得.cos ax .sec,seccos1 ax 則則,的終邊上的終邊上在角在角因為點因為點 B.tan,tan byby 即即由由三三角角函函數(shù)數(shù)定定義義有有的軌跡的參數(shù)方程為的軌跡的參數(shù)方程為點點所以所以M, 1cossincos1222 因為因為, 1tansec22 即

17、即,的的軌軌跡跡的的普普通通方方程程為為后后得得到到點點從從消消去去參參數(shù)數(shù)所所以以M ,這是中心在原點這是中心在原點.軸軸上上的的雙雙曲曲線線焦焦點點在在x .23,2,2 , 0 且且的的范范圍圍為為通通常常規(guī)規(guī)定定參參數(shù)數(shù) 由圓的參數(shù)方程得點由圓的參數(shù)方程得點.tan,sec byax 為參數(shù)為參數(shù) baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y設(shè)| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosasec ,asec()tanxaMyb所以的軌跡方程是為參數(shù)所以的軌跡方程是為參數(shù)2a22222 2xyxy消去參數(shù)后，得-=1,消去參數(shù)后，得-=1,b b這是

18、中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線。這是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線。1.已知參數(shù)方程11xttytt(t 是參數(shù)是參數(shù), t 0)化為普通方程化為普通方程, 畫出方程的曲線畫出方程的曲線.2.參數(shù)方程sectanxayb(,)22是 參 數(shù)表示什么曲線表示什么曲線?畫出圖形畫出圖形.練習(xí)練習(xí):的兩個焦點坐標。的兩個焦點坐標。、求雙曲線、求雙曲線 tan34sec323 yx( 2 15,0)13yx 3sec2()_tanxy、雙曲線為參數(shù) 的漸近線方程為4 ?,.,0,122222以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論由由此此可可的的面面積積探探求求平平行行四四邊邊形形兩兩點點近近線線交交于于分分

19、別別與與兩兩漸漸行行線線作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平過過點點為為原原點點上上任任意意一一點點為為雙雙曲曲線線，設(shè)設(shè)如如圖圖例例MAOBBAMObabyaxM AMBOxyAMBOxy.xaby 雙曲線的漸近線方程為雙曲線的漸近線方程為解解 ,tan,sec ba )sec(tan axabby 代代入入把把xaby )tan(sec2 axA )tan(sec2 axBB點點橫橫坐坐標標同同理理 aAOx 設(shè)設(shè)ab tan 2sin|OBOASMAOB 平行四邊形平行四邊形 2sincoscos BAxx 2sincos4tansec2222 a.22tan222ababaa se

20、c()tanxayb為參數(shù)2222-1(0,0)xyabab的參數(shù)方程為：30,2 )22通常規(guī)定且，。22221xyab22sec1tan 222222minmin(sec ,tan )sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,34431QOQOQPQ 解：設(shè)雙曲線上點的坐標為先求圓心到雙曲線上點的最小距離當(dāng)即或時22221:(2)11OxyPxyQPQ例 、已知圓上一點與雙曲線上一點，求 、兩點距離的最小值例例3),tan,sec( aaB)tan,sec( aaA 則則222ayx ,sectan,sectan22aaakaaakBAAA 122 BAAAkk

21、)0, 0( 12222 babyax)0 ,(0 xabax220| )tan,sec( ba)tan,sec( ba)tan(tan2 b)sec(sec2( a )sec(sec2)tan(tan)sec(sec)tan(tan2 axbaby)0(,0 xP)sec(sec2220 abaxabax220| 2|secsec| 222222223004.(,),Pb xa ya b abPabPR例例 設(shè)設(shè) 是是雙雙曲曲線線上上任任意意一一點點過過點點 作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線, ,分分別別與與兩兩漸漸近近線線相相交交于于點點Q Q和和R,R,求求證證:PQ:P

22、Q)10000(215001002gttgtytx 為參數(shù)，且為參數(shù)，且pxy22 )2,2( tan xypxy22 tan2tan22pypx tan1 t), 0()0 ,( t ptyptx222 tan2tan22pypx),( t ptyptx2222121212121212121,1,)(,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx 、，、所在直線的斜率是所在直線的斜率是則弦則弦所對應(yīng)的參數(shù)分別是所對應(yīng)的參數(shù)分別是，上異于原點的不同兩點上異于原點的不同兩點為參數(shù)為參數(shù)、若曲線、若曲線212221212122221ttptptptptkMM 的軌跡方程。的軌跡方程

23、。的中點，求點的中點，求點為線段為線段點點，上的動點，給定點上的動點，給定點為拋物線為拋物線、設(shè)、設(shè)PMMPMxyM002)0 , 1(22 C練習(xí)練習(xí)，和和別是別是兩點對應(yīng)的參數(shù)方程分兩點對應(yīng)的參數(shù)方程分解：由于解：由于2121,ttMM的坐標分別為的坐標分別為和和則可得點則可得點21MM，)2 ,2(),2 ,2(22221211ptptMptptM)0(22 ppxy1, 0)2()2(21212221 ttttptpt所以所以即即),(,yxBAM的坐標分別為的坐標分別為解：設(shè)點解：設(shè)點)0,)(2 ,2(),2 ,2(2121222121 ttttptptptpt且且)2 ,2(),

24、2 ,2(),(222121ptptOBptptOAyxOM 則則)(2),(2(122122ttpttpAB , 0, OBOAOBOA所以所以因為因為三點共線，三點共線，且且BMAyptxptMB,)2 ,2(222 , 0, OBOMABOM所所以以由由0)(2)(2122122 ttpyttpx, 0)(21 yttx)0(21 xxytt即即),2,2(121ptyptxAM 的軌跡方程的軌跡方程這就是點這就是點即即Mxpxyx)0(0222 )2)(2()2)(2(122221ptyxptyptptx 02)(2121 xtpttty化簡，得化簡，得02)( xpxyy.42pAO

25、B的面積最小，最小值為的面積最小，最小值為 12)2()2(21121221 ttpptptOA12)2()2(22222222 ttpptptOB)1()1(22221212 ttttpSAOB2222212 ttp4)(22212 ttp24p 軸對稱時，軸對稱時，關(guān)于關(guān)于，即當(dāng)點，即當(dāng)點當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)xBAtt,21 ）點）點）為半徑的圓（除去（為半徑的圓（除去（為圓心，為圓心，）的軌跡方程是以（的軌跡方程是以（另一個交點另一個交點的兩根，的兩根，為方程為方程即即為直徑的圓的方程為為直徑的圓的方程為以以為直徑的圓的方程為為直徑的圓的方程為則以則以（）設(shè)）設(shè)（法（法0 , 00 ,)0(

26、0212)(022,022022)2 ,2(),2 ,22222221222212222212122222121ppQxpxyxpxyxttyxpytpxtttyptxptyxOByptxptyxOAptptBptptA 練習(xí)練習(xí) 已知橢圓已知橢圓C1: 及拋物及拋物線線C2: y2=6(x-3/2)；若；若C1C2，求，求m的取值范圍。的取值范圍。)(sin3cos2為參數(shù)為參數(shù) ymx代入得代入得 cos2+4cos +2m-1=0所以所以 t2+4t+2m-1=0 在在-1, 1內(nèi)有解；內(nèi)有解；。平平分分線線段段所所以以拋拋物物線線的的頂頂點點的的中中點點為為原原點點因因為為DEODE),0 , 0(),2 ,2)(2 ,2(,222121ptptptptBA的坐標分別為的坐標分別為證明：設(shè)點證明：設(shè)點)2,2(222ptptC 的坐標為的坐標為則點則點)2(1221211ptxttptyAB 的方程為的方程為直