對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)及例題解析

1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)及例題解析1、對(duì)數(shù)的定義若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化： 2、 以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),log10N記作lgN .3、 以無理數(shù)e=2.718 28為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，logeN記作lnN 4、 對(duì)數(shù)的性質(zhì):(1)(2)對(duì)數(shù)恒等式alogaNN；logaaNN (a>0，且a1)5、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果，那么加法： 減法：數(shù)乘： logamMnlogaM. 換底公式：特殊情形：logab，推廣logab·logbc·logcdlogad.類型一、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例1、將下

2、列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化： （1）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路點(diǎn)撥：運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例2、求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路點(diǎn)撥：將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由例3、若xlog43，則(2x2x)2等于()A.B.C.D.解由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)22.類型二、利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值例4、求值： 解：.總結(jié)升華：對(duì)數(shù)恒等式中要注意格式：它們是同底的；指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式

3、；其值為真數(shù)例5、求的值(a，b，cR+，且不等于1，N>0)思路點(diǎn)撥：將冪指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為冪的冪，再進(jìn)行運(yùn)算.解：.類型三、積、商、冪的對(duì)數(shù)例6、已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b（2）原式=lg26=6lg2=6a（3）原式=lg2+lg3=a+b（4）原式=lg22+lg3=2a+b（5）原式=1-lg2=1-a（6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2

4、(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解：(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例8、已知3a=5b=c，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.例9、設(shè)a、b、c為正數(shù)，且滿足a2+b2=c2.求證：.證明：.例10、 已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求證：.證明： a2+b2=7

5、ab， a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a>0，b>0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .類型四、換底公式的運(yùn)用例11、 (1)已知logxy=a， 用a表示； (2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路點(diǎn)撥：將條件和結(jié)論中的底化為同底.方法一：am=x， bn=x， cp=x， ；方法二：.例12、求值：(1)；(2)；(3).解：(1) （2）；（3)法一： 法二：.總結(jié)升華：運(yùn)用換底公式時(shí)，理論上換成以大于0不為1任意數(shù)為底均可，但具體到每一個(gè)題，一般以題中某個(gè)對(duì)數(shù)的底為標(biāo)準(zhǔn)，或都換成以10為底的常用對(duì)數(shù)也可.類型五、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例13、求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4