蘭州大學(xué)——數(shù)學(xué)物理方法期末試卷A

1、數(shù)學(xué)物理方法常用的公式(注：僅供參考)： 拉普拉斯算子作用于標(biāo)量場在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的表示:22u 1uu一222sin12u222r sinz212 U 1u r2r r r r sin勒讓德多項式的微分表示:Pi x1 di2i i! dxx2 1 i勒讓德-傅里葉級數(shù)展開：定義在x的區(qū)間1,1的至少分段光滑函數(shù)f x可以展開為廣義傅里葉級數(shù):ai P0其中，系數(shù)ai1fi 21dx勒讓德多項式的生成函數(shù):1.R2 r2 2 Rr coslri 0 Rl 1Rli 1i o rPicoscos1r sin(1)證明:、(本題10分，每小題5分)在 球 坐 標(biāo)u r, , rer rk

2、 ?r k ,其中r xex yey zez , k為常矢量。r(2)計算矢量場A xyex zsin yey yzez的旋度。、（本題10分，每小題5分）將下列復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式，其中i為虛數(shù)單位，（1） cos 2i3三、（本題10分）已知解析函數(shù)f z的實部u x3 3xy2,且滿足f 00,求該解析函數(shù)f z 。四、（本題10分）1將函數(shù)f Z以Z0 1為中心的鄰域內(nèi)做洛朗級數(shù)展開。Z2 3z 2五、（本題10分）計算實變函數(shù)積分I 2 dx2 ,010 1 2 cosx六、（本題10分）設(shè)有一根均勻的柔軟的細(xì)弦，當(dāng)它做微小的橫振動時，除受內(nèi)部張力作用外，還受到阻尼力的作用，設(shè)阻尼力與速

3、度成正比，比例系數(shù)為k,即單位長度的弦所受阻力f kv kdu x,t o試寫出帶有阻尼的弦振動方程。dt七、（本題10分）將定解問題2u x,t2u x,tt20 x l, t 0u x，t x0 0，u x，t xi sin t，u x,tu x，t t 070，t t 0n aT0 x l的邊界條件齊次化，設(shè)u x，tV x，t W x，t ,并假設(shè)V x，t滿足齊次邊界條件，請寫出關(guān)于V x，t的相應(yīng)的定解問題。（注：不必對邊條件齊次化后的定解問題進(jìn)行求解）八、（本題15分）求解定解問題的解0，1, 02u 1 cos4cos4九、（本題15分）r在均勻電場E。中放置一個半徑為R并接地

4、的導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球放入電場達(dá)到靜 電平衡后，球外各點的電勢分布，并算出各點的電場強(qiáng)度和導(dǎo)體表面的電荷分布、（本題10分,每小題5分）r r（1）證明：k ?r其中rr r rxex yey zez ，rk為常矢量。（2）計算矢量場r xyex一一 rzsin yeyyz2ez的旋度。（r r k?r1rkxexr ky eykzez ? xexryey證rzezkxxkyykzZkxxkyyxkzZkxx kyy k逐 r eykxx kyy（2分）（2）解:（3分）kxexkyeykzz rez（3分）kzezr exr eyr ezxAxyAyzAzAzyAyrex zAxzAz r一 e

5、yxAzxAx rezysin yrxez（2分）、（本題10分,每小題將下列復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式，其中i為虛數(shù)單位,（1） VT；cos 一32i2kk為整數(shù)cos k 一4i sin k 一 4（3分）分）分）分）當(dāng)k為偶數(shù)時,當(dāng)k為奇數(shù)時, cos - 2i3（本題10分）已知解析函數(shù)f1 cos 一4.1isin 一4（1cos2 ch22i2ii sin22（1cos3i sin 3的實部2 -i3（3cos3i sin 3i -sh22（2分）c 23xy，且滿足f0,求該解析函數(shù)解：根據(jù)科西-黎曼條件：上3v x, y u x, yv x,yx（2分）山3x2x3y2（2分）v x,

6、 yx（2分）即有 dv x, y 6xydx 3x2 3y2 dy d 3x2y y3所以 v x,y3x2y y3 c由條件f 0 0,可得c 0所以有 f zx3 3xy23x2y y3 i z3四、（本題10分）將函數(shù)fz0 1為中心的鄰域內(nèi)做洛朗級數(shù)展開解：f z11z2 3z 2 z 1 z（2分）（1分）（1分）（3分）（7分）五、（本題10分）計算實變函數(shù)積分dxcosx（2分）ix edxdzizcosxdz iz_1 z ziIz1 z 11 z zdz z（3分）1被積函數(shù)有兩個極點z0顯然1在單位圓外Zo在單位圓內(nèi)該點的留數(shù)為（2分）Res f z0limzi2（2分）

7、所以該定積i Res fZo（1分）六、（本題10分）設(shè)有一根均勻的柔軟的細(xì)弦,當(dāng)它做微小的橫振動時,除受內(nèi)部張力作用外，還受到阻尼力的作用，設(shè)阻尼力與速度成正比，比例系數(shù)為 k,即單位長度的弦所 受阻力f kv kdu x,t 。試寫出帶有阻尼的弦振動方程。dt解：建立坐標(biāo)系，如圖所示取弦的平衡位置為X軸，且令端點坐標(biāo)為x 0與x l .設(shè)u(x,t)是坐標(biāo)為X的弦上一點在t時刻的(橫向)位移.在弦上隔離出長為dx的一小段(弦元).弦元的弦長足夠小，以至于可以把它看成是質(zhì)點.分析弦元受力: 它在兩個端點x及x dx處受到張力的作用.因為弦是完全柔軟的，故只受到切 向應(yīng)力張力T的作用，而沒有法

8、向應(yīng)力。因此有：(T sin )x dx (T sin )xukdxtdm g2 u dmt(T cos )xdx (T cos )x 0 .(4分)小振動近似：x dx與x兩點間任一時刻橫向位移之差u(x dx,t) u(x,t)與dx相比是一個小量，即 u x 1：在小振動近似下,sintancos弦的橫振動tanu(一)xu tan 1()xdx這樣，就有(T )x dx(T)即(T)xdx = (T)x(32, udx 2-2t(-)xxdxu) x,u .k - dx g2uu .dxT2-dxkdxgdxxt(32 u2t分)其中 是弦的線密度(單位長度的質(zhì)量).定義:則有2tbT

9、般情況下弦振動的加速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于重力加速度g,方程簡化為22u u 2 u丁 b a 0t t x七、（本題10分）將定解問題0 x l, t 0u x，t xo 0，u x，t xi sin t，u x,tu x，t t 070,t t 0的邊界條件齊次化，設(shè)u x，t V x，t W x，t ,并假設(shè)V x，t滿足齊次邊界條 件，請寫出關(guān)于V x，t的相應(yīng)的定解問題0，V x，t xl 0，（注：不必對邊條件齊次化后的定解問題進(jìn)行求解）解：設(shè) u x，t V x，t W x，t ,并令 V x，t x0則有W x，t x0 0，W x，t xi sin t，設(shè) W x，tA(t)x B(t)

10、,可得 B(t) 0 , Asin tlW x，t所以有sin txlW x，t把分）sin tlx帶入原有的定解方程中可得關(guān)于V x，t的定解問題為2V x,tt2V x,tV x,t八、（本題15分）0,0,2V x,t2- xV x,tV x,tt求解定解問題的解12解：設(shè)ucos2R''R'2 sin tnx ,0,0 x l, t 02u0,4cos4 ,1, 0,并且代入方程可得上式左右兩邊要相等只能等于同一常數(shù)，設(shè)為則有''2 _2R''R'（4分）由自然周期邊條件II解得，本征信m2 ,本征函數(shù)Cm cosmDm

11、sin m其中m0, 1, 2, 3, L（3分）則有2R''2R'm2R當(dāng)m 0時，有 2R''R'解得R0E0 1nF0可得E0由有限性條件（2分）所以R。當(dāng)m 0時,方程2R''R'2 _ ._m R0的解為RmE m F mEmFm可得Fm由有限性條件所以RmEm（2分）綜上所述其中a0a0C0F0,am由邊界條件ua0am cos mm 1mamCosmCm Em , bmcos 4cos 4bm sin mbmsin mDmEm（1分）可得cos 4cos 4解得% 0, am0,m 1, 4 , bm 0 ,

12、 a11, a4 4（2分）所以解得有cos4 4 cos4（1分）九、（本題15分）r在均勻電場E°中放置一個半徑為R并接地的導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球放入電場達(dá)到靜電平衡后，球外各點的電勢分布，并算出各點的電場強(qiáng)度和導(dǎo)體表面的電荷分布r解：以球心為原點，Eo方向為極軸方向取球坐標(biāo)系，顯然此問題關(guān)于極軸是對稱的，當(dāng)導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時，導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是個等勢面，為了考慮問題的方面，選取導(dǎo)體為電勢零點，則有 u r, 0,根據(jù)題意可知在無窮遠(yuǎn) 一 ' r r ，一的處電勢為 E0r cos球外各點沒有電荷，滿足拉普拉斯方程2u(r, ) 0所以有定解問題為：2u(r, ) 0r R(1)u(r, )r r 0(2)u(r, )rE°rcosr(3)(3分)由分離變量法，由于是軸對稱問題，可令 u(r, ) R(r)(),代入式(1),可得方程的解為：u(r, )Alr1 B1r (l 1) P|(cos )(4)(31 0分)由邊界條件(3)和根據(jù)勒讓德函數(shù)P(x)為基的函數(shù)的廣義傅立葉級數(shù)展開，AE0, A 01 1Blr (1 1)R(cos )(5)1 0對 比 系 數(shù) 可 得(3分)方程的解(4)變?yōu)椋簎(r, )E0rP1 cos由邊界條件(2)可知：E0RP, cosBlR (1 1)P(cos