利用洛必達法則來處理高考中的恒成立問題

1、利用洛必達法則來處理高考中的恒成立問題 河南省偃師高中 高洪海2010年和2011年高考中的全國新課標卷中的第21題中的第步，由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題，分析難度大，但用洛必達法則來處理卻可達到事半功倍的效果。一洛必達法則法則1 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x) 可導且g(x)0； (3)，那么 =。 法則2 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在與上可導，且g(x)0； (3)，那么 =。 法則3 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)在點a的去心

2、鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x) 可導且g(x)0； (3)，那么 =。利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應(yīng)注意： 將上面公式中的xa，x換成x+，x-，洛必達法則也成立。洛必達法則可處理，型。在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。 若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二高考題處理1.(2010年全國新課標理)設(shè)函數(shù)。（1） 若，求的單調(diào)區(qū)間；（2） 若當時，求的取值范圍原解：（1）時，.當時，；當時，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（II

3、）由（I）知，當且僅當時等號成立.故，從而當，即時，而，于是當時，.由可得.從而當時，故當時，而，于是當時，.綜合得的取值范圍為原解在處理第（II）時較難想到，現(xiàn)利用洛必達法則處理如下：另解:（II）當時，對任意實數(shù)a,均在；當時，等價于令(x0),則，令，則，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達法則知，故綜上，知a的取值范圍為。2（2011年全國新課標理）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（）求、的值；（）如果當，且時，求的取值范圍。原解：（）由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知，所以?？紤]函數(shù)，則。（i）設(shè)，由知，當時，h（x）遞減。而故當時，

4、 ，可得；當x（1，+）時，h（x）0從而當x0,且x1時，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）設(shè)0k0,故 （x）0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）0，可得 h（x）0,與題設(shè)矛盾。 綜合得，k的取值范圍為（-，0原解在處理第（II）時非常難想到，現(xiàn)利用洛必達法則處理如下：另解：（II）由題設(shè)可得，當時，k=0在上為增函數(shù)=0當時，當x（1，+）時，當時，當x（1，+）時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)由洛必達法則知，即k的取值范圍為（-，0規(guī)律總結(jié)：對恒成立問題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題

5、中的求分離出來的函數(shù)式的最值有點麻煩，利用洛必達法則可以較好的處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。從高考題看含參不等式恒成立問題的解題策略 ?？谝恢?操冬生 已知不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，是函數(shù)、方程、不等式交匯處一個較為活躍的知識點。這類問題以含參不等式“恒成立”為載體，鑲嵌函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容，綜合性強，思想方法深刻，能力要求較高，因而成為近幾年高考試題中的熱點。為了對含參不等式恒成立問題的解題方法有較全面的認識，本文以2010年高考試題的解法為例，對此類問題的解題策略作歸納和提煉，供大家參考。一 分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值對于變量和參數(shù)可分離的不等

6、式，可將參數(shù)分離出來，先求出含變量一邊的式子的最值，再由此推出參數(shù)的取值范圍。例1（2010年全國卷1理）已知函數(shù)（）若，求的取值范圍（）證明:解析：（） ，由得，令，于是，問題化為求函數(shù)的最大值。，當時，；當時，。當時，有最大值， （）略。評析：含參不等式分離參數(shù)后的形式因題、因分法而異，因此解決含參不等式恒成立問題需把握住下述結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）恒成立。（4）恒成立。二 分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的確界如果分離參數(shù)后相應(yīng)的函數(shù)不存在最值，為了能夠利用分離參數(shù)思想解決含參不等式恒成立問題，我們利用如下的函數(shù)確界的概念：函數(shù) 的上確界為，記作；函數(shù) 的下確界為，記作。于是，有如

7、下結(jié)論：（1）若無最大值，而有上確界，這時要使恒成立，只需。（2）若無最小值，而有下確界，這時要使恒成立，只需。例2 （2010年湖南卷理）已知函數(shù)，對任意的，恒有（）證明：當時，（）若對滿足題設(shè)條件的任意，不等式恒成立，求的最小值。解析：（）略。（）由即恒成立，得從而，等號當且僅當，即時成立（1）當 時， ，令，則，則因為函數(shù) （）的最大值不存在，但易知其上確界為 （2）當時，或0，從而恒成立綜合（1）（2）得的最小值為例3 （2010年全國卷理）設(shè)函數(shù)（）若，求的單調(diào)區(qū)間。（）若時，求的取值范圍。解析：（）由對所有的成立，可得（1）當時，；（2）當時，設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為求的最小值或下確界。，令

8、，因為，又的二階導數(shù)，的三階導數(shù)，所以是增函數(shù)，故，所以增函數(shù)，故，所以是增函數(shù)，故，從而，于是在上單調(diào)遞增，故無最小值，此時，由于無意義，但運用極限知識可得。由洛必達法則可得： 故時，。因而，綜合（1）（2）知取值范圍為。評析：用分離參數(shù)法求解本題，最大的難點在于求分離參數(shù)后所得函數(shù)的下確界，應(yīng)用洛必達法則求超出了中學所學知識范圍。顯然，這不是命題者的意圖。因此，我們應(yīng)該探求這類問題的另一種更為一般地思考途徑。三 從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值 對于不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值或確界較困難的問題，如例3，我們可以把含參不等式整理成或的形式，然后從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化

9、為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值。在解題過程中常常要用到如下結(jié)論：（1）如果有最小值，則恒成立，恒成立；（2）如果有最大值，則恒成立，恒成立。例4（2010年天津文）已知函數(shù) 其中（）若，求曲線在點處的切線方程，（）若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍解析：（）略。（），令，解得或（1）若，則，于是當時，；當時，。所以當時，有極大值。于是時，等價于解得 （2）若，則，于是當時，；當時，當時，。所以，當時，有最大值，當時，有最小值。于是時，等價于解得或，因此，綜合（1）（2）得 例5：內(nèi)容同例3解析：（）略（），由方程不能求出極值點。顯然，用例4的解法是行不通的，但我們注意到，故問題轉(zhuǎn)化為在時恒成立，即函數(shù)

10、在為不減函數(shù)，于是可通過求導判斷的單調(diào)性，再求出使成立的條件。由（）有，當且僅當時成立，故，而當，即時 是上的不減函數(shù)，當時，由 可得故當時，而，于是當時 綜合得評析：函數(shù)、不等式、導數(shù)既是研究的對象，又是解決問題的工具。本題抓住這一重要的解題信息，將問題轉(zhuǎn)化為在時恒成立，通過研究函數(shù)在上是不減函數(shù)應(yīng)滿足的條件，進而求出的范圍。隱含條件對解題思路的獲得，起到了十分重要的導向作用。從以上高考題的解法可知：以函數(shù)的觀點作指導，用導數(shù)知識作工具，從研究函數(shù)的單調(diào)性、最值（極值）等問題入手，將含參不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)問題，是確定恒不等式中參數(shù)取值范圍問題的重要思考方法。對這類問題的處理

11、，需要考生具備過硬的導數(shù)、不等式知識，并能靈活運用這些知識研究函數(shù)的性質(zhì)等問題。在高三復習課教學中，有意識地給學生這方面的訓練，對培養(yǎng)他們的數(shù)學綜合素質(zhì)是大有好處的。 洛必達法則一. 微分學中值定理拉格朗日中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使 即成立。 這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。羅爾定理 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使成立。 下面我們在學習一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理柯西中值定理柯西中值定理 如果函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)

12、可導，且0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點c，使成立。在求函數(shù)的極限時，常會遇到兩個函數(shù)、都是無窮小或都是無窮大時，求它們比值的極限，此時極限可能存在，也可能不存在通常把這種極限叫做未定式，并分別簡稱為型或型。例如，就是型的未定式；而極限就是型的未定式我們?nèi)菀字溃瑢τ谖炊ㄊ降臉O限求法，是不能應(yīng)用商的極限等于極限的商這個法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極限呢？計算未定式的極限往往需要經(jīng)過適當?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成可利用極限運算法則或重要極限的形式進行計算. 這種變形沒有一般方法，需視具體問題而定，屬于特定的方法. 本節(jié)將用導數(shù)作為工具，給出計算未定式極限的一般方法，即洛必達法則. 本節(jié)的幾個定理

13、所給出的求極限的方法統(tǒng)稱為洛必達法則.一、型未定式 定理1 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導，且；（3）存在（或為無窮大），則 這個定理說明：當存在時，也存在且等于；當為無窮大時，也是無窮大這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為洛必達（ospital）法則.例1計算極限.解 該極限屬于“”型不定式，于是由洛必達法則，得.例2計算極限解 該極限屬于“”型不定式，于是由洛必達法則，得注 若仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應(yīng)用洛必達法則，即例3 計算極限解 由洛必達法則，得例4計算極限解 二、型未定式定理2 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導，且；（3）存在（或為無窮大），則 注：上述關(guān)于時未定式型的洛必達法則，對于時未定式型同樣適用例5 計算極限解 此極限滿足洛必達法則，于是得例6 計算極限解 所求問題是型未定式，連續(xù)次施行洛必達法則，有例7 計算極限解 （利用等價無窮小量代換）使用洛必達法則時必須注意以下幾點：（1）洛必達法則只能適用于“”和“”型的未定式，其它的未定式須先化簡變形成“”或“”型才能運用該法則；（2）只要條件具