數(shù)學(xué)歸納法(市公開課)

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法 從前有個財主，請來一位先生教兒子識字。從前有個財主，請來一位先生教兒子識字。 先生寫一橫，告訴他的兒子是先生寫一橫，告訴他的兒子是“一一”字；寫兩橫，告訴字；寫兩橫，告訴是個是個“二二”字；寫三橫，告訴是個字；寫三橫，告訴是個“三三”字。學(xué)到這里字。學(xué)到這里, ,兒子兒子就告訴父親說：就告訴父親說：“我已經(jīng)會了，不用先生再教了。我已經(jīng)會了，不用先生再教了?！庇谑牵谑?，財主很高興，把教書先生給辭退了。財主很高興，把教書先生給辭退了。 有一天，財主要請一位姓萬的朋友，叫兒子寫請?zhí)?。有一天，財主要請一位姓萬的朋友，叫兒子寫請?zhí)？墒抢习胩觳灰妰鹤訉懞?，他就去催兒子。兒子抱怨說：可

2、是老半天不見兒子寫好，他就去催兒子。兒子抱怨說：“你不識字，不知道寫字有多難。此人姓萬，我手都寫酸你不識字，不知道寫字有多難。此人姓萬，我手都寫酸了，才剛剛寫完三千橫！了，才剛剛寫完三千橫！”講故事講故事歸納推理歸納推理：由由部分部分到到整體整體、由、由個別個別到到一般一般的推理的推理。情境導(dǎo)入情境導(dǎo)入, 11a*)(1Nnnan猜想：猜想：計算計算: :414=a?.1, 1,11nnnnnaaaaaa問：若問題：對于數(shù)列不完全歸納法不完全歸納法,717a驗證驗證: :,515a,616a逐一驗證，不可能！逐一驗證，不可能！情境導(dǎo)入情境導(dǎo)入,212a,313a后面是否成立？后面是否成立？看看

3、下面的動畫對我們解決問題有什么啟示？人體多米諾骨牌人體多米諾骨牌問：多米諾骨牌全部倒下，必須具備哪兩個條件？問：多米諾骨牌全部倒下，必須具備哪兩個條件？(1)(1)第一塊骨牌倒下；第一塊骨牌倒下； ( (2 2) )前一塊倒下必導(dǎo)前一塊倒下必導(dǎo)致后一塊倒下。致后一塊倒下。 條件條件(2)給出了一個遞推關(guān)系，若給出了一個遞推關(guān)系，若第第K K塊倒下塊倒下，則相，則相鄰的鄰的第第K+1K+1塊也倒下塊也倒下.課題探究課題探究 （1 1）第）第1 1塊骨牌倒下。塊骨牌倒下。(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時，驗證猜想正確。時，驗證猜想正確。（2 2）如果第）如果第k k塊倒下時，塊倒下時，一定能導(dǎo)致一定

4、能導(dǎo)致第第k+1k+1塊也倒下。塊也倒下。(2(2) )如果如果n=kn=k 時時猜想成立猜想成立 根據(jù)根據(jù)(1)(1)和和(2)(2)，可知不論有，可知不論有多少個骨牌都能全部倒下。多少個骨牌都能全部倒下。 根據(jù)根據(jù)(1)(1)和和(2)(2)，可知對所有的正，可知對所有的正整數(shù)整數(shù)n n，猜想都成立。，猜想都成立。）（*kN一定能推出一定能推出當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時猜想也成立時猜想也成立kak1111kak課題探究課題探究多米諾骨牌游戲原理多米諾骨牌游戲原理通過通過有限有限個步驟的推理，個步驟的推理，證證n取所有正整數(shù)都成立取所有正整數(shù)都成立.1, 1,11nnnnaaaaa若對于數(shù)列

5、nan1求證：分析分析:正確。正確。,1111akak1111kak1(1)當(dāng)當(dāng)n=1時，時，(2)若若111a212a414a212a313a313a414a)(*Nn515a 兩個兩個步驟可推步驟可推出出 n 取所有正整取所有正整數(shù)都成立！數(shù)都成立！.1, 1,11nnnnaaaaa若對于數(shù)列*).(1Nnnan求證：證明證明:命題成立。命題成立。,1111=a,1kakkkaa1kk11111k1ka（依據(jù)）（依據(jù)）1(1)當(dāng)當(dāng)n=1時，時，(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k 時，時， 命題成立命題成立,即即 當(dāng)當(dāng)n=k+1時，時， 既當(dāng)既當(dāng)n=k+1時，命題成立時，命題成立.*)(1成立Nnna

6、n由由(1)(2)知，知，歸納遞推歸納遞推（結(jié)論）（結(jié)論）驗證驗證n=n0 時時 命題成立命題成立方法歸納方法歸納 若若n = k ( k n 0) 時命題成時命題成立立 n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立 命題對所有的正整數(shù)命題對所有的正整數(shù)n ( n n 0)都成立。都成立。歸納奠基歸納奠基歸納遞推歸納遞推兩個步驟，兩個步驟，一個結(jié)論。一個結(jié)論。結(jié)論結(jié)論小組討論小組討論 用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1) (n N*) 1.當(dāng)當(dāng)n1時，左邊時，左邊= ；1+2+31+2+3+4+5 3.當(dāng)當(dāng)nk時，左邊時，左邊= .2.當(dāng)當(dāng)n2

7、時，左邊時，左邊= .1+2+(2k+1) 4.當(dāng)當(dāng)nk+1時，此時左邊時，此時左邊比比n=k時多了幾項？時多了幾項？ .1+2+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3) 當(dāng)當(dāng)nk+1時，左邊時，左邊= .(2k+2)，(2k+3)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：21122221.nn(n N*).1, 1,11nnnnaaaaa若對于數(shù)列*).(1Nnnan求證：證明證明:命題成立。命題成立。,1111=a,1kakkkaa1kk11111k1ka（依據(jù)）（依據(jù)）1(1)當(dāng)當(dāng)n=1時，時，(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k 時，時， 命題成立命題成立,即即 當(dāng)當(dāng)n=k+1時，時， 既

8、當(dāng)既當(dāng)n=k+1時，命題成立時，命題成立.*)(1成立Nnnan由由(1)(2)知，知，歸納遞推歸納遞推（結(jié)論）（結(jié)論）用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：證明：當(dāng)當(dāng)n=k+1時時（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)nk (k N*)時，等式成立，即時，等式成立，即（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時，時，(n N*)左邊左邊=等比數(shù)列求和！等比數(shù)列求和！=右邊，右邊，即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時等式也成立。時等式也成立。根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)可知，等式對任何可知，等式對任何n N*成立。成立。錯解！錯解！錯因錯因: :沒有用到假設(shè)！沒有用到假設(shè)！評講練習(xí)評講練習(xí)左邊左邊1，右邊右邊1，等式成立。等式成立。21122221n

9、n21122221kk211222k2k11 (1 2)1 2k121k能力提升能力提升問題：問題：*)nNn2討論2 與n 的大?。╪=1 2 n2計算當(dāng)， ,8時2 與n 的值，比較它們的大小你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？注意：注意：在第一步中的初始值不一定從在第一步中的初始值不一定從1 1取起取起, , 證明應(yīng)根據(jù)具體情況而定證明應(yīng)根據(jù)具體情況而定. .,1221,2222,3223,4224,5225,6226,72272882 猜想：猜想：恒成立？時，當(dāng)225nnn用數(shù)學(xué)歸納法證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明，理解新知理解新知問題：問題：初始值初始值從從 取起取起. .5計算：計算：求證

10、：求證：).(25*2Nnnnn 時，當(dāng)2,5225證明：證明：時，當(dāng)5) 1 (n命題成立。命題成立。時，假設(shè))5,()2(*kNkkn命題成立，命題成立，.22kk即時，當(dāng)1 kn12k左邊22 k22k,22k,12）（右邊 k22) 1(2 kk) 12(222kkk122kk2) 1(2 k2420,) 1(221kk,1時即kn命題成立。命題成立。,)2)(1 (知由).(25*2Nnnnn 時，當(dāng) 大于大于?222(1)kk證明目標(biāo)證明目標(biāo)課堂小結(jié)布置作業(yè)：布置作業(yè)：課時訓(xùn)練課時訓(xùn)練第第1919頁頁 第第1 1至至1010題題1.數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？用于證明某些用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題數(shù)學(xué)命題。2.數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟？數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟？(1)(1)證明當(dāng)證明當(dāng)n n取第一個值取第一個值( (初始值初始值) )時結(jié)論正確；時結(jié)論正確；(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n n取取k k時結(jié)論正確，推導(dǎo)時結(jié)論正確