函數(shù)的單調性

1、函數(shù)的單調性 教學目的：理解函數(shù)單調性概念，掌握判斷函數(shù)單調性的方法，會證明一些簡單函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性。 教學重點：函數(shù)單調性的概念與判斷 教學過程： 一、問題情境1情境：第2.1.1開頭的第三個問題中，=f(t)2問題：說出氣溫在哪些時間段內是升高的？怎樣用數(shù)學語言刻畫“隨著時間的增大氣溫逐步升高”這一特征？ 二、學生活動 問題1：觀察下列函數(shù)的圖象（如圖1），指出圖象變化的趨勢（2）yxOy(x-1)2-1，xR-112yxOy，x(0,+)1 （3）1 （1）yxOy2x1，xR （4）yxOyf(x)，x0，241 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2、2468102圖1觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)的函數(shù)圖象有的呈逐漸上升的趨勢，有的呈逐漸下降的趨勢，有的在一個區(qū)間內呈上升的趨勢，在另一區(qū)間內呈逐漸下降的趨勢問題2：你能明確說出“圖象呈逐漸上升趨勢”的意思嗎？討論得到：在某一區(qū)間內，當x的值增大時，函數(shù)值y也增大Û圖象在該區(qū)間內呈上升趨勢；當x的值增大時，函數(shù)值y反而減小Û圖象在該區(qū)間內呈下降趨勢。函數(shù)的這種性質稱為函數(shù)的單調性。三、建構數(shù)學問題3：如何用數(shù)學語言來準確地表述函數(shù)的單調性呢？例如，怎樣表述在區(qū)間（0，+¥）上當x的值增大時，函數(shù)y的值也增大？能不能說，由于x1時，y3；x2時，y5就說隨著x的增

3、大，函數(shù)值y也隨著增大？能不能說，由于x1，2，3，4，5，時，相應地y3，5，7，9，就說隨著x的增大，函數(shù)值y也隨著增大？答案是否定的。例如函數(shù)y(x-1)2-1（xR），當x1，2，3，4，5，時，相應地y1，0，3，8，15，就不能說隨著x的增大，函數(shù)值y也隨著增大這是因為x1時，y3，就自變量的值而言，11，而相應的函數(shù)值卻有31，即y不是隨著x的增大而增大通過討論，結合圖（2）給出f(x)在區(qū)間I上是單調增函數(shù)的定義。o 1yxyx3圖2從圖1中可以看出：函數(shù)y2x1（xR）的單調增區(qū)間是（-¥，+¥）；函數(shù)y(x1)2-1（xÎR）的單調增區(qū)間是1，

4、+；氣溫曲線所表示的函數(shù)的單調增區(qū)間是4，14。問題4：如何定義單調減函數(shù)？（結合圖（3）敘述）（學生討論回答）從圖1中可以看出：函數(shù)y(x1)2-1（xÎR）的單調減區(qū)間是（-，1；氣溫曲線所表示的函數(shù)的單調減區(qū)間是0，4，14，24。如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上具有單調性，這個區(qū)間就叫做函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間。圖3yxyf(x) f(x1)f(x2)圖2yyf(x)f(x1)f(x2)x如函數(shù)y=2x+1(xR)的單調區(qū)間是（-¥，+¥），函數(shù)y(x1)2-1（xÎR）的單調區(qū)間是（-&#

5、165;，1和1，+，氣溫曲線所表示的函數(shù)的單調區(qū)間是0，4，4，14，14，24。四、數(shù)學運用1例題例1 作出下列函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調區(qū)間（1）yx 22； （2）y(x0)解 （1）函數(shù)yx22的圖像如圖4（1）所示，單調減區(qū)間為(-，0，單調減區(qū)間為0，+（2）yxOy = (x0)-11圖4（1）yxOy=x2 + 1112（2）函數(shù)y(x0)的圖像如圖4（2）所示，(，0)和(0，)是兩個單調減區(qū)間提問：能不能說，函數(shù)y(x0)在定義域(，0)(0，)上是單調減函數(shù)？引導討論，從圖象上觀察或取特殊值代入驗證否定結論。（如取x1=-1,x2=）圖5o 1xyy(x1)2yo1x1y=|x1|1例2 觀察下列函數(shù)的圖象（如圖5），并指出它們是否為定義域上的增函數(shù)：學生總結：函數(shù)y(x1)2與y|x1|1的圖象在x1時隨著x值的增大而上升，在x1時隨著x的值的增大而下降所以，這兩個函數(shù)在定義域上不是增函數(shù)例3 證明函數(shù)f(x)1在區(qū)間(，0)上是增函數(shù)證明 設 x1x20，則x1x20且x1x20因為 f(x1)f(x2)（1）（1）0，即f(x1)f(x2)，所以，函數(shù)f(x)1在區(qū)間(，0)