新課標人教A版高一數(shù)學必修1知識點總結(jié)(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學必修1知識點第一章 集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念：1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性； （2）元素的互異性； （3）元素的無序性說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。 (4)集合元素的三個特性使

2、集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示： 如我校的籃球隊員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。（）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。（）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形數(shù)學式子描述法：例：不等式x-32的解集是xR| x-32或x| x-32（3）圖示法（文氏圖）：4、常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集 N*或 N+

3、整數(shù)集 Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集 R5、“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 aA ，相反，a不屬于集合A 記作 aA6、集合的分類：1有限集 含有有限個元素的集合2無限集 含有無限個元素的集合3空集 不含任何元素的集合二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說兩集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A集合A中有n個元素,則集合A

4、子集個數(shù)為2n.2“相等”關(guān)系(55，且55，則5=5)實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”結(jié)論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B 任何一個集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同時 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成

5、的集合,叫做A,B的交集記作AB(讀作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AB(讀作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB3、交集與并集的性質(zhì)：AA = A，A= , AB = BA，AA = A，A= A , AB = BA.4、全集與補集（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。SCsAA（2）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即AS），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）。記作： CSA ，即

6、CSA =x | xS且 xA（3）性質(zhì)：CU(C UA)=A (C UA)A= (C UA)A=U(4)(C UA)(C UB)=C U(AB) (5)(C UA)(C UB)=C U(AB)二、函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域注意：1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明

7、它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式定義域補充：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.(注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)2、構(gòu)成函數(shù)的

8、三要素：定義域、對應關(guān)系和值域注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）。（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。 相同函數(shù)的判斷方法：定義域一致；表達式相同 (兩點必須同時具備)值域補充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應先考慮其定義域. (2)、應熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3. 函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直

9、角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C= P(x,y) | y= f(x) , xA 圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2) 畫法：A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內(nèi)描出相應的點P(x, y)，最后用

10、平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換、對稱變換:（1）將y= f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)=f(x)的圖象如：書上P21例5 （2） y= f(x)和y= f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱。如（3） y= f(x)和y= -f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。如、平移變換: 由f(x)得到f(xa) 左加右減； 由f(x)得到f(x)a 上加下減(3)作用：A、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；B、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。4區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)

11、間的數(shù)軸表示5映射定義：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”給定一個集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說明:函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，集合A、B及對應法則f是確定的；對應法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關(guān)系一般是不同的；對于映射f：AB來說，則應滿足：（）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是

12、唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6、函數(shù)的表示法：常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)：作垂直于x軸的直線與曲線最多有一個交點。2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征注意：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補充一：分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解

13、析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況注意：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補充二：復合函數(shù)如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=fg(x)=F(x)，(xA) 稱為f是g的復合函數(shù)。7函數(shù)單調(diào)性（1）增函數(shù)設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2

14、)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2、必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當x1x2時，總有f(x1)f(x2) （或f(x1)f(x2)）。（2） 圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)

15、的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：1 任取x1，x2D，且x1 0（C為常數(shù)）時，與的單調(diào)性相同；當C 0且a12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)0a1 圖像性質(zhì)定義域R , 值域（0，+）（1）過定點（0，1）,即x=0時，y=1(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)（3）當x0時,0y1;當x1（3）當x0時,y1;當x0時,0y1圖象特征函數(shù)性質(zhì)共性向x軸正負方向無限延伸函數(shù)的定義域為R函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域為R+圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點（0，1）過定點（0，1）0a0時,0y1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標都大于1當x

16、1圖象上升趨勢是越來越緩函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；a1自左向右看，圖象逐漸上升增函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標都大于1當x0時,y1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標都小于1當x0時,0y0時，a,N在1的同側(cè)；當b0且a1；2. 真數(shù)N0 3. 注意對數(shù)的書寫格式2、兩個重要對數(shù)：（1）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù), ；（2）自然對數(shù)：以無理數(shù)e 為底的對數(shù)的對數(shù) , 3、對數(shù)式與指數(shù)式的互化對數(shù)式 指數(shù)式對數(shù)底數(shù) a 冪底數(shù)對數(shù) x 指數(shù)真數(shù) N 冪結(jié)論：（1）負數(shù)和零沒有對數(shù)（2）logaa=1, loga1=0 特別地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0

17、(3) 對數(shù)恒等式：（二）對數(shù)的運算性質(zhì)如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：1、 兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)和2 、 兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)差3 、 一個正數(shù)的n次方的對數(shù)等于這個正數(shù)的對數(shù)n倍說明:1) 簡易語言表達:”積的對數(shù)=對數(shù)的和”2) 有時可逆向運用公式3) 真數(shù)的取值必須是(0,)4) 特別注意： 注意：換底公式利用換底公式推導下面的結(jié)論 （二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) (a0，且a1) 叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意：（1） 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只

18、能稱其為對數(shù)型函數(shù)（2） 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：a0，且a12、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)(a0，且a1)0 a 1a 1圖像yx0(1,0)yx0(1,0)性質(zhì)定義域：（0，） 值域：R過點(1 ,0), 即當x 1時,y0在(0,+)上是減函數(shù)在(0,+)上是增函數(shù)當x1時，y0當x=1時，y=0當0x0 當x1時，y0當x=1時，y=0當0x1時，y0;當a,b不同在(0,1) 內(nèi)，或不同在(1,+) 內(nèi)時,有l(wèi)ogab0；當a,b在1的異側(cè)時, logab 0，值域求法用單調(diào)性。、分辨不同底的對數(shù)函數(shù)圖象利用1=logaa ，用y=1去截圖象得到對應的底數(shù)。、y=ax(a0且a 1

19、) 與y=logax(a0且a 1) 互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱。5 比較兩個冪的形式的數(shù)大小的方法:(1) 對于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷.(2) 對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小比較,可以利用比商法來判斷.(3) 對于底數(shù)不同也指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,則應通過中間值來判斷.常用1和0.6 比較大小的方法(1) 利用函數(shù)單調(diào)性(同底數(shù))；(2) 利用中間值（如:0,1.）；(3) 變形后比較；(4) 作差比較（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義

20、，并且圖象都過點（1，1）；（2）0 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在0,+ ）上是增函數(shù)特別地，當1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當01時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）0 時，冪函數(shù)的圖象在（0，+）上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸第三章 函數(shù)的應用一、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0 的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點。（實質(zhì)上是函數(shù)y=f(x)與x軸交點的橫坐標）2、函數(shù)零點的意義：方程f(x)=0 有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點3、零點定理：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的，并且有f(a)f(b)0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）至少有一個零點c，使得f( c)=0,此時c也是方程 f(x)=0 的根。4、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)y=f(x)的零點：（1） （代數(shù)法）求方程f(x)=0 的實數(shù)根；（2） （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找