自己整理抽象函數(shù)單調(diào)性及奇偶性練習(xí)及答案57256

1、1、已知的定義域?yàn)镽，且對任意實(shí)數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。 2、已知f(x)是定義在(-,+)上的不恒為零的函數(shù),且對定義域內(nèi)的任意x,y,f(x)都滿足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由.3、函數(shù)f(x)對任意xyR,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),(1)判斷并證明f(x)在區(qū)間(-,+)上的單調(diào)性;(2)求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.4、已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f

2、(y)=f(),試證明 (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減 5、 已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的都滿足: . (1)求的值; (2)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;6、 定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，且對任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求證：f(0)=1；（2） 求證：對任意的xR，恒有f(x)>0；（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范圍。7、 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)都有,且,當(dāng)時(shí), >0.

3、 (1)求; (2) 判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明.8、 函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對任意,有>0;對任意,有;. (1)求的值; (2)求證: 在R上是單調(diào)減函數(shù);9、 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)都有,且當(dāng)時(shí),. (1)證明:; (2)證明: 在R上單調(diào)遞減;10、 函數(shù)對于x>0有意義，且滿足條件減函數(shù)。 （1）證明：； （2）若成立，求x的取值范圍。11、 定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，且對任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3） 求證：f(0)=1；（4） 求證：對任意的xR，恒有f(x)>0

4、；（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范圍。12、 已知函數(shù),在R上有定義，對任意的有 且（1）求證：為奇函數(shù)（2）若， 求的值13、 已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)恒有且當(dāng)x0，(1)判斷的奇偶性；(2)求在區(qū)間3,3上的最大值；(3)解關(guān)于的不等式14、定義在R上的函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)a、b都有f（a+b）+ f（ab）=2 f（a）·f（b）成立，且。（1）求f（0）的值；（2）試判斷f（x）的奇偶性；15、已知定義在上的函數(shù)滿足：（1）值域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，；（2）對于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)，均滿足：試回答下列問題：（）試求的值；

5、（）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；16、定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：對于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當(dāng)x0時(shí)f(x)0恒成立.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)證明f(x)為減函數(shù)；若函數(shù)f(x)在-3，3）上總有f(x)6成立，試確定f(1)應(yīng)滿足的條件；參考答案1、分析：在中，令，得 令，得于是 故是偶函數(shù)2、解析:(1)f(x)對任意x,y都有 f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=1,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).f(1)=0,令x=y=-1,有f(-1)×(-1)=(-1)&

6、#183;f(-1)+(-1)·f(-1),f(-1)=0.(2)f(x)對任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 將f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x). 函數(shù)f(x)是(-,+)上的奇函數(shù).3、解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x),設(shè)x1x2(-,+)且x1>x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)x1>x2,x1-x2>0. 又x>0時(shí),f(x)<0.f(x1-x2)<0. 即f(x1)-f(

7、x2)<0.由定義可知f(x)在區(qū)間(-,+)上為單調(diào)遞減函數(shù).(2)f(x)在區(qū)間(-,+)上是減函數(shù),f(x)在-3,3上也是減函數(shù). f(-3)最大,f(3)最小.f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在-3,3上最大值為2,最小值為-2.4、思路分析：對于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點(diǎn) 證明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)為奇函數(shù) (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減 令0<x1<x2<1,則f

8、(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0，x2x1<1x2x1,0<<1,由題意知f()<0，即f(x2)<f(x1) f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0 f(x)在(1，1)上為減函數(shù) 5、（1）解：令，則 令，則 （2）證明：令，則， 令，則 是奇函數(shù)。6、解：（1）令a=b=0，則f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1 （2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(

9、x)f(-x) 由已知x>0時(shí)，f(x)>1>0，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)>0又x=0時(shí)，f(0)=1>0對任意xR，f(x)>0(3)任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 f(x2)>f(x1) f(x)在R上是增函數(shù)（4）f(x)·f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上遞增由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 0<x<37、（1）解：令，則（2）任取,則 =函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù).8、

10、(1)解: 對任意,有>0, 令得,(2)任取任取,則令,故 函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對任意,有>0;對任意,有;函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).9、解： (1)證明:令,則當(dāng)時(shí),故,當(dāng) 時(shí), 當(dāng)時(shí),則 (2)證明: 任取,則,0<,故<0,又,故函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).10、(1)證明：令，則，故 （2），令，則， 成立的x的取值范圍是。11、解 （1）令a=b=0，則f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1（2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x>0時(shí)，f(x)>1>0，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)&

11、gt;0又x=0時(shí)，f(0)=1>0對任意xR，f(x)>0(3)任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 f(x2)>f(x1) f(x)在R上是增函數(shù)（4）f(x)·f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上遞增由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 0<x<312、解：（1） 對，令x=u-v則有（2） f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-f(u)g(v)-g(u)f(v)=-f(x)（2）f(

12、2)=f1-(-1)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)g(-1)+g(1)f(2)=f(1)0g(-1)+g(1)=113、解（1）取則取對任意恒成立 為奇函數(shù).（2）任取， 則 www.ks5u 又為奇函數(shù) 在（，+）上是減函數(shù).對任意，恒有而在3，3上的最大值為6（3）為奇函數(shù)，整理原式得 進(jìn)一步可得 而在（，+）上是減函數(shù)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí), 當(dāng)a>2時(shí)，14、解：（1）令a=b=0則f（0）+ f（0）=2 f（0）·f（0）所以2 f（0）·f（0）1=0又因?yàn)椋詅（0）=1（2）令a=0

13、，b=x，則f（x）+ f（x）=2 f（0）·f（x）由f（0）=1可得f（x）= f（x）所以f（x）是R上的偶函數(shù)。15、解：（）在中，令，則有即：也即：由于函數(shù)的值域?yàn)椋?，所以（）函?shù)的單調(diào)性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有？（）這個(gè)問題實(shí)際上是：是否成立？為此，我們首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關(guān)系由于，所以，在中，令，得所以，函數(shù)為奇函數(shù)故（）式成立所以，任取，且，則，故且所以，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減16、解:（1）由已知對于任意xR，yR，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0令x=

14、-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0對于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函數(shù).（2）設(shè)任意x1，x2R且x1x2，則x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知f(x0在(-，+)上是減函數(shù).f(x)在-3，3上的最大值為f(-3).要使f(x)6恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）-