二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)歸納解題技巧匯總練習(xí)題及答案

1、二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)歸納、解題技巧匯總、練習(xí)題及答案把兩個(gè)一次方程聯(lián)立在一起，那么這兩個(gè)方程就組成了一個(gè)二元一次方程組。有幾個(gè)方程組成的一組方程叫做方程組。 如果方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)， 且含未知數(shù)的項(xiàng)的 次數(shù)都是一次，那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程定義： 一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)， 并且未知數(shù)的都指數(shù)是 1 的整式方程， 叫二元一 次方程。 二元一次方程組定義：兩個(gè)結(jié)合在一起的共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程，叫 二元一次方程組。二元一次方程的解： 使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值， 叫做二元一次方程的 解。二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)公共解，叫做二元一次方程組的

2、解。 一般解法，消元：將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決。消元的方法有兩種：代入消元法例：解方程組 x+y=5 6x+13y=89 解：由得 x=5-y把帶入，得6(5-y)+13y=89y=59/7把 y=59/7 帶入，x=5-59/7 即 x=-24/7/ x=-24/7y=59/7 為方程組的解我們把這種通過(guò) “代入”消去一個(gè)未知數(shù)，從而求出方程組的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution) ，簡(jiǎn)稱代入法。加減消元法例：解方程組 x+y=9 x-y=5 解：+2x=14 即 x=7 把 x=7 帶入 得 7+y=9 解得 y=-2 x=7y=

3、-2 為方程組的解像這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法( elimination by addition-subtraction) ，簡(jiǎn)稱加減法。 二元一次方程組的解有三種情況：1.1.有一組解 如方程組 x+y=5 6x+13y=89 x=-24/7 y=59/7 為方程組的解2.2.有無(wú)數(shù)組解 如方程組 x+y=6 2x+2y=12 因?yàn)檫@兩個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)方程 (亦稱作 “方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ”，)所以此類方程組有無(wú)數(shù)組解。3.3.無(wú)解如方程組 x+y=4 2x+2y=10 ，因?yàn)榉匠袒?jiǎn)后為 x+y=5這與方程相矛盾，所以此類方程組無(wú)解。注意：用加減法或者用代入消元法解決問(wèn)

4、題時(shí),應(yīng)注意用哪種方法簡(jiǎn)單 ,避免計(jì)算麻煩或?qū)е掠?jì)算錯(cuò)誤。教科書(shū)中沒(méi)有的幾種解法(一 )加減 -代入混合使用的方法 .例 1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1) 得x-y=-1x=y-1 (3)把 (3)代入 (1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2把 y=2 代入 (3) 得x=1 所以 :x=1, y=2特點(diǎn)：兩方程相加減，單個(gè) x 或單個(gè) y,這樣就適用接下來(lái)的代入消元(二) 換元法例 2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令 x+5=m,y-4=n 原方程可寫(xiě)為m+n=8m-n=4

5、 解得 m=6, n=2所以 x+5=6,y-4=2 所以 x=1, y=6特點(diǎn)：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的 x+5,y-4 之類，換元后可簡(jiǎn)化方程也是主要 原因。(三)另類換元例 3，x：y=1：45x+6y=29令 x=t, y=4t 方程 2 可寫(xiě)為： 5t+6*4t=2929t=29t=1 所以 x=1,y=4二元一次方程組的解一般地，使二元一次方程組的兩個(gè)方程左、右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程 組的解。求方程組的解的過(guò)程，叫做解方程組。一般來(lái)說(shuō)，二元一次方程組只有唯一的一個(gè)解。注意： 二元一次方程組不一定都是由兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的！ 也可以由一

6、個(gè)或多個(gè)二元一次 方程單獨(dú)組成。重點(diǎn)一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法；方程的有關(guān)應(yīng)用題（特別是行程、工程問(wèn)題）內(nèi)容提要一、基本概念1 1方程、方程的解（根） 、方程組的解、解方程（組）2 2分類：二、解方程的依據(jù)一等式性質(zhì)1 1. a=a= -a+c=b+ca+c=b+c2 2. a=a= -ac=bcac=bc （c c 工 0 0）三、解法1 1一元一次方程的解法：去分母 -去括號(hào)-移項(xiàng)-合并同類項(xiàng)-系數(shù)化成 1 1-解。2 2.元一次方程組的解法：基本思想：消元”方法：代入法加減法四、一元二次方程1 1定義及一般形式：2 2解法：直接開(kāi)平方法（注意特征）配方法（注意步驟一推倒

7、求根公式）公式法：因式分解法（特征：左邊 =0=0）3 3 根的判別式：4 4.根與系數(shù)頂?shù)年P(guān)系：逆定理：若 ，則以為根的一元二次方程是： 。5 5.常用等式：五、可化為一元二次方程的方程1分式方程定義基本思想：基本解法：去分母法換元法（如，）驗(yàn)根及方法2無(wú)理方程定義基本思想：基本解法：乘方法（注意技巧！ ?。┵?gòu)換元法驗(yàn)根及方法3.簡(jiǎn)單的二元二次方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代六、列方程（組）解應(yīng)用題一概述 列方程（組）解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是：審題。理解題意。弄清問(wèn)題中已知量是什么，未知量是什么，問(wèn)題給出和涉及的相等關(guān)系是什

8、么。設(shè)元（未知數(shù)）。直接未知數(shù)間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來(lái)說(shuō)，未知數(shù)越多，方程越易列， 但越難解。用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。尋找相等關(guān)系（有的由題目合出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個(gè) 數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。解方程及檢驗(yàn)。答案。綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問(wèn)題 的解決而導(dǎo)致實(shí)際問(wèn)題的解決（列方程、寫(xiě)出答案）。在這個(gè)過(guò)程中，列方程起著承前啟后的作用。因此， 列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。二常用的相等關(guān)系1 1 行程問(wèn)題（勻速運(yùn)動(dòng)）基本關(guān)系： s=vts=vt 相遇問(wèn)題 （同時(shí)出發(fā) ）：+ + = =追

9、及問(wèn)題（同時(shí)出發(fā)）：若甲出發(fā) t t 小時(shí)后，乙才出發(fā)，而后在 B B 處追上甲，則 水中航行： ; ;2 2.配料問(wèn)題：溶質(zhì)= =溶液 濃度溶液= =溶質(zhì)+ +溶劑3 3 .增長(zhǎng)率問(wèn)題：4.4.工程問(wèn)題：基本關(guān)系：工作量 = =工作效率XX作時(shí)間（常把工作量看著單位“1 1）。5.5. 幾何問(wèn)題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。 解析式的互化三注意語(yǔ)言與8.二元一次方程組練習(xí)題一、選擇題:F 列方程中，是二元一次方程的是（F 列方程組中，是二元一次方程組的是（元一次方程 5a 11b=21()方程組4x一3八k的解與 x 與 y 的值相等，則（2x +3y =5

10、、填空題A.xy=246B. xy=246C.xD. xy=2y =x-22x二y 2y =2x 22y = x 2xy+2xy=7 ； 4x+1=x y;-1一 +y=5 ;x x=y ； x2 y2=2 6x 2yx+y+z=1y (y1)=2y2 y2+xA. 1B. 2C. 3D. 4F 列各式，屬于二元一次方程的個(gè)數(shù)有)y 比女生人數(shù) x 的 2 倍少 2 人，？則下面所A. 3x 2y=4zB. 6xy+9=0C.+4y=6xD. 4x=g4x+y=42a-3b =11B.5b - 4c =6C.x y = 8D*y = 4A.有且只有一解B .有無(wú)數(shù)解C.無(wú)解D.有且只有兩解方程

11、 y=1 x 與 3x+2y=5 的公共解是x =3x = -3x = 3B.C.y =2y =4y = -2D.x3y2若丨 x2 | +A. 1B. 2C. 3D.k 等于（）)A.（3y+2 ）2=0，則的值是（）某年級(jí)學(xué)生共有 246 人，其中男生人數(shù) 列的方程組中符合題意的有（）9 .已知方程 2x+3y 4=0，用含 x 的代數(shù)式表示 y 為：y=_ 用含 y 的代數(shù)式表示x 為：x=_ .一110 .在二兀一次方程x+3y=2 中，當(dāng) x=4 時(shí)，y=_ 當(dāng) y= 1 時(shí)，x=_ .211 .若 x3m3 2yn1=5 是二元一次方程，則 m=_, n=_ _x = -212 .

12、已知是方程 x ky=1 的解，那么 k=_ _ly=313 .已知 |x 1 | + (2y+1 )2=0，且 2x ky=4，貝 V k=_14 .二元一次方程 x+y=5 的正整數(shù)解有 _ .x =515 .以 為解的一個(gè)二兀一次方程是 _.$ = 716 .已知x2是方程組mx y3的解，貝口=_ n=_.y = -1x _ ny = 6三、解答題17 .當(dāng) y= 3 時(shí)，二元一次方程 3x+5y= 3 和 3y 2ax=a+2 (關(guān)于 x, y 的方程)？有 相同的解，求 a 的值.18 .如果(a 2) x+ ( b+1) y=13 是關(guān)于 x, y 的二元一次方程，則 a, b

13、滿足什么條 件？19 二元一次方程組4X 37的解 x, y 的值相等，求 k.kx+(k1)y=320 .已知 x, y 是有理數(shù)，且(|x | 1 )2+ (2y+1 )2=0，則 x y 的值是多少?121 .已知方程x+3y=5，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)二兀一次方程，？使它與已知方程所組成的方2(x二4程組的解為姑122 根據(jù)題意列出方程組:(1)明明到郵局買 0.8 元與 2 元的郵票共 13 枚，共花去 20 元錢，？問(wèn)明明兩種郵 票各買了多少枚？(2)將若干只雞放入若干籠中，若每個(gè)籠中放 4 只，則有一雞無(wú)籠可放；？若每 籠里放5 只，則有一籠無(wú)雞可放，問(wèn)有多少只雞，多少個(gè)籠？X亠v = 2

14、523 .方程組的解是否滿足 2X v=8 ?滿足 2X v=8 的一對(duì)X,y 的值是否是|2x-y=8X+v= 25方程組的解？|2x-y=824 .(開(kāi)放題)是否存在整數(shù) m，使關(guān)于 X 的方程 2X+9=2 ( m 2) X 在整數(shù)范圍內(nèi) 有解，你能找到幾個(gè) m 的值？你能求出相應(yīng)的X的解嗎？答案：一、選擇題1 . D 解析：掌握判斷二元一次方程的三個(gè)必需條件：含有兩個(gè)未知數(shù)；含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是 1;等式兩邊都是整式.2 . A 解析：二元一次方程組的三個(gè)必需條件：含有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)含未知數(shù)的 項(xiàng)次數(shù)為 1 ;每個(gè)方程都是整式方程.3. B 解析：不加限制條件時(shí)，一個(gè)二元一次方程有

15、無(wú)數(shù)個(gè)解.4 . C 解析：用排除法，逐個(gè)代入驗(yàn)證.5 . C 解析：利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì).6 . B7.C 解析：根據(jù)二元一次方程的定義來(lái)判定，？含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)不超過(guò) 1 次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程.8 B二、填空題4-3y4解析：令 3m 3=1 , n 1=1，二 m= , n=2 .31 解析：把x= 2,代入方程 x ky=1 中，得一 2 3k=1，二 k= 1 .ly=34 解析：由已知得 x 1=0 , 2y+1=0 ,11代入方程 2x ky=4 中，2+ k=4，二 k=1 . 2解析：Tx+y=5 , y=5 x，又Tx, y 均為正整

16、數(shù),此題答案不唯一.代入方程組mx一y=3中進(jìn)行求解. 一ny = 6三、解答題17 .解：Ty= 3 時(shí)，3x+5y= 3，二 3x+5x( 3) = 3，二 x=4 ,12.13.x =11，把2二 x=1 , y=14 .解：)7=4x = 2y=3 y=2 y =1x =3 x 為小于 5 的正整數(shù).當(dāng) x=1時(shí)，y=4 ;當(dāng) x=2 時(shí)，y=3 ;當(dāng) x=3,y=2 ;當(dāng) x=4 時(shí)，y=1 ./ x+y=5x=1的正整數(shù)解為y = 415. x+y=12解析：以 x 與 y 的數(shù)量關(guān)系組建方程，如2x+y=17，2x y=3 等,16. 14 解析：將X=2ly = T方程 3x+

17、5y=? ?3?和 3x- 2ax=a+2 有相同的解,3x( 3) 2ax4=a+2,a=918 .解：( a 2) x+ (b+1 ) y=13 是關(guān)于 x, y 的二元一次方程，a2 工 0,b+1 工 0,? aM2,bM 1解析：此題中，若要滿足含有兩個(gè)未知數(shù)，需使未知數(shù)的系數(shù)不為0.(?若系數(shù)為 0,則該項(xiàng)就是 0)19 .解：由題意可知 x=y , 4x+3y=7 可化為 4x+3x=7 , x=1 , y=1 .將 x=1 , y=?1?代入 kx+ (k 1) y=3 中得 k+k 仁 3 , k=2 解析：由兩個(gè)未知數(shù)的特殊關(guān)系，可將一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式代替，化“二元”為“一元”，從而求得兩未知數(shù)的值.20 .解：由(|x | 1)2+ (2y+1 )2=0，可得 |x | 仁 0 且 2y+1=0 , x= 1 , y=2.1當(dāng) x=1 , y=時(shí),21當(dāng) x= 1 , y=時(shí),2解析：任何有理數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，且題中兩非負(fù)數(shù)之和為0,21 .解：經(jīng)驗(yàn)算x一4是方程1x+3y=5 的解，再寫(xiě)一個(gè)方程，如 x y=3 . ly222.( 1 )解：設(shè) 0.8 元的郵票買了 x 枚,2 元的郵票買了 y 枚，根據(jù)題意得 *13Q.8x + 2y = 20(2)解：設(shè)有 x 只雞，y 個(gè)籠，根據(jù)題意得4y 1x、5(y