2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題浙江卷含答案精

1、2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(浙江卷)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部分 3至4頁。滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。考生注意：1 .答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題紙規(guī)定14的位置上。2 .答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求, 作答一律無效。參考公式：若事件 A, B互斥，則 P(A+B) =P(A)+P(B) 若事件A, B相互獨(dú)立,則 P(AB) =P(A)P(B) 若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生 k次的概率R(k)=cnpk(1p)

2、nk =0,1,2,|,n)* 1'臺(tái)體的體積公式 V =-(S - S1S2 S2)h3其中S,S2分別表示臺(tái)體的上、下底面積，h表示臺(tái)體的高在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的柱體的體積公式V = Sh其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高錐體的體積公式V=1Sh3其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高球的表面積公式2S =4 二 R球的體積公式43V R3其中R表示球的半徑選擇題部分(共40分)、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 .已知全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, A=1 , 3,則

3、69;A=A. 0B. 1 , 322 .雙曲線y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 3A.(-板,0),(夜，0)C. (0,-夜)，(0,曲C. 2, 4, 5D. 1 , 2, 3, 4, 5B. (-2, 0) , (2 , 0)D. (0 , -2) ,(0,2)3.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 84.復(fù)數(shù)2（i為虛數(shù)單位）的共軻復(fù)數(shù)是1 -iA. 1+iB. 1-iC -1+iD. -16.已知平面 a ,直線mj n滿足 mz a , nu a ,則"m/ n"是"m/ a ”的A.充分不必要

4、條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7 .設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量E的分布列是012P1 -p12_P2則當(dāng)p在(0, 1)內(nèi)增大時(shí)，A. D ( E )減小B. D ( E )增大C. D ( E )先減小后增大D. D ( E )先增大后減小8 .已知四棱錐 S-ABCD勺底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè) SE與BC所成的角為0 1, SE與平面ABC所成的角為02,二面角SABC的平面角為0 3,則A. 0 100 3B. 0 3 00 1C. 0 1 0 3 0 2D. 0 2& 0 3 0 19 .已知a, b

5、, e是平面向量，e是單位向量.若非零向量 a與e的夾角為,向量b滿足b2-4e b+3=0,3則| a- b|的最小值是A.3-1B. 3+1C. 2D. 2- . 310 .已知 a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列，且 a +a? +a? +a4=ln(a1 +a2 +aa).若 a >1 ,則A.國(guó) :二a3,a2 :二aB. a1 a3,a2 :二 a4C. a1 :二a3,a2a4D. a1a3,a2a4非選擇題部分(共 110分)二、填空題：本大題共 7小題，多空題每題 6分，單空題每題 4分，共36分。11 .我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞

6、母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾彳si? ”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為x, y, z,x y z =100,貝U41 當(dāng) z =81 時(shí)， x =, y =.5x 3y z =100,3x -y -0,12 .若x,y滿足約束條件2x+y <6,則z =x+3y的最小值是 ,最大值是 .x y -2,13 .在 ABCK角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=", b=2,A=60°,則 sinB=,c=.14 .二項(xiàng)式(改+工)8的展開式的常數(shù)項(xiàng)是.2xlx -4,x 一，15 .已知ICR,函數(shù)f(x)= 2 2，當(dāng)入=2時(shí)

7、，不等式f ( x)<0的解集是.若函數(shù)lx2 - 4x 3,x :：'f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則 入的取值范圍是 .16 .從1, 3, 5, 7, 9中任取2個(gè)數(shù)字，從0, 2, 4, 6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成 個(gè)沒 有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)時(shí)，點(diǎn)B橫坐17 .已知點(diǎn)P(0, 1),橢圓：x_+y2=mm>1)上兩點(diǎn)A, B滿足靠=2下B,則當(dāng)m=4標(biāo)的絕對(duì)值最大.三、解答題：本大題共 5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18 .(本題滿分14分)已知角 a的頂點(diǎn)與原點(diǎn) O重合，始邊與 X軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P-4)(I )

8、求sin ( a +兀)的值;(n )若角 3滿足sin ( a + 3 )=,求cos 3的值.1319 .(本題滿分15分)如圖，已知多面體 ABC/BC, AA, BB, CC均垂直于平面 ABC /ABG120。，AiA=4,CC=1, AB=BC=BB=2.A(I)證明：AB,平面ABC;(n)求直線 AG與平面ABB所成的角的正弦值.20 .(本題滿分15分)已知等比數(shù)列an的公比q>1,且a3+a4+a5=28, a4+2是a3, a5的等差中項(xiàng).數(shù)列bn滿足b1 = 1 ,數(shù)列 (bn+1-bn) Hn的前n項(xiàng)和為2+5(I)求q的值；(n)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.21 .

9、(本題滿分15分)如圖，已知點(diǎn) P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線 C： y2=4x上存在不同的兩點(diǎn) A, B滿足PA PB的中點(diǎn)均在C上.(I )設(shè)AB中點(diǎn)為M證明：PM帆直于y軸；2(n)若P是半橢圓x2+_y_=i(x<0)上的動(dòng)點(diǎn)，求 PAB0積的取值范圍.422 .(本題滿分15分)已知函數(shù)f (x)= xx - ln x.(I)若 f(x)在 x=xi, x2(xi wx2)處導(dǎo)數(shù)相等,證明：f (xi)+f (x2)>8-8ln2 ;(n)若a<3-4ln2 ,證明：又行1任意 k>0,直線y=kx+a與曲線y=f (x)有唯一公共點(diǎn).、選擇題：本題考查

10、基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題參考答案4分，滿分40分。1.C2.B3.C4.B5.D6.A二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。多空題每題7.D8.D9.A10.B6分，單空題每題 4分,滿分36分。11.8 ; 1112.-2; 813.且37 ，14.717.515. (1,4)；(1 ,3 |J(4,二)16.1260三、解答題：本大題共 5小題，共74分。18 .本題主要考查三角函數(shù)及其恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。344(I)由角 支的終邊過點(diǎn) p( ,)得sins , 555 4所以 sin(« + © = -sin a =.343(n)

11、由角 豆的終邊過點(diǎn) P(一一，一一)得cosot =-一，555.5-12由 sin(a + B)=不得 cos(a + B) = ±.由 P =(ot + P) _o(得 cos P =cos(ot + P )cosa +sin(a +P )sin a ,所以 cos - - -56或 cos -. 656519 .本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。滿分15分。方法一:(I)由 AB =2,AA =4,BBi =2,AA _L AB,BB _L AB 得 AB = AB1 =2行，222所以 A1B1ABi = A

12、A .故 AB1 AB.由 BC =2, BBi =2,Cg =1,BBi 1BC,CCi± BC 得 B1cl =75,由 AB =BC =2,/ABC =120 口得 AC =2卮由 CCi 1 AC ,得 AC1 =而，所以 AB2 + B1C12 = AC；,故 ABi _L BCi .因此ABi _L平面AB1C1 .(n )如圖，過點(diǎn)Ci作CiD _L ABi ,交直線ABi于點(diǎn)D ,連結(jié)AD.3B由ABi _L平面ABiCi得平面ABiCi _L平面ABBi ,由 CiD _L ABi 得 CiD _L 平面 ABBi,所以ZCiAD是ACi與平面ABBi所成的角.由

13、BCi =75, AB1 =2拒,蛆1=72?得cos/CiAB =6，sin/GABi = J所以 CiD =73 ,故 sin NCiAD =CiD . 39ACi i3因此，直線ACi與平面ABBi所成的角的正弦值是 逅i3方法二:(I)如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線 OB OC為x,y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:A(0, -V3,0), B(i,0,0), A (0, m,4), B (i,0,2), Ci(0,m,i),uuu _uuu_uuu_因此 ABi =(1,、.3,2), AB =(1,、,3,.2),ACi =(0,2 .3,

14、-3),uuu uuu由 AB1ABi =0 得 ABi _L ABi.uuu uuu由 AB1 AC1 =0得 ABi I ACi.所以ABi，平面ABiG.(n)設(shè)直線 ACi與平面ABBi所成的角為9.uuur _ uuu _ uuur由(l)可知 ACi =(0,2、.3,i),AB =(1，3,0), BB =(0,0,2),設(shè)平面ABBi的法向量n =(x, y,z).uuun AB = 0,由u uuu 即n BBi =0,J_x , 3 y = 0,2z =0,可取 n (_,3,i,0).uuur一 . uuul . IAC nl所以 sin 二-|cos:. ACi, n

15、.： | = uum|ACi|n|. 39i3因此，直線ACi與平面ABBi所成的角的正弦值是. 39i320 .本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力。滿分i5分。(I)由a4+2是a3, a5的等差中項(xiàng)得23+25=224+4,所以 a3 +a4 +a5 = 3a4 + 4 = 28 ,解得a4 =8.一 i、 一由 a3+a5 =20得 8(q+) =20 , q因?yàn)閝 >i ,所以q =2.(n )設(shè)cn =(bn書-bn)an ,數(shù)列cn前n項(xiàng)和為Sn.由Cn =Si, n =i, Sn -Sn.解得 Cn =4n _1. n -

16、2.由（I）可知an =2n所以bn書bn=(4n1)(2廠,，1故bn bn'=(4n5) (一)T,n 之2,2bn- bl- (bn- bn 1)(bn J_ bn _2 )I H(b3-b2)(b2-bl )= (4n -5) (1)n2 (4門-9)(。)心 | 7 1 3. 222一111 設(shè) Tn =3 +7 - +11 (-)2+| + (4n -5) <-)n,n>2 , 2221111-Tn =3 - 7 (-)2 川 (4n-9)(-)2222所以 1Tn =3 4 1 4 (1)2 川 4 (22221 n 2因此 Tn =14 (4n +3)，(一

17、) ,n >2, 2n .21 n(4n -5)(二)2廠_(4n5)夕,又 1bl =1 ,所以 bn =15(4n +3)(占內(nèi)221 .本題主要考查橢圓、拋物線的幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力。滿分 15分。(I)設(shè) P(xo,y。)，A(1 y12,y1),412、B(4y2，y2)-因?yàn)镻A,PB的中點(diǎn)在拋物線上，所以 y1，y2為方程(V yo '21 2 十22一 4 v %即y2 2yoy+8xo y0 =0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.一 42所以 yi + y2 = 2 yo.因此,pm垂直于y軸.-Lyi . y2 =

18、2yo,(n)由(i)可知2)42 =8x° - yo,所以1PM 尸孤2 +信-x0 4y2 -3x0，|yi 72 Lio) .因此,噸的面積& pabPMU尸哈yo-x/2因?yàn)?x2 + 血=1(x0 <0),所以 y2 -4xo =-4xo -4xo +4= 4,5. 4因此，zPAB面積的取值范圍是6J2,里10. 41522.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力。滿分分。(I )函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)=由 f (xi) =f (x2)得111因?yàn)椤巴粒晕?反=2.1 一 由基本不等式得 2，為*2 =

19、8 十席之23為中 .因?yàn)?x1 #x2 ,所以 xx2 >256 .由題意得f(x1) f(x2).x1 -Jn x1 -Jx2 -Jn x2Jxx2 ln(x1x2).1 設(shè) g(x) - x ln x ,1則 g (x) =一 (Jx4),4x所以x(0, 16)16(16, +00)g(x)-0+g(x)2-4ln2z所以g (x)在256, +8)上單調(diào)遞增,故 g(x1x2) >g(256) =8 8ln 2 ,即 f (x) +f(%) >8 8ln 2.(n)令 m=e-()a|dk) , n=(JaL!)2+1,則kf (mj) - kmi- a>|

20、a|+ k - k - a>0,1 a|a | 1f (n) - kn - a<n( -k) < n(p k) <0,.n n. n所以，存在 xoC (rq n)使 f (x。)=kxo+a,所以，對(duì)于任意的 aCR及ke (0, +00),直線y=kx+a與曲線y=f (x)有公共點(diǎn).由 f (x) =kx+a 得 k ="x -1n xa .x設(shè) h (x) = xx 1n x -a ,xIn x -x -1 a貝U h(x) =2g(x) -1 +a ,2 二2xx其中 g (x) = 1n x .2由(I)可知 g(x)>g(16),又aw3 41n2 ,故-g (x) - 1+a< - g (16) - 1+a= - 3+41n2+ a< 0,所以h' (x) <0,即函數(shù)h (x)在(0, +00)上單調(diào)遞減，因此方程f (x) - kx-a=0至多1個(gè)實(shí)根.綜上，當(dāng)a< 3 - 41n2