一元二次方程求根公式

1、實用文檔一、一周知識概述1、一元二次方程的求根公式將一元二次方程 ax2 + bx + c=0(a #0)進行配方，當 b24ac>0_ -btb2 -4ac時的根為 2盤 .該式稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程 的方法稱為求根公式法，簡稱公式法.說明：(1) 一元二次方程的公式的推導過程，就是用配方法解一 般形式的一元二次方程 ax2+bx + c=0(a #0);(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系數(shù)a、b、c的值決定的；(3)應用求根公式可解任何一個有解的一元二次方程，但應用時 必須先將其化為一般形式.2、一元二次方程的根的判別式一士擊2-4-. 2.、

2、一一， 國1(1)當b24ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 2荏 ；b22(2)當b24ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)當b24ac<0時，方程沒有實數(shù)根.二、重難點知識1、對于一元二次方程的各種解法是重點， 難點是對各種方法的選擇，突破這一難點的關鍵是在對四種方法都會使用的基礎上，熟悉各種方紙類型的題目法的優(yōu)缺點。(1) “開平方法” 一般解形如如果用“公式法”就顯得多余的了 C(2) “因式分解法”是一種常用的方法，一般是首先考慮的方法。(3) “配方法”是一種非常重要的方法，一般不使用，但若能恰 當?shù)厥褂?，往往能起到簡化作用，思考于“因式分解法”之后，“?式法

3、”之前。如方程?-6x = 6391 ;用因式分解，則6391這個數(shù)太大， 不易分解；用公式法，也太繁；若配方，則方程化為 。-剪=姆，就 易解，若一次項系數(shù)中有偶因數(shù)，一般也應考慮運用。(4) “公式法”是一般方法，只要明確了二次項系數(shù)、一次項系 數(shù)及常數(shù)項，若方程有實根，就一定可以用求根公式求出根，但因為-Aac要代入 一£ (獷-4訛A0)求值，所以對某些特殊方程，解法又 顯得復雜了。2、在運用b2 4ac的符號判斷方程的根的情況時，應注意以下三點：(1) b24ac是一元二次方程的判別式，即只有確認方程為一元二次方程時，才能確定 a、b、c,求出b24ac;(2)在運用上述結

4、論時，必須先將方程化為一般形式，以便確認 a、b、c;(3)根的判別式是指b24ac,而不是 麻-薪三、典型例題講解例1、解下列方程： /-4&+四=口 ；“2= 2折；二分析：用求根公式法解一元二次方程的關鍵是找出a、b、c的值，再代入公式計算，解：(1)因為 a=1,占=-4心，c=io -4函=(-4班)2 - 4x1x1 0=48-40 = 8>0所以 2x12 中 、 所以-1 -、:(2)原方程可化為尸- 2勿+ 2 = 0因為 a=1, b = -2& , c=2J2-4=(-27)2-4xlx2 = 0所以口、廠近所以忙"口.(3)原方程可化為7

5、-247=0因為 a=1, b =-2#, c= - 1所以-4就= (-24)2-4xlx(-l)=l?生擔口內(nèi)a所以 22飛；所以V詆+ &2 = ga.總結：(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如 果二次項系數(shù)為負數(shù)，通常將其化為正數(shù)；如果方程的系數(shù)含有分母, 通常先將其化為整數(shù)，求出的根要化為最簡形式；(2)用求根公式法解方程按步驟進行.例2、用適當方法解下列方程:3) 1-2后工-1二05) /+2(1 +物工+2招=07) (41+1)。一1"(3工7)。一1)分析：要合理地選用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?就必須熟悉各種方法 的優(yōu)缺點，處理好特

6、殊方法和一般方法的關系。就直接開平方法、配 方法、公式法、因式分解法這四種方法而言，配方法、公式法是一般 方法，而開平方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明確了二次項系數(shù)、一次項系 數(shù)和常數(shù)項，若方程有實根，就一定可以用求根公式求出根，但因為-力士揚-4ac要代入一元二次方程的求根公式元 求值，所以對某些方程，解法又顯得復雜了。如，可以直接開平方，就能馬上得出解； 若此時還用求根公式就顯得繁瑣了。配方法是一種非常重要的方法，在解一元二次方程時，一般 不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到簡便的作用。若方程中的一次項系數(shù)有因數(shù)是偶數(shù)，則可使用，計算量也不大。如，因

7、為224比較大，分解時較繁，此題中一次項系數(shù)是 -2?？梢岳?用用配方法來解，經(jīng)過配方之后得到2x+l= 224+1 =。獷= 225 , 顯得很簡單。 直接開平方法一般解符合=。)型的方程，如第小題。因式分解法是一種常用的方法，它的特點是解法簡單，故它 是解題中首先考慮的方法，若一元二次方程的一般式的左邊不能分解 為整數(shù)系數(shù)因式或系數(shù)較大難以分解時，應考慮變換方法。貨=4兩邊開平方，得"3二州所以- 一2) x2-2i=224配方，得12二一(I尸=225 所以.一所以：1": "/- 2后二。?-2=1|配方，得 - '6折二6所以-1-所以看二出+小

8、旃工出一后 5：；.因為a=5 力=-2 r = -所以/-4就=(-2)2-4x(-1)x5 =4+20=242±2 1士#工= =所以 一-1 -h/61 - X工1二=所以1535 /+2(1+由1+21=0/+2(1+廝78配方：，一. 一一 -一工+（1+呵= 4所以一1-,所以二1一 1 一 , - 二二一-二一（3-。*=9整理，得1二I1-3） = 0所以；-甌否支遒通引移項，提公因式，得'二】，二二 - -d 11（工-。+2）=。所以-二一二小結：以上各題請同學們用其他方法做一做，再比較各種方法的優(yōu)缺 點，體會如何選用合適的方法，下面給出常規(guī)思考方法，僅作

9、參考,符合加廣=福（q。0）：直接開平方法，如 一個一元二次方程，各項有公因式，或可直接因式分解，因式分解法，如化為一般形式后1j首先要考慮因式分解法，如若常數(shù)項分解較煩，且一次項系數(shù)有因數(shù)是偶數(shù),可考慮使用配方法.如最后使用公式法，如例3、已知關于x的方程ax2 3x+1=0有實根，求a的取值范圍.rnn解：當a=0時，原方程有實根為X = 3ft t （一3）-4白»0即白一吐若a?0時，當4 原方程有兩個實根.故，綜上所述a的取值范圍是3<4.小結：此題要分方程 ax2 3x+ 1=0為一元一次方程和一元二次方程時討論，即分當a=O-W a#0兩種情況.例4、已知一元二次

10、方程x24x + k=0有兩個不相等的實數(shù)根.（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x2-4x+k=0與x2+mx- 1=0W一個相同的根，求此時 m的值.解：（1）因為方程x24x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，所以 b24ac=16 4k>0,得 k<4.(2)滿足k<4的最大整數(shù)，即k=3.此時方程為x2 4x + 3=0,解得Xi=1, X2=3.當相同的根為x=1時，則1 + m-1=0,得m=0即？二,當相同的根為x=3時，則9+3m- 1=0,得 3_8所以m的值為0或一)例5、設m為自然數(shù)，且3Vm<40方程了- 2(2用-+4/-14洶+8=0有 兩個整數(shù)根求m的值及方程的根。解：/_2(2加-加+4/-14加+8 = 0,A - 4(2加 - 3)' (4班'- 14期+= 4(加+1)| .方程有整數(shù)根，4 (2m+ 1)是完全平方數(shù)。/3<m<40/.7<2m 1<812m 1 值可以為 9, 25, 49.m的值可以為4, 12,