變量代換在求極限中的應(yīng)用

1、變量代換在求極限中的應(yīng)用1引言數(shù)學(xué)分析的理論與方法越來(lái)越被廣泛地用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事和科學(xué)技術(shù)等領(lǐng)域.極限尤其是 函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容.求極限的方法是微積分學(xué)中的基本方法，它是人們從有限 認(rèn)識(shí)無(wú)限、從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確、從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).求出已知 數(shù)列或函數(shù)的極限是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析必須掌握的基本技能，掌握了極限的求法就為學(xué)好數(shù)學(xué)分析打下 了扎實(shí)的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)分析中講了多種求極限的方法，在眾多的求極限方法中變量代換法在解決那些 復(fù)雜、繁瑣的極限問(wèn)題時(shí)顯得尤為重要.而現(xiàn)在的教材、參考書(shū)雖然對(duì)此有所涉及，但其介紹的不 夠詳細(xì)，也有些零散，不太系統(tǒng)，不便于初學(xué)者的學(xué)

2、習(xí)和掌握.鑒于此，現(xiàn)對(duì)變量代換法求極限作 進(jìn)一步的探討，并進(jìn)行歸納總結(jié)，使其更系統(tǒng)，更便于了解和掌握.2變量代換在求極限中的應(yīng)用2. 1 "變量代換法”在數(shù)列極限計(jì)算中的應(yīng)用例11 (P46 47)設(shè) an 為 Fibonacci 數(shù)列，即:a 二1 ， a2 =1,an 2an 1 an(n=12,)記xnan 1an,求 lim xn.n由已知條件知an 2an 1為，即xn an 11,、作變換xnyn1-,此即yn 1 xn11 yn且y11 a11.x1a2故limnyn0.618 limnxnlimnynlimnyn1.618例21(P47)證明數(shù)列收斂，并求其極限解從數(shù)

3、列特征可以看出，相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系是xn1xn 12(1)1因此，設(shè)Xn收斂，則極限A滿足方程考慮到xn0 ,所以A作變換xnA1 .2(2)將（2）代入（1）得至此我們已將滿足由（3）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,(1. 2) n(3 )的序列xnA的問(wèn)題化為滿足的序列 n 0的問(wèn)題.實(shí)際上12易證15lim xn lim(1 2 n)nn說(shuō)明 遞推形式的序列，可以進(jìn)行變量代換與變形，使變成已知極限或易于計(jì)算的極限.2. 2 “變量替換法”在一元函數(shù)極限計(jì)算中的應(yīng)用定理2（P83）（復(fù)合函數(shù)極限）設(shè)復(fù)合函數(shù)fg（x）,若1) lim g(x) b ,x a2) x o(a),有 u g(x)o(b),3) l

4、im f (u) A,則 lim fu b-A.證明由條件（3）0,u b ，有 f(u) A由條件（1）,對(duì)上述x:0，有 g x b再由條件（2）x:0從而，即 lim f g x A.n說(shuō)明該定理是求極限進(jìn)行換元的理論根據(jù).為了將未知的極限化簡(jiǎn)或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來(lái)的極限過(guò)程轉(zhuǎn)化為新的極限過(guò)程例 32 P(1415)若 lim Xna , lim ynb ,試證nnlimnXUnX2yn 1證明作變換Xn a時(shí)，nn 0,于XynX2yn 1Xn yia 1 b n a 2 b n 1顯然，nab a 1時(shí)第二、三項(xiàng)趨于零.現(xiàn)證第四

5、項(xiàng)極限為零.事實(shí)上，因 n0(當(dāng)n時(shí)）故an有界.M 0,使得從而（i）式以ab為極限.說(shuō)明M nN50,本例的變量具一般性， 常常用這種變換可將一般情況歸結(jié)為特殊情況,如本例原來(lái)是已知limnXna , lim yn b ,求證 lim ynnnXnyiab .變換后，歸結(jié)為已知lim n 0 ,nlimn0,求證limnn10.求limX 0分析此極限式看上去形式復(fù)雜，需要進(jìn)行化簡(jiǎn)處理，將函數(shù)中的一個(gè)單元（子函數(shù)ex）作為個(gè)整體進(jìn)行變量替換 eX該極限就變成一個(gè)容易求解的等價(jià)極限形式，從而使問(wèn)題迎刃而解解令eX1,，且當(dāng)X u0時(shí)，u.所以原式 limulimu2u2u求典Xa2x分析 該

6、極限式看起來(lái)形式簡(jiǎn)單，但卻沒(méi)有直接可利用的公式套用，需要進(jìn)行變量替換.令ax 3 u ,可轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式的函數(shù)極限，然后利用第二個(gè)重要極限的結(jié)果計(jì)算.x、2 4例6 求極限lim 1 x 5 3x科人 252解令a , x 一 一, xie65 3x3 3a51原式 lim 1 a i2拓 a 03 x i例7求極限lim *x Lx 2 x 1解令 t x6,則 3/x t2, Vxt3, x2時(shí)，t64.原式116541612) 3 "變量代換法”在二元函數(shù)極限計(jì)算中的應(yīng)用定理（復(fù)合函數(shù)極限）設(shè)有復(fù)合函數(shù)f g x, y1) lim g P bP Polim f (u) A u

7、b2) P Uo Po；有 u g P Uo b3) lim f u A ,則 lim f g(P) u bP F0證明由條件3）即0, o 0,使得當(dāng)u Uo b; 0時(shí)，都有f u A由條件1）即對(duì)上述 0 0,0，使得當(dāng)p Uo P0;時(shí)，都有g(shù) P再由條件2) 0 g P b u b 0,于是000,從而 0, p：0PPo，有(g Pf u Abub 0,從而f g P A即 lim f g(P) A.p Po例8 求lim (1xy a2x2)x y ,其中 a 0. xy“1，1解因?yàn)?1 ) xy2x2x y(12x1xy-,(x y)y一)xy,y a時(shí)，作變換令xy t,相

8、應(yīng)有t則 lim (1xy a1 _1)xy xy1 . tim(1 -)te所以例9求lim因?yàn)閑xy 12x所以limexy2xlim(1x y aexy 12x,yexy 12xy2x21 _1)x yxylim(1xy ax eylim ln(12x1 ) xy (x y)yxylim ex y a1 xv 2x ln(1 )xyxy (x y)ya時(shí),0.作變換xy1 _)xy xy2x limx (x y)yy at,相應(yīng)有texyy ,又因?yàn)?lim a 2xy一 21 lim xFyay 一、xt.e lim t 2t21-e a2eK上述兩例說(shuō)明，當(dāng)x,y a(a 0常數(shù))時(shí)

9、，二元函數(shù)f (x, y)的極限，作代換xy t(t ),利用已知一元函數(shù)的極限公式來(lái)求使計(jì)算簡(jiǎn)便可行.例 10 求 lim (x2 y2)e 2x yxy解因?yàn)?x2 y2)e 2(x y)(x y)22(x y)e,y 時(shí),作變換x y t ,相應(yīng)有t ,則limx y(x y)22(x y)elimtt22te0, lim 2xyx2xee2y2 limxy2xelimx yye2y所以 lim (x2 y2)e2(xy)0.xy此例說(shuō)明，當(dāng)x ,y時(shí)，二元函數(shù)f(x, y)的極限作代換x y t(t用已知一元函數(shù)的公式來(lái)求.y2 t綜上所述，根據(jù)函數(shù)f(x, y)的特殊類型，利用兩個(gè)變

10、量x, y的和x y t ,平方和x2 及乘積xy t等作代換，把所求極限問(wèn)題整體或部分轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極限的問(wèn)題.例11 求 limx,y 0,02 22x y解法因?yàn)楫?dāng)2x22x yJ2|y由極限的定義，得limx,y0,0解法二作變換當(dāng)x, y 0,0時(shí)，有因?yàn)?cos2 sin22x22 xx, y2 22x y0,02x2時(shí),2x0,取2 22x y0.r cosr sin代表x, y到0,0的距離),2 02x2-2- x2y2 ylimx,y 0,0c 42r cos2. 2, sin2 r-22. 22r cos sin ，22x ylim 2r2r 02.2cos sin0.

11、此例說(shuō)明用極坐標(biāo)代換求極限比用定義求極限簡(jiǎn)單.對(duì)函數(shù)的自變量作極坐標(biāo)變換x r cos , y r sin這時(shí)x, y0,0就等價(jià)于r 0 ,極限值與極角無(wú)關(guān).例12 求limx,y 0,02x32 x3y2 y解法一 1) 令y則limx 0 y kxkx32 kx2x 1 k3lim 1 k0 ,其值與k無(wú)關(guān).x 0 1 k2）因?yàn)? x33y2 y2 x3所以只要取，且limx,y 0,00.此解法用變量代換kx求極限其結(jié)果與A ,人 x解法二令 yr cosr sin當(dāng)x, y0,0因?yàn)閏os_ 3 sin所以 lim2(x23y23)(x,y) (0,0) x2y23 cos_ 3

12、sin3lim 2r(cosr 02x1 ly2y 1max2x,2y ,x, yk無(wú)關(guān),時(shí)，有rsin3 )0,0時(shí)2y,|y2 x3但還需用極限定義加以驗(yàn)證由以上例題可以看出，選擇恰當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，在求解二元函數(shù)極限時(shí)顯得十分重要.例13求 lim(x,y) (0,0)3( x2y2) y2 1 人 x r cos解令y r sin(x, y)（0,0）時(shí)，有r 0 ,則lim (x,y)(（0,0）1422、3(x y )x2limr 03r2limr 02 1 1)lim 3( , r2 1 1) 6r 0lim(x,y) (0,0)x作變換ln(2y2)rcos 、，當(dāng)（x, y）y

13、r sin(0,0)時(shí),有 rlim(x,y) (0,0)_22ln(2 x y )22x ylimr 0_2ln(2 r )2r洛比阿2r2 r22r例 15 求 lim (x2(x,y) (0,0)2 2xyy )解因?yàn)?x2 y2)2xy(x2 y2)ln(x2 y2)_ . , 2 2、_e2xy叭x y) 0 2xyln(x2y2)(x, y)(0,0)時(shí)，有r cos r,當(dāng)r sinlim(x2(x,y) (0,0)y2)ln(x22)limI 2 ln r2-ry2)0，2lim 2xyln(x(x,y) (0,0)因此(“叫,戶22 xyy)2y例16求lim x y作變換,

14、y時(shí),0,v0(uv 0)則limx y2y2xlim(u,v) (0,0)2v 1/1 2(u )/1 2(V )lim(u,v) (0,0)2u2v由人u 再令vr cosr sin(u,v)(0,0)時(shí),相應(yīng)有(u,v)lim(0,0)2u2v2u v32.2r cos sin2r22r cossin 0 (2cos sin1)說(shuō)明由以上幾個(gè)例題可以看出當(dāng)x r cos , y r sin ,相應(yīng)于 r(x, y) (0,0)時(shí)，二元函數(shù) f (x, y)的極限用極坐標(biāo)變換0，將 f (x, y) f (rcos ,rsin )化成(r)()的形式計(jì)算比較簡(jiǎn)單，通過(guò)變換可化不定式為定式求出極限，也可以將其化為無(wú)窮小量與有界變量的乘積， 然后利用無(wú)窮小量與有界函數(shù)的積仍為無(wú)窮小量求出極限.3總