阿波羅尼斯圓

1、 每周一講高中系列 第七講阿波羅尼斯圓1、 適用題型1、 已知兩個線段長度之比為定值；2、 過某動點向兩定圓作切線，若切線張角相等；3、 向量的定比分點公式結(jié)合角平分線；4、 線段的倍數(shù)轉(zhuǎn)化；2、 基本理論（1） 阿波羅尼斯定理（又稱中線長公式）設(shè)三角形的三邊長分別為，中線長分別為,則：（2） 阿波羅尼斯圓一般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”化簡得：軌跡為圓心的圓（3） 阿波羅尼斯圓的性質(zhì)1、 滿足上面條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比內(nèi)分和外分所得的兩個分點；2、 直線平分，直線平分的外角；3、4、5、 ；6、 若是切線，則與的交點即為；7、

2、 若點做圓的不與重合的弦，則平分；3、 補充說明1、 關(guān)于性質(zhì)1的證明 定理：為兩已知點，分別為線段的定比為的內(nèi)、外分點，則以為直徑的圓上任意點到兩點的距離之比等于常數(shù)。證明：不妨設(shè)由相交弦定理及勾股定理得：從而同時在到兩點距離之比等于的曲線（即圓）上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，因此圓上任意點到兩點距離之比等于常數(shù)。2、 關(guān)于性質(zhì)6的補充 若已知圓及圓外一點，則可作出與點對應(yīng)的點，只要過點作圓兩條切線，切點分別為，連結(jié)與即交于點。反之，可作出與點對應(yīng)的點4、 典型例題例1 （教材例題）已知一曲線是與兩個定點、距離的比為的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。解：設(shè)點是曲線上任意一點，則

3、，整理即得到該曲線的方程為：。例2 （2003北京春季文）設(shè)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值，求P點的軌跡. 解：設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y） 由.化簡得當(dāng)，整理得.當(dāng)a=1時，化簡得x=0.所以當(dāng)時，P點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)a=1時，P點的軌跡為y軸.例3 （2005江蘇高考數(shù)學(xué)）如圖，圓與圓的半徑都是1，過動點P分別作圓.圓的切線PM、PN（M.N分別為切點），使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點P的軌跡方程解：以的中點O為原點，所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則（-2，0），（2，0），由已知，得因為兩圓的半徑均為1，所以設(shè)，則，即，所以所求軌跡方程為（或

4、）例4 （2006四川高考理）已知兩定點、，如果動點P滿足，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（ ）（A） （B） （C） （D）解：B例5 （2008江蘇高考），則的最大值為_.答案：變形：，則的最大值為_.答案：例6 設(shè)點依次在同一直線上，已知點在直線外，滿足，試確定點的幾何位置。解：先作線段關(guān)于2:1的阿氏圓，再作線段關(guān)于3:2的阿氏圓，兩圓交點即為點，同時該點關(guān)于直線的對稱點也為所求。例7 （2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中線長為，則該三角形面積的最大值為_.例8 （2013江蘇高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線設(shè)圓的半徑為，圓心在上（1）若圓心也在直線上，過點作圓的

5、切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍解：（1）聯(lián)立：，得圓心為：C(3，2)設(shè)切線為：，d，得：故所求切線為：（2）設(shè)點M(x，y)，由，知：，化簡得：，即：點M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D又因為點在圓上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切故：1|CD|3，其中解之得：0a例9 圓不等且外離，現(xiàn)有一點，它對于所張的視角與對于所張的視角相等，試確定點的幾何位置答案：做圓的內(nèi)、外公切線，分別交連心線于點，以線段為直徑的圓，就是線段關(guān)于的阿氏圓，該圓上任意一點都符合要求。例10 在軸正半軸上是否存在兩個定點、，使得圓上任意一點到、兩點的距離之比為常數(shù)

6、？如果存在，求出點、坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。解：假設(shè)在軸正半軸上是否存在兩個定點、，使得圓上任意一點到、兩點的距離之比為常數(shù)，設(shè)、，其中。即對滿足的任何實數(shù)對恒成立，整理得：，將代入得：，這個式子對任意恒成立，所以一定有：，因為，所以解得：、。所以，在軸正半軸上是否存在兩個定點、，使得圓上任意一點到、兩點的距離之比為常數(shù)。例11 鐵路線上線段km，工廠到鐵路的距離km?，F(xiàn)要在、之間某一點處，向修一條公路。已知每噸貨物運輸km的鐵路費用與公路費用之比為，為了使原料從供應(yīng)站運到工廠的費用最少，點應(yīng)選在何處？解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，先求到定點、的距離之比為的動點的軌跡方程，即：，整理即得動點的軌跡方程：，令，得（舍去正值）即得點。下面證明此點即為所求點：自點作延長線的垂線，垂足為，在線段上任取點，連接，再作于。設(shè)每噸貨物運輸km的鐵路費用為，則每噸貨物運輸km的公路費用為，如果選址在處，