CHP4快速傅立葉變換PPT課件

1、2021/3/91第二部分 傅立葉變換及其快速算法之第四章快速傅里葉變換趙發(fā)勇 zfy_物電學(xué)院2021/3/92目錄4.1概述4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法4.3頻率抽?。―IF）基2FFT算法4.5分裂基算法4.6線性調(diào)頻Z變換4.7與本章有關(guān)節(jié)MATLAB文件2021/3/93 快速傅里葉變換快速傅里葉變換(FFT)(FFT)是求解離散傅里葉變換是求解離散傅里葉變換(DFT)(DFT)的快速算法。的快速算法。問題的提出問題的提出 直接計算直接計算N N點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT需要的計算量是多少？需要的計算量是多少？ 計算一個計算一個X(k)X(k)需要需要N N次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)乘法和N

2、 N一一1 1次復(fù)數(shù)次復(fù)數(shù)加法。算出全部加法。算出全部N N點(diǎn)點(diǎn)X(k)X(k)共需共需N N2 2次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)乘法和N(NN(N一一1)1)次復(fù)數(shù)加法次復(fù)數(shù)加法. . 總運(yùn)算量近似地正比于總運(yùn)算量近似地正比于N N2 2 。當(dāng)。當(dāng)N N值很大（如值很大（如2-D2-D圖像處理），運(yùn)算量將非常龐大；同時，對于圖像處理），運(yùn)算量將非常龐大；同時，對于實(shí)時性很強(qiáng)的信號處理來說，必將對計算速度有實(shí)時性很強(qiáng)的信號處理來說，必將對計算速度有十分苛刻的要求。為此，需要改進(jìn)對十分苛刻的要求。為此，需要改進(jìn)對DFTDFT的計算方的計算方法，以減少總的運(yùn)算次數(shù)。法，以減少總的運(yùn)算次數(shù)。2021/3/94在

3、正交矩陣中，雖然有在正交矩陣中，雖然有N N2 2個元素，但只有個元素，但只有N N個不同個不同的值，且有些取值特別簡單，主要由于旋轉(zhuǎn)因子具的值，且有些取值特別簡單，主要由于旋轉(zhuǎn)因子具有如下的特點(diǎn)：有如下的特點(diǎn)：對稱性對稱性周期性周期性下面以四點(diǎn)下面以四點(diǎn)DFT為例來說明快速算法的思路。為例來說明快速算法的思路。01.1W 2.1,1NmNWW3.N rrWW24.1NW 25.NrrWW 如何充分利用這些關(guān)系2021/3/95* ( )( )( )( )( )( )( )( )=jjjjjjjjjXxeeeXxXxeeeXxeeeWWWW2221 12 13 14442221 22 23 2

4、4442221 32 33 34441111111100111221331111111111111( )( ) ( )( )xxxx 01232021/3/96( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )= ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) XxXWWxXxXWWxxxxxxxxxWxxxxxxxxW111111011110111221111131130213021302130213交換矩陣第二列和第三列得交換矩陣第二列和第三列得從上面的結(jié)果可以看出從上面的結(jié)果可以看出, ,利用對稱性和周期性，求利用對稱性和周

5、期性，求四點(diǎn)四點(diǎn)DFTDFT只需要一次復(fù)數(shù)乘法，稱為只需要一次復(fù)數(shù)乘法，稱為Coolkey-TukeyCoolkey-Tukey算法。算法。2021/3/9711(0) (0)(2) (1)(3)(1) (0)(2) (1)(3)(2) (0)(2) (1)(3)(3) (0)(2) (1)(3)XxxxxXxxxxWXxxxxXxxxxW11(0)(2)xx(1)(3)xx(0)(1)XX(2)(3)XX111W(0)(2)xx(0)(2)xx(1)(3)xx(1)(3)xx2021/3/98u算法分類：算法分類：N N為為2 2的整次冪的整次冪：按基數(shù)分為基：按基數(shù)分為基-2FFT-2FF

6、T算法、算法、基基-4FFT-4FFT算法、混合基算法、混合基FFTFFT算法、分裂基算法、分裂基FFTFFT算法算法; ;當(dāng)當(dāng)N N不是不是2 2的整次冪的整次冪: :典型的有典型的有Winograd Winograd 算法算法. .按抽取方法分：時間抽取按抽取方法分：時間抽取(Decimation(DecimationininTimeTime，簡稱，簡稱DIT)DIT)；頻率抽??；頻率抽取(Decimation(DecimationininFrequencyFrequency，簡稱，簡稱DIF)DIF) 2021/3/99 為了將大點(diǎn)數(shù)的為了將大點(diǎn)數(shù)的DFT DFT 分解為小點(diǎn)數(shù)的分解為小

7、點(diǎn)數(shù)的DFTDFT運(yùn)算，要求序列的長度運(yùn)算，要求序列的長度N N為為N N2 2M M (M (M為正為正整數(shù)整數(shù)) )。該情況下的變換稱為基。該情況下的變換稱為基2 FFT2 FFT。 N點(diǎn)DFTN/2點(diǎn) DFTN/4點(diǎn) DFT 2點(diǎn) DFT 1個 2個 4個 N/2個問題是如何分最有效？可以對時間變量分問題是如何分最有效？可以對時間變量分（DIT)，也可對頻率變量分，也可對頻率變量分(DIF）2021/3/910/()/( )()()()()NNrkrkNNrrNNrkkrkNNNrrX kxr WxrWxr WWxrW2 12 1221002 12 12200221221()(), ,/

8、xrxrrN2210 12 1和，基本思路：從時域?qū)⒒舅悸罚簭臅r域?qū) N點(diǎn)序列點(diǎn)序列x(n)x(n)按奇偶項分解為按奇偶項分解為兩組，分別計算兩組兩組，分別計算兩組N/2N/2點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT，然后再合成一個，然后再合成一個N N點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT，按此方法繼續(xù)下去，直到，按此方法繼續(xù)下去，直到2 2點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT，從而減，從而減少運(yùn)算量。少運(yùn)算量。算法具體步驟：算法具體步驟：一、算法的推導(dǎo)一、算法的推導(dǎo)1 1、序列、序列x(n)x(n)按奇偶項分解為兩組，將按奇偶項分解為兩組，將DFTDFT運(yùn)算也運(yùn)算也相應(yīng)分為兩組相應(yīng)分為兩組則則2021/3/911/( )()( )()( )( )(

9、)NrkNrNrkNrkNA kxr WB kxrWX kA kW B k2 1202 1202212 2、兩個、兩個N/2N/2點(diǎn)的點(diǎn)的DFTDFT合成一個合成一個N N點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT問題：問題：A(k)A(k)，B(k)B(k)都只有都只有N/2N/2個點(diǎn)，怎樣得到個點(diǎn)，怎樣得到X(k)X(k)的后的后N/2N/2點(diǎn)？利用周期性和對稱性得點(diǎn)？利用周期性和對稱性得 (/ )( )( )kNX kNA kW B k22021/3/9124.2時間抽?。―IT）基2FFT算法4.2時間抽?。―IT）基2FFT算法2021/3/9134.2時間抽取（DIT）基2FFT算法3 3、繼續(xù)分解（一直分

10、解到兩點(diǎn)、繼續(xù)分解（一直分解到兩點(diǎn)DFTDFT變換）變換） A(K)和和B(K)仍是高復(fù)合數(shù)仍是高復(fù)合數(shù)(N2)的的DFT，我們可，我們可按上述方法繼續(xù)以分解。令按上述方法繼續(xù)以分解。令r2l，r2l十十1，l0，1，N4-1，則，則A(K)和和B(K)可分別表示為可分別表示為4.2時間抽?。―IT）基2FFT算法2021/3/9144.2時間抽?。―IT）基2FFT算法4.2時間抽?。―IT）基2FFT算法令令則則2021/3/9154.2時間抽?。―IT）基2FFT算法4.2時間抽?。―IT）基2FFT算法同理，令同理，令則則按此方法一直分解下去直到按此方法一直分解下去直到2 2點(diǎn)點(diǎn)DFT

11、DFT，當(dāng)，當(dāng)N=8N=8時，如下：時，如下：2021/3/9164.2時間抽?。―IT）基2FFT算法4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法2021/3/917下面通過討論尋找下面通過討論尋找FFTFFT的一般規(guī)律。的一般規(guī)律。二、算法的討論二、算法的討論1 1、“級級”的概念的概念 在分解過程中，每分一次，稱為一級運(yùn)算在分解過程中，每分一次，稱為一級運(yùn)算。因?yàn)?。因?yàn)镸=log2NM=log2N，所以，所以N N點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT可以分解為可以分解為M M級，級，按抽取算法的信號流圖中來定義，從左到右分按抽取算法的信號流圖中來定義，從左到右分別稱為別稱為0 0級、級、1 1級到級到M-1M-1

12、級。級。2021/3/918( )( )( )( )( )( )rmmNmrmmNmxpxpW xqxqxpW xq112 2、蝶形單元、蝶形單元 在算法的信號流圖中，第在算法的信號流圖中，第m m級存在這種運(yùn)級存在這種運(yùn)算，這種結(jié)構(gòu)幾何形狀像蝴蝶，稱為蝶形單元算，這種結(jié)構(gòu)幾何形狀像蝴蝶，稱為蝶形單元p p、q q是參于本蝶形單元運(yùn)算的上、下節(jié)點(diǎn)的序號。由是參于本蝶形單元運(yùn)算的上、下節(jié)點(diǎn)的序號。由于第于第m m級序號的兩點(diǎn)只參于這一個蝶形單元的運(yùn)算，級序號的兩點(diǎn)只參于這一個蝶形單元的運(yùn)算，其輸出在第其輸出在第m m十十l l級。且這一蝶形單元也不再涉及別的級。且這一蝶形單元也不再涉及別的點(diǎn)。由

13、于這一特點(diǎn)，在計算機(jī)編程時，我們可將蝶形點(diǎn)。由于這一特點(diǎn)，在計算機(jī)編程時，我們可將蝶形單元的輸出仍放在輸入數(shù)組中，這一特點(diǎn)稱為單元的輸出仍放在輸入數(shù)組中，這一特點(diǎn)稱為“同址同址運(yùn)算運(yùn)算”。2021/3/9194.2時間抽?。―IT）基2FFT算法4.2時間抽?。―IT）基2FFT算法2021/3/920loglogcaNMNMNMNNMN2222 由于一級都含有由于一級都含有N/2N/2個蝶形單元，每個蝶形單元個蝶形單元，每個蝶形單元需要需要1 1次復(fù)數(shù)乘法和兩次復(fù)數(shù)加法，因此完成次復(fù)數(shù)乘法和兩次復(fù)數(shù)加法，因此完成loglog2 2N N級級共需要的復(fù)數(shù)乘法和加法分別為共需要的復(fù)數(shù)乘法和加法分

14、別為 直接計算直接計算DFTDFT時所需的復(fù)乘數(shù)與復(fù)加數(shù)都是與時所需的復(fù)乘數(shù)與復(fù)加數(shù)都是與N2N2成正比的。所以采用成正比的。所以采用FFTFFT算法使運(yùn)算量大大減少。顯算法使運(yùn)算量大大減少。顯然，然，N N值愈大，節(jié)省的運(yùn)算量愈多。值愈大，節(jié)省的運(yùn)算量愈多。2021/3/9213 3、“組組”的概念的概念 在分解過程中，每一級的在分解過程中，每一級的N/2N/2個蝶形單元個蝶形單元可以分成若干組，每一組具有相同的結(jié)構(gòu)和可以分成若干組，每一組具有相同的結(jié)構(gòu)和W W因子分布。第因子分布。第m m級可分成級可分成N/2N/2m+1m+1組。組。2021/3/922例：例：N=8=23，分，分3級。

15、第一級的分組及級。第一級的分組及Wr因子如下：因子如下：m=0級級,分成四組：因子為分成四組：因子為m=1級級,分成二組分成二組,因子為因子為m=2級級,分成一組分成一組,因子為因子為/NWWW000428/,NNNNWWW WW W0102022288,NNNNW W W WW W W W0123012388884 4、W Wr r因子的分布因子的分布 由上分析可知由上分析可知結(jié)論：結(jié)論：每由后向前（每由后向前（m由由M-1-0級）推進(jìn)一級，則級）推進(jìn)一級，則此系數(shù)為后級系數(shù)中偶數(shù)序號的那一半。此系數(shù)為后級系數(shù)中偶數(shù)序號的那一半。2021/3/9235 5、碼位倒置、碼位倒置 在在FFTFF

16、T算法中，輸出的頻譜依照正常次序算法中，輸出的頻譜依照正常次序排列，但輸入的序列排列，但輸入的序列x(n)x(n)是按奇偶分開的，分是按奇偶分開的，分開的規(guī)律，以開的規(guī)律，以N=8N=8為例，按如下方法進(jìn)行排序?yàn)槔?，按如下方法進(jìn)行排序（1 1）、將）、將x(n)x(n)的序號寫成二進(jìn)制的序號寫成二進(jìn)制 x(000),x(001), x(000),x(001), x(110) ，x(111)x(111)。（2 2）將二進(jìn)制的碼進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得）將二進(jìn)制的碼進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得 x(000),x(100), x(000),x(100), x(011) ， x(111)x(111)。（3 3）將二進(jìn)制的翻轉(zhuǎn)碼轉(zhuǎn)

17、換為對應(yīng)的十進(jìn)制）將二進(jìn)制的翻轉(zhuǎn)碼轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的十進(jìn)制 x(0),x(4), x(3)x(0),x(4), x(3)，x(7)x(7)。 這就是按奇偶抽取得到的順序。這就是按奇偶抽取得到的順序。2021/3/924說明：說明： 在上述的基在上述的基2FFT2FFT算法中，由于每一算法中，由于每一步分解都是按輸入序列步分解都是按輸入序列x(n)x(n)在時域上的次在時域上的次序是屬于偶數(shù)還是奇數(shù)來抽取的，所以稱序是屬于偶數(shù)還是奇數(shù)來抽取的，所以稱為為“按時間抽取法按時間抽取法”或或“時間抽取時間抽取”。 上述的基上述的基2FFT2FFT算法中，抽取也可在算法中，抽取也可在頻域進(jìn)行，引出頻率抽取（頻

18、域進(jìn)行，引出頻率抽?。―IFDIF）基）基2FFT2FFT算法。算法。2021/3/925 設(shè)輸入序列長度為設(shè)輸入序列長度為N=2M(M為正整數(shù)為正整數(shù))，頻率抽取法將輸入序列不是按奇、偶分組，頻率抽取法將輸入序列不是按奇、偶分組，而是按前后對半分開，這樣可將而是按前后對半分開，這樣可將N點(diǎn)點(diǎn)DFT寫成前后兩部分寫成前后兩部分;將該序列的頻域的輸出序?qū)⒃撔蛄械念l域的輸出序列列X(k)(也是也是N點(diǎn)序列，按其點(diǎn)序列，按其頻域順序的奇頻域順序的奇偶分解偶分解為越來越短的子序列，稱為為越來越短的子序列，稱為基基2按按頻率抽取的頻率抽取的FFT算法算法。也稱為。也稱為Sander-Tukey算法。算法

19、。2021/3/926算法分析算法分析 現(xiàn)將輸入現(xiàn)將輸入x(n)按按n的順序分前后兩部分的順序分前后兩部分:前半子序列前半子序列x(n),0nN/2-1;后半子序列后半子序列x(n+N/2),0nN/2-1;例：例：N=8時，前半序列為：時，前半序列為：x(0),x(1),x(2),x(3); 后半序列為：后半序列為： x(4),x(5),x(6),x(7); 考慮考慮N點(diǎn)的點(diǎn)的DFT,由由DFT定義得定義得2021/3/927()()( ) ( )()( )() ( )()NNNnknknkNNNnnNNNnknkNNnnNNknkNNnNkNNjkkNj kNNNkNNX kx n Wx

20、n Wx nWNx n Wx nWNx nx nWWkWWeekW 112200112220012202222222211（偶又奇2021/3/928/( ) ( )(), ,() ( )(), ,(NnkNnNnrNnjnrjnrnrnrnrNNNNNNX kx nx nWkNkrNNXrx nx nWrWWeeW2 102 12022222220 222220 1122代入又）按按k k的奇偶將的奇偶將X(k)X(k)分成奇偶兩部分分成奇偶兩部分, k=2r, k=2r和和k=2r+1,k=2r+1,考慮考慮k k為偶數(shù)情況為偶數(shù)情況/( )( )(), ,()( )NnrNnNNg nx

21、 nx nnXrg n W2 1200 1 21222令令2021/3/929/( ) ( )(), ,() ( )(), ,NnkNnNnr nNnNX kx nx nWkNkrNNXrx nx nWr2 102 1200 22221210 1122代入考慮考慮k k為奇數(shù)情況為奇數(shù)情況/( ) ( )(), ,()( )nNNnrNnNNh nx nx nWnXrh n W2 1200 1 212221令令2021/3/930結(jié)論結(jié)論 一個一個N點(diǎn)的點(diǎn)的DFT被分解為兩個被分解為兩個N/2點(diǎn)點(diǎn);與時間抽取法的推與時間抽取法的推演過程一樣，由于演過程一樣，由于N=2M,因此因此,N/2仍為偶

22、數(shù)，所以可以將仍為偶數(shù)，所以可以將N/2點(diǎn)點(diǎn)DFT的輸出的輸出X(k)再分為偶數(shù)組和奇數(shù)組，這樣就將一個再分為偶數(shù)組和奇數(shù)組，這樣就將一個N/2點(diǎn)的點(diǎn)的DFT分成兩個分成兩個N/4點(diǎn)點(diǎn)DFT的輸入，也是將的輸入，也是將N/2點(diǎn)的點(diǎn)的DFT的輸入上、下對半分后通過蝶形運(yùn)算而形成，直至最后的輸入上、下對半分后通過蝶形運(yùn)算而形成，直至最后為為2點(diǎn)點(diǎn)DFT。/( )( )(), ,( ) ( )(), ,()( ),()( )nNNNnrnrNNnnNNg nx nx nnNNh nx nx nWnXrg n WXrh n W2 12 122000 1 21220 1 21222212021/3/93

23、18點(diǎn)點(diǎn)DIF基基2FFT算法流圖算法流圖 4.3 頻率抽?。―IF）基2FFT算法2021/3/9324.3 頻率抽?。―IF）基2FFT算法2021/3/933DITDIT與與DIFDIF的相同之處：的相同之處：（1 1）DIFDIF與與DITDIT兩種算法均為原位運(yùn)算。兩種算法均為原位運(yùn)算。（2 2）DIFDIF與與DITDIT運(yùn)算量相同。運(yùn)算量相同。DITDIT與與DIFDIF的不同之處：的不同之處：（1 1）DIFDIF與與DITDIT兩種算法結(jié)構(gòu)倒過來。兩種算法結(jié)構(gòu)倒過來。DIFDIF為輸入順序，輸出亂序。運(yùn)算完畢再運(yùn)行為輸入順序，輸出亂序。運(yùn)算完畢再運(yùn)行“二進(jìn)二進(jìn)制倒讀制倒讀”程

24、序。程序。DITDIT為輸入亂序，輸出順序。先運(yùn)行為輸入亂序，輸出順序。先運(yùn)行“二進(jìn)制倒讀二進(jìn)制倒讀”程序，再進(jìn)行求程序，再進(jìn)行求DFTDFT。（2 2）DIFDIF與與DITDIT根本區(qū)別：在于蝶形結(jié)不同。根本區(qū)別：在于蝶形結(jié)不同。DITDIT的復(fù)數(shù)相乘出現(xiàn)在減法之前。的復(fù)數(shù)相乘出現(xiàn)在減法之前。DIFDIF的復(fù)數(shù)相乘出現(xiàn)在減法之后。的復(fù)數(shù)相乘出現(xiàn)在減法之后。2021/3/934u自從基自從基2快速算法出現(xiàn)以來，人們?nèi)栽诓粩鄬で罂焖偎惴ǔ霈F(xiàn)以來，人們?nèi)栽诓粩鄬で蟾斓乃惴?。更快的算法?984年，法國的杜梅爾年，法國的杜梅爾(P.Dohamel)和霍爾曼和霍爾曼(H.Hollmann)將基將基

25、2分解和基分解和基4分解糅合分解糅合在一起，提出了在一起，提出了分裂基分裂基FFT算法算法。其運(yùn)算量比前。其運(yùn)算量比前幾種算法都有所減少，運(yùn)算流圖卻與基幾種算法都有所減少，運(yùn)算流圖卻與基2FFT很很接近，運(yùn)算程序也很短。接近，運(yùn)算程序也很短。它是目前一種實(shí)用的高它是目前一種實(shí)用的高效新算法。效新算法。2021/3/935 分裂基算法分裂基算法又稱又稱基基2/42/4算法算法, ,算法的算法的基本基本思路思路是是: :對偶號輸出使用基對偶號輸出使用基2 2算法算法, ,對奇號輸對奇號輸出使用基出使用基4 4算法。算法。下面首先介紹基下面首先介紹基4 4算法：算法：令令N=4N=4M M，對，對N

26、 N點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT可按下面方法進(jìn)行頻率抽可按下面方法進(jìn)行頻率抽取取/( )( )( )( )( )NNNNnknknknkNNNNnn Nn NnNX kxnWxnWxnWxnW4 12 134 1104234分別令分別令k=4rk=4r， k=4r+2k=4r+2， k=4r+1k=4r+1， k=4r+3k=4r+3，其中，其中，r=0r=0，1 1，2 2，N/4-1N/4-1，有，有2021/3/936/()( ( )() ( ()()()( ( )() ( ()()()( ( )()( ()()()NnrNnNnnrNNnNnnrNNnNNNXrx nx nx nx nWNNNXr

27、x nx nx nx nW WNNNXrx nx nj x nx nW WXr4 1404 12404 1403424434224434124443/( ( )()( ()()NnnrNNnNNNx nx nj x nx nW W4 134032442021/3/9374.5 分裂基算法4.5 分裂基算法2021/3/938/()( ( )()( ()()()( ( )()( ()()NnnrNNnNnnrNNnNNNX rx nx nj x nx nWWNNNX rx nx nj x nx nW W 4 1404 1340341244343244算法分析算法分析 對于對于N=4N=4M M點(diǎn)

28、點(diǎn)DFTDFT，當(dāng)輸出項，當(dāng)輸出項k k為偶數(shù)時，采用為偶數(shù)時，采用基基2 2算法，即算法，即/() ( )()NnrNnNXrx nx nW2 12022當(dāng)輸出項當(dāng)輸出項k k為奇數(shù)時，采用基為奇數(shù)時，采用基4 4算法，即算法，即2021/3/9394.5 分裂基算法2021/3/9404.5 分裂基算法2021/3/941分析：分析： 一個一個N N點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT可以分解為一個可以分解為一個N/2N/2點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT和兩個和兩個N/4N/4點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT。由。由x(n) x(n+N/4) x(n+N/2)x(n) x(n+N/4) x(n+N/2)和和x(n+3N/4)x(n+3N/

29、4)求求N/2N/2點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT和和N/4N/4的的DFTDFT只需要兩次乘法只需要兩次乘法，可以減少運(yùn)算量。，可以減少運(yùn)算量。 N/2N/2點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT可進(jìn)一步分解為可進(jìn)一步分解為一個一個N/4點(diǎn)點(diǎn)DFT和兩個和兩個N/8的的DFT。N/4N/4的點(diǎn)的點(diǎn)DFTDFT進(jìn)一步分解為進(jìn)一步分解為一個一個N/8點(diǎn)點(diǎn)DFT和兩和兩個個N/16的的DFT。 這樣一直下去，直到分解為兩點(diǎn)或這樣一直下去，直到分解為兩點(diǎn)或4 4點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT為止。為止。2021/3/942結(jié)論：結(jié)論： 分裂基分裂基FFTFFT算法結(jié)構(gòu)同基算法結(jié)構(gòu)同基2FFT2FFT算法結(jié)構(gòu)相似，算法結(jié)構(gòu)相似，適用于適用于N=2N=

30、2M M的場合，并由的場合，并由M M級運(yùn)算實(shí)現(xiàn)。運(yùn)算流圖輸級運(yùn)算實(shí)現(xiàn)。運(yùn)算流圖輸入為順序，輸出為倒序。入為順序，輸出為倒序。()()MRMRMNMNANMN 438261399816221399分裂基分裂基FFTFFT算法的計算量算法的計算量2021/3/943 以上提出以上提出FFT算法，可以很快地求出全部算法，可以很快地求出全部DFT值。值。即求出有限長序列即求出有限長序列x(n)的的z變換變換X(z)在單位園上在單位園上N個等個等間隔抽樣點(diǎn)間隔抽樣點(diǎn)zk處的抽樣值。它要求處的抽樣值。它要求N為高度復(fù)合數(shù)。為高度復(fù)合數(shù)。即即N可以分解成一些因子的乘積。例可以分解成一些因子的乘積。例N=2

31、L 實(shí)際上：實(shí)際上：（1）也許對其它圍線上也許對其它圍線上z變換取樣發(fā)生興趣變換取樣發(fā)生興趣。如語音。如語音處理中，常常需要知道某一圍線處理中，常常需要知道某一圍線z變換的極點(diǎn)所處的變換的極點(diǎn)所處的復(fù)頻率。復(fù)頻率。（2）只需要計算單位圓上某一段的頻譜只需要計算單位圓上某一段的頻譜,即即M不等于不等于N。如窄帶信號，希望在窄帶頻率內(nèi)頻率抽樣能夠非常如窄帶信號，希望在窄帶頻率內(nèi)頻率抽樣能夠非常密集，提高分辨率，帶外則不考慮。密集，提高分辨率，帶外則不考慮。（3）若若N是大素數(shù)時，不能加以分解，又如何有效計是大素數(shù)時，不能加以分解，又如何有效計算這種序列算這種序列DFT。例。例N=311，若用基，若

32、用基2則須補(bǔ)則須補(bǔ)N=28=512點(diǎn)，要補(bǔ)點(diǎn)，要補(bǔ)211個零點(diǎn)。個零點(diǎn)。2021/3/944問題提出問題提出 為了提高為了提高DFT的靈活性，須用新的方法。線性調(diào)的靈活性，須用新的方法。線性調(diào)頻頻z變換變換(CZT)就是適用這種更為一般情況下，由就是適用這種更為一般情況下，由x(n)求求X(zk)的快速變換。的快速變換。CZT 來自于雷達(dá)專業(yè)的專用詞匯。來自于雷達(dá)專業(yè)的專用詞匯。Z 變換采用螺線抽變換采用螺線抽樣樣,可計算單位圓上任一段曲線的可計算單位圓上任一段曲線的Z變換，適用于變換，適用于更一般情況下（更一般情況下（M不等于不等于N）由）由x(n)求求X(zr)的快速的快速算法算法, 達(dá)到

33、頻域細(xì)化的目的，這種變換稱為線性調(diào)達(dá)到頻域細(xì)化的目的，這種變換稱為線性調(diào)頻頻Z變換變換(簡稱簡稱CZT )。2021/3/945 為適應(yīng)為適應(yīng)z可以沿平面內(nèi)更一般的路徑取值，我們沿可以沿平面內(nèi)更一般的路徑取值，我們沿z平面上的一段螺線作等分角的抽樣，則平面上的一段螺線作等分角的抽樣，則z的取樣點(diǎn)的取樣點(diǎn)Zr可表示為：可表示為：)()NnnXzx nz10（, ,rrzAWrM0 11,jjAA eWW e0000 已已 知知 N點(diǎn)序列點(diǎn)序列x(n) ，0nN-1,其其z變換為變換為其中其中M：表示欲分析的復(fù)頻譜的點(diǎn)數(shù)。：表示欲分析的復(fù)頻譜的點(diǎn)數(shù)。M不一定等于不一定等于N。A，W 都為任意復(fù)數(shù)都

34、為任意復(fù)數(shù),令令 一、一、CZTCZT的定義的定義2021/3/946()()()()NnkrnNnnrnzXzC Z Tx nx n zx n AW1010代 入中 得, ,rM0 11上式即為上式即為CZTCZT的定義的定義. .現(xiàn)在討論現(xiàn)在討論A A0 0,W,W0 0,0 0,0 0的的含義含義: : 為輸出為輸出M M點(diǎn)的變換域值點(diǎn)的變換域值.r=0.r=0時的時的A A0 0e ej0j0是是CZTCZT的起點(diǎn)的起點(diǎn), ,隨著隨著r r的變化的變化,r,r0 0,r,r1 1,R,RM-1M-1構(gòu)成構(gòu)成CZTCZT的變化路徑，對于的變化路徑，對于M-1M-1點(diǎn)其極坐標(biāo)為點(diǎn)其極坐標(biāo)為

35、()()jj MMQA eWe0011002021/3/9474.6線性調(diào)頻Z變換2021/3/948CZTCZT在現(xiàn)在現(xiàn)Z Z平面上的變換路徑是一條平面上的變換路徑是一條螺旋線螺旋線。（1）A為起始樣點(diǎn)位置為起始樣點(diǎn)位置,jAA eA0000：起點(diǎn)半徑，大于起點(diǎn)半徑，大于1 1時，表示螺旋線在單位圓外時，表示螺旋線在單位圓外，反之，在單位圓內(nèi)。，反之，在單位圓內(nèi)。起點(diǎn)半相角。起點(diǎn)半相角。（2）當(dāng)）當(dāng)W01,螺旋線內(nèi)旋，反之外旋。螺旋線內(nèi)旋，反之外旋。（3）當(dāng)）當(dāng)A0=W0=1時，時，CZT的變換路徑為單位圓上的變換路徑為單位圓上的一段弧，起點(diǎn)為的一段弧，起點(diǎn)為P，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為Q，且，且M不

36、一定等不一定等于于N。2021/3/9494.6線性調(diào)頻Z變換。變換求出該序列即由，為均勻分布在單位園上此時等分）時，（。即即（當(dāng)滿足下面特殊條件：DFTCZTzNNMWeeWWcAeAAbNMarNjjj221,)(01, 1)(: )4(0020000002021/3/950()()() ()( )( ) ( )nr nrNNnnknrnnrnr nNnnnrnrrnX zx n A Wx n A WWWWx n A WW22222222211222001222012利用 考慮考慮A0=W0=1時，在單位圓上時，在單位圓上CZT，且，且M不一定等不一定等于于N。2021/3/951( )(

37、 ), ( )()( ) (), ,()( )( )() ( )( ), ,( )nnnrNrnrrrrrg nx n A Wh nWX zWg n h rn rMX zg nh nWX zWg rh rkMWy r222222221202220 110 11令由上式可知：可以由與的離散卷并乘得到，即：2021/3/952( )rX z( )x nnnA W22rW22( )nhn W22( )g n( )y rCZTCZT的線性濾波計算步驟的線性濾波計算步驟2021/3/953二、二、CZTCZT的計算方法的計算方法分析：分析：從上面的推導(dǎo)過程可以看出，計算從上面的推導(dǎo)過程可以看出，計算CZTCZT關(guān)鍵是計算一個線性卷積關(guān)鍵是計算一個線性卷積( )( )( )y rg rh r其中，其中，g(n)g(n)應(yīng)為應(yīng)為N N點(diǎn)序列，點(diǎn)序列，h(n)h(n)應(yīng)為偶對稱的應(yīng)為偶對稱的無限長序列，考慮到輸出無限長序列，考慮到輸出M M點(diǎn)序列，點(diǎn)序列，h(n)h(n)的實(shí)的實(shí)際長度應(yīng)為際長度應(yīng)為M M點(diǎn)。因此，可用點(diǎn)。因此，可用DFTDFT來實(shí)現(xiàn)兩者來實(shí)現(xiàn)兩者的卷積，具體步驟如下：的卷積，具體步驟如下：20