轉(zhuǎn)動慣量計(jì)算方法

1、實(shí)驗(yàn)三剛體轉(zhuǎn)動慣量的測定轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。它與剛體的質(zhì)量、形狀大小和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。形狀簡單的剛體，可以通過數(shù)學(xué)計(jì)算求得其繞定軸的轉(zhuǎn)動慣量；而形狀復(fù)雜的剛體的轉(zhuǎn)動慣 量，則大都采用實(shí)驗(yàn)方法測定。下面介紹一種用剛體轉(zhuǎn)動實(shí)驗(yàn)儀測定剛體的轉(zhuǎn)動慣量的方法。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、理解并掌握根據(jù)轉(zhuǎn)動定律測轉(zhuǎn)動慣量的方法；2、熟悉電子毫秒計(jì)的使用。實(shí)驗(yàn)儀器：剛體轉(zhuǎn)動慣量實(shí)驗(yàn)儀、通用電腦式毫秒計(jì)。儀器描述：剛體轉(zhuǎn)動慣量實(shí)驗(yàn)儀如圖一，轉(zhuǎn)動體系由十字型承物臺、繞線塔輪、遮光細(xì)棒等（含 小滑輪）組成。遮光棒隨體系轉(zhuǎn)動，依次通過光電門，每n弧度（半圈）遮光電門一次的光以計(jì)數(shù)、計(jì)時(shí)。塔輪上有五個(gè)不同半徑（r

2、）的繞線輪。砝碼鉤上可以放置不同數(shù)量的砝碼，以獲得不同的外力矩。MaQ""a,Qh'Bfc, QwQ. "一Q Q, IT(13)(14)(13)(14)1-承物臺2.遮光細(xì)捧3.繞線塔輪4.光電門5,滑輪 氐硅碼圖一剛體轉(zhuǎn)動慣量實(shí)驗(yàn)儀圖二祇物臺俯視圖(13)(14)(13)(14)實(shí)驗(yàn)原理：空實(shí)驗(yàn)臺（僅有承物臺）對于中垂軸OO 的轉(zhuǎn)動慣量用Jo表示，加上試樣（被測物體）后的總轉(zhuǎn)動慣量用 J表示，則試樣的轉(zhuǎn)動慣量 Ji :J 1 = J - Jo（1）由剛體的轉(zhuǎn)動定律可知：T r - Mr = J :其中M為摩擦力矩。而 T = m(g -r ：)其中 m

3、砝碼質(zhì)量g重力加速度:-角加速度T 張力1. 測量承物臺的轉(zhuǎn)動慣量Jo未加試件，未加外力(m=0 , T=0)令其轉(zhuǎn)動后，在 M的作用下，體系將作勻減速轉(zhuǎn)動,、£=、£i，有-Mb = J o ： i(4)加外力后，令:-=：'2m(g r ：2)r M = J。: 2(5)(4) ( 5)式聯(lián)立得上=且22mr測出：-1 ,：-2,由(6 )式即可得Jo O2. 測量承物臺放上試樣后的總轉(zhuǎn)動慣量-Mr2=J ： 3m(g r : 4)r Mr2= J : 4J，原理與1.相似。加試樣后，有(8)mgr>4 一 >3:'42mr>4 一3(

4、9)注意：G1 , 03值實(shí)為負(fù)，因此(6)、(9)式中的分母實(shí)為相加。3.測量的原理設(shè)轉(zhuǎn)動體系的初角速度為1 20 =3 o t +t20 2相應(yīng)的時(shí)間. 1 2 t 1 +t12. 1 2 t 2 +t22測得與0 1t1 , t(10)(11)2=3(12)(13)(14)(13)(14)(0 =刃時(shí),2(期 F)/ t = 0時(shí)，計(jì)時(shí)次數(shù)k=12二(k2 -1兒 -(« -加2 2t2t1k的取值不局限于固定的k1 , k 2兩個(gè)，一般取k =1 , 2,3 , ,30”(13)(14)實(shí)驗(yàn)方法:本實(shí)驗(yàn)采用HMS-2型“通用電腦式毫秒計(jì)”來測量k及其相應(yīng)的t值，毫秒計(jì)的使用

5、方法見本實(shí)驗(yàn)附錄。先完成砝碼的掛接和繞線，然后復(fù)位毫秒計(jì)，放開砝碼。砝碼在重力作用下帶動體系 加速轉(zhuǎn)動?！昂撩胗?jì)”將自動記下 k及其相應(yīng)的t值。由式（14）即得:-2。待砝碼掛線自動脫離后，即可接著測 n。所以，實(shí)驗(yàn)一次即可完成對體系的轉(zhuǎn)動慣量J的測量。此時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：、從測a 2到測a i的計(jì)時(shí)分界處要記清， 處理數(shù)據(jù)時(shí)不能混雜； 、 測a i的開始時(shí)間雖然可以選為較遠(yuǎn)地離開分界處，但以后的每個(gè)時(shí)間的數(shù)據(jù)都必須減去開 始的時(shí)間數(shù)值。：3 ,? 4的測量方法與?1 ,? 2相同。實(shí)驗(yàn)步驟：1、 按（圖一）安裝調(diào)試好儀器，細(xì)線的一端連結(jié)鉤掛砝碼6,另一端打一適當(dāng)大小的結(jié)塞入塔輪3的縫中，繞線于塔

6、輪時(shí)應(yīng)單層逐次排列。線的長度應(yīng)使砝碼觸地前一點(diǎn)點(diǎn)脫離塔輪。選取塔輪半徑 r = 2.5 x 10-2m，砝碼質(zhì)量 m= 6.0 x 10-2 kgk'當(dāng)實(shí)驗(yàn)臺離地面高度為 h時(shí)，有h =2二r，式中k，為每半圈記一次時(shí)間的數(shù)目，k'=2k - 1 .通過該式適當(dāng)選取 h,使k' < 10為加速；k' >10為減速。一般選 k' > 13進(jìn)行 計(jì)算。2、 測量承物臺的轉(zhuǎn)動慣量Jo o參閱實(shí)驗(yàn)方法中的說明及后面附錄“ HMS-2型通用電腦式毫秒計(jì)”使用說明。記 錄每一 K值對應(yīng)時(shí)間t于下表。kt(s)kt(s)kt(s)1011212122

7、231323414245152561626717278182891929102030選取不同的k1 , k2及對應(yīng)的t 1 ,t 2值代入（14）即可求得a 1和a 2,將a 1、a 2再代 入（6）即可計(jì)算出此承物臺的轉(zhuǎn)動慣量Jo。（1）計(jì)算a 2時(shí)，將數(shù)據(jù)分成四組，按等權(quán)原則，取 k1= 2, 3, 4, 5時(shí)對應(yīng)的k2分別為k2 = 6, 7, 8, 9 （即 k = k 2 - k 1 = 4 ）, 按公式（14）進(jìn)行計(jì)算。即由二 2- (k2 -Jti 2(kl -曲求出 a 21 , a 22, a 23 , a 24 ,再求得-。t2 右一tl t2(2)同理計(jì)算a 1時(shí)，也將數(shù)

8、據(jù)分成四組，按等權(quán)原則，取k' 1 = 2, 3, 4, 5時(shí)對應(yīng)的k2分別為k' 2 = 6, 7, 8, 9按公式(14)進(jìn)行計(jì)算，得出a 11 , a 12 , a 13 , a 14 ,再求得-1 (此時(shí)k' = k - 15即取k=15時(shí)t ' = 0 )1 .測量試樣的轉(zhuǎn)動慣量J1將待測試樣放至承物臺上，按上面 2中測量方法，可測得系統(tǒng)(承物臺加待測試 樣)的轉(zhuǎn)動慣量J。其數(shù)據(jù)記錄于下表：kt(s)kt(s)kt(s)1011212122231323414245152561626717278182891929102030由式(1)J1 = J - J

9、 o可求出待測試樣的轉(zhuǎn)動慣量。待測試樣(1) 鋁環(huán)(2) 鋁圓盤* (3)移軸砝碼(兩個(gè))：對稱地倒插于承物臺十字架的小孔內(nèi)，兩砝碼距離2X ,取值分別為a. 2X1= 10cmb. 2X2= 20cm計(jì)算公式:1 .質(zhì)量均勻分布的圓環(huán)，總質(zhì)量為M外徑、內(nèi)徑分別為 D、D,則對通過中心與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量1 2 2JM (D1D2 )8(15)2.若為圓盤試樣，上式的D-0,即JMD2(16)8D為圓盤的直徑3. 平行軸定理(17)J = Jc md2剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量Jc,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離 d的二次方的乘積。數(shù)據(jù)處理：1. 鋁環(huán)

10、：質(zhì)量 M = kg ； D i =cm D 2 =cm由式（16）可求圓環(huán)繞過質(zhì)心與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J環(huán)，理=;與測量值 J環(huán)，測=；比較可得： J環(huán)=J環(huán)，測-J 環(huán)，理=;相對誤差：E = J環(huán)/J環(huán)=% .2. 鋁圓盤：質(zhì)量M = kg; D = cm同理，由式（16）可求圓盤繞過質(zhì)心與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J盤，理=;與測量值J盤，測=；比較可得： J盤=J盤，測 -J盤，理=;相對誤差：E = J盤/J盤=%*3.由實(shí)驗(yàn)步驟3的測量結(jié)果分別計(jì)算 a., b.兩種情況下兩移軸砝碼對中垂軸OO的轉(zhuǎn)動慣量Ja和Jb,并討論之。已知兩移軸砝碼總質(zhì)量M = 2 X o.167kg砝

11、碼直徑=3.0 cm思考題:1. 簡要分析影響本實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果的各種因素是什么？如何減少它們對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影 響？2. 本實(shí)驗(yàn)測量轉(zhuǎn)動慣量的原理是什么？附錄：HMS-2 “通用電腦毫秒計(jì)”使用說明一、技術(shù)性能本儀器由單片機(jī)芯片和固有程序等組成。具有記憶存儲功能，最多可記64個(gè)脈沖輸入的（順序的）時(shí)間，并可隨意提取數(shù)據(jù)，還可以調(diào)整為脈沖的編組計(jì)時(shí)。它有備用通道，即雙通道“或”門輸入。此儀器為可編程記憶式雙路毫秒計(jì)。1.輸入脈沖寬度：不小于 10卩s2.計(jì)時(shí)范圍:0-999.999 秒3.計(jì)時(shí)誤差:< 0.0005 秒4.計(jì)時(shí)數(shù)組:1-645.適用電源:s 220V , 50Hz板面（如下圖）

12、為 2位脈沖個(gè)數(shù)數(shù)碼塊； 為 6位計(jì)時(shí)數(shù)碼塊； 為按鍵數(shù)據(jù)碼盤； 、分別為輸入 I 輸入插孔和通斷開關(guān)；、分別為輸入II輸入插孔和通斷開關(guān)；為電源；為復(fù)位鍵。三、使用方法1 用電纜連接光電門的發(fā)光管和輸入脈沖，只接通一路（另一路備用）。2 若只用輸入 I 插孔輸入， 請將該輸入通斷開關(guān)接通， 輸入 II 通斷開關(guān)斷開 （切記）。 反之亦然。若從兩輸入插孔同時(shí)輸入信號，請將兩通斷開關(guān)都接通。3. 接通電源：儀器進(jìn)入自檢狀態(tài)。板面顯示88-888888四次后，顯示為 P0164，它表明制式（P）為每輸入1個(gè)（光電）脈沖，計(jì)一次時(shí)間，最多可記64個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)，小于 64 個(gè)也可以被儲存和提取數(shù)據(jù)。4.

13、 按一次“”或“T”鍵，面板顯示00 000000，此時(shí)儀器處于待記時(shí)狀態(tài)。輸入 第 1 個(gè)脈沖則開始計(jì)時(shí)。5. 64 個(gè)脈沖輸入后自動停止（小于 64 也可）。取出數(shù)據(jù)的方法如下：按 09 兩數(shù)碼鍵，則顯示“ *.* ”精確到毫秒的第一個(gè)脈沖到第九個(gè)脈沖之間 的時(shí)間，依次類推；按 01鍵，則顯示“ 000.000 ”表示計(jì)時(shí)開始的時(shí)間。按 J”鍵 一次，則脈沖記時(shí)的個(gè)數(shù)遞增1,因此方便地依次提取數(shù)據(jù)（按鍵則遞減） 。（1 ） 按“ 9”鍵兩次，儀器又處于新的待記時(shí)狀態(tài)，并把前次數(shù)據(jù)消除。（2） 按復(fù)位鍵，儀器為在電的重啟。四、調(diào)整制式的方法當(dāng)啟動按“J”或“t”鍵后顯示P0164。這里，01表示制式（P）每一個(gè)（光電）脈沖計(jì)數(shù)一次，64表示計(jì)64個(gè)數(shù)據(jù)。因此，可以通過改變PXXYY中的XX值和YY值,獲得不同的計(jì)數(shù)