初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)的解析式的確定

1、初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)的解析式的確定一. 本周教學(xué)內(nèi)容：二次函數(shù)的解析式的確定知識(shí)要點(diǎn)1. 若已知二次函數(shù)的圖象上任意三點(diǎn)坐標(biāo)，則用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a0）求解析式。2. 若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或?qū)ΨQ(chēng)軸最值），則應(yīng)用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)。3. 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，則應(yīng)用交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2為拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式難點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出函數(shù)關(guān)系式，解決實(shí)際問(wèn)題。三. 教學(xué)建議：求二次函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x用二次函數(shù)關(guān)系式的形式，選擇恰當(dāng)，解題

2、簡(jiǎn)捷；選擇不當(dāng)，解題繁瑣；解題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活選用?！镜湫屠}】例1. 已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6），B（2，3），C（0，5）三點(diǎn)，求其函數(shù)關(guān)系式。分析：設(shè)y=ax2+bx+c，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，5），可得c=-5，再由另外兩點(diǎn)建立關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值即可。解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)C（0，5），c=-5又因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6），B（2，3），故可得到：a-b-5=-64a+2b-5=3a-b=-1即2a+b=42a=1 解得：b=2 所求二次函數(shù)的解析式為y=x+2x-5說(shuō)明：當(dāng)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)三

3、點(diǎn)時(shí)，可設(shè)其關(guān)系式為y=ax+bx+c，然后確定a、b、c的值即得，本題由C（0，5）可先求出c的值，這樣由另兩個(gè)點(diǎn)列出二元一次方程組，可使解題過(guò)程簡(jiǎn)便。用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 119號(hào)編輯 12例2. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為（1，-該二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。分析：由已知頂點(diǎn)為（1，-值即可解：設(shè)y=a(x-1)-2 9），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），求2992），故可設(shè)y=a(x-1)-，再由點(diǎn)（2，0）確定a的229，則 2圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），0=a(-2-1)-a=29 2119，y=(x-1)2-， 22212 即：y=x-x-4 2說(shuō)明：如果題目已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h

4、，k），一般設(shè)y=a(x-h)2+k，再根據(jù)其他條件確定a的值。本題雖然已知條件中已設(shè)y=ax2+bx+c，但我們可以不用這種形式而另設(shè)y=a(x-h)2+k這種形式。因?yàn)樵趛=ax2+bx+c這種形式中，我們必須求a、b、c的值，而在y=a(x-h)2+k這種形式中，在頂點(diǎn)已知的條件下，只需確定一個(gè)字母a的值，顯然這種形式更能使我們快捷地求其函數(shù)關(guān)系式。例3. 已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=-3，且函數(shù)有最大值為2，圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（1，0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。分析：依題意，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），因此，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+3)2+2圖象經(jīng)

5、過(guò)（1，0），0=a(-1+3)2+2a=-1 21(x+3)2+2 2 所求這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-即：y=-125x-3x- 22說(shuō)明：在題設(shè)的條件中，若涉及頂點(diǎn)坐標(biāo)，或?qū)ΨQ(chēng)軸，或函數(shù)的最大（最小值），可設(shè)頂點(diǎn)式為解析式。例4. 已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象如圖1所示，則這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是_。用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 119號(hào)編輯 2圖1分析：可根據(jù)題中圖中的信息轉(zhuǎn)化為一般式（或頂點(diǎn)式）（或交點(diǎn)式）。方法一：由圖象可知：該二次函數(shù)過(guò)（0，0），（2，0），（1，1）三點(diǎn)設(shè)解析式為y=ax2+bx+c0=c 根據(jù)題意得：0=4a+2b+c-1=a+b+ca=1解得b=-2 c=0所求

6、二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x方法二：由圖象可知，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）設(shè)解析式為y=a(x-1)2-1圖象過(guò)（0，0），0=a(0-1)2-1，a=1所求二次函數(shù)的解析式為y=(x-1)2-1即y=x2-2x方法三：由圖象可知，該二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)（0，0），（2，0）設(shè)解析式為y=a(x-0)(x-2)圖象過(guò)（1，1）-1=a(1-2)，a=1所求二次函數(shù)解析式為：y=x(x-2)即：y=x2-2x說(shuō)明：依題意后兩種方法比較簡(jiǎn)便。例5. 已知：拋物線(xiàn)在x軸上所截線(xiàn)段為4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），求這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式 分析：由于拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為

7、（x1，0），（x2，0），則有對(duì)稱(chēng)軸x=1(x1+x2)，利用這個(gè)對(duì)稱(chēng)性很方便地求二次函數(shù)的解析式 2解：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x2拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)之間距離為4兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（4，0）用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 119號(hào)編輯 3設(shè)所求函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2+4圖象過(guò)（0，0）點(diǎn)0=4a+4，a=-1所求函數(shù)的解析式為y=-x2+4x例6. 已知二次函數(shù)y=(m-1)x2+2mx+(3m-2)(m1)的最大值是零，求此函數(shù)的解析式。分析：依題意，此函數(shù)圖象的開(kāi)口應(yīng)向下，則有a=m-10，且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為零，4(m-1)(3m-2)-(2m)2則有：=0。以上兩個(gè)條件都

8、應(yīng)滿(mǎn)足，可求m的值。 4(m-1)m-10 解：依題意：4(m-1)(3m-2)-(2m)2=04(m-1)由得 m1由得：m1= 1，m2=2（舍去） 21112 所求函數(shù)式為y=(-1)x+2x+(3-2) 222121 即：y=-x+x- 22例7. 已知某拋物線(xiàn)是由拋物線(xiàn)y=2x2經(jīng)過(guò)平移而得到的，且該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），B（2，4），求其函數(shù)關(guān)系式。分析：設(shè)所求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c，則由于它是拋物線(xiàn)y=2x2經(jīng)過(guò)平移而得到的，故a2，再由已知條件列出b、c的二元一次方程組可解本題。解：設(shè)所求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c，則由已知可得a2，又它經(jīng)過(guò)

9、點(diǎn)A（1，1），B（2，4）故：2+b+c=18+2b+c=4b+c=-1b=-3 解得： 即2b+c=-4c=22 所求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：y=2x-3x+2說(shuō)明：本題的關(guān)鍵是由所求拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=2x的平移關(guān)系，得到a=2例8. 如圖2，已知點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（6，0），第三象限內(nèi)有一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)為2，用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 119號(hào)編輯 42并且滿(mǎn)足條件tanPABtanPBA=1圖2（1）求證：PAB是直角三角形。（2）求過(guò)P、A、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)。分析：（1）中須證PA+PB=AB，由已知條件：tanPABtanPBA=1，應(yīng)過(guò)P作PCx軸（2）中已知P、A、

10、B三點(diǎn)的坐標(biāo)，且根據(jù)點(diǎn)的位置可用三種不同的方法求出拋物線(xiàn)的解析式解：（1）過(guò)P作PCx軸于點(diǎn)C，由已知易知AC2，BC8 從而tanPAB=222PCPC，tanPBA= 28PCPC=1，解得：PC4 28222 P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4） 由勾股定理可求得：PA=AC+PC=20PB=BC+PC=80，又AB=100AB2=PA2+PB2，APB=90故APB是直角三角形（2）解法1，可設(shè)過(guò)P、A、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為：y=ax+bx+c， 222224a-2b+c=-4 則有16a-4b+c=036a+6b+c=01a=41b=- 2c=-6用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 119號(hào)編輯 5121125

11、x-x-6=(x-1)2- 424425 頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-） 4 y=解法2：由拋物線(xiàn)與x軸交于A(yíng)（4，0），B（6，0），可設(shè)y=a(x+4)(x-6)，又拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（2，4）可求a值解法3：由A（4，0），B（6，0）可知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1可設(shè)y=a(x-1)2+k，將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可求a，k的值例9. 如圖3所示，是某市一條高速公路上的隧道口，在平面直角坐標(biāo)系上的示意圖，點(diǎn)A和A1，點(diǎn)B和B1分別關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，隧道拱部分BCB1為一段拋物線(xiàn)，最高點(diǎn)C離路面AA1的距離為8米，點(diǎn)B離地面AA1的距離為6米，隧道寬AA1為16米圖3（1）求隧道拱拋物線(xiàn)BCB1的函數(shù)表達(dá)式；（

12、2）現(xiàn)有一大型運(yùn)貨汽車(chē)，裝載某大型設(shè)備后，其寬為4米，車(chē)載大型設(shè)備的頂部與路面的距離均為7米，問(wèn)它能否安全通過(guò)這個(gè)隧道？請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：（1）由已知可得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6），從而可求其函數(shù)關(guān)系式。（2）假設(shè)汽車(chē)從正中行駛，則其最右邊到y(tǒng)軸的距離是2，于是求出拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)的坐標(biāo)，再看它到地面AA1的距離是否大于7米，由此可判斷運(yùn)貨汽車(chē)能否安全通過(guò)隧道。 解：（1）如圖所示，由已知得OAOA18，OC8，故C點(diǎn)坐標(biāo)（0，8），B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6）設(shè)隧道拱拋物線(xiàn)BCB1的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+8，則(-8)a+8=6，得a=-221 3212x+8 32 隧道拱

13、拋物線(xiàn)BCB1的函數(shù)關(guān)系式為y=-（2）設(shè)貨運(yùn)汽車(chē)從正中行駛，則其最右邊正上方拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為D，過(guò)D作DEx軸于E當(dāng)x2時(shí)，y=-11722+8=-+8=7 3288用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 119號(hào)編輯 6D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7DE=7 77），DE=7 8877 8該運(yùn)貨汽車(chē)能安全通過(guò)這個(gè)隧道。說(shuō)明：要求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是確定其上的點(diǎn)的坐標(biāo)，再選用適當(dāng)?shù)男问角笃潢P(guān)系式。本題第（2）小題中，還可以求出拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為7的點(diǎn)的坐標(biāo)（有兩個(gè)），再比較這兩點(diǎn)間的水平距離是否大于4。例10. 有這樣一個(gè)問(wèn)題：已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（0，a），B（1，2），求

14、證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2，題目中的矩形框部分是一段被墨水覆蓋而無(wú)法辨認(rèn)的文字。（1）根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的關(guān)系式？若能，寫(xiě)出求解過(guò)程，若不能，說(shuō)明理由。（2）請(qǐng)你根據(jù)已有信息，在原題中的矩形框內(nèi)，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。 分析：僅由A、B兩點(diǎn)無(wú)法求其關(guān)系式，但如果把待證的結(jié)論也看成已知條件，則可求出其關(guān)系式解：（1）能 y=-x2+4x-1，過(guò)程如下由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，a），得ca將圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2看成已知條件，則2 拋物線(xiàn)y=ax+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-b 2a-b=2得b=-4a 2ay=ax2-4ax+a拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，2）

15、a-4a+a=2，a=-1所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x2+4x-1（2）可補(bǔ)充條件：b=-4a（或a=-1或b=4或其他條件）b24ac-b2)+ 說(shuō)明：二次函數(shù)y=ax+bx+c配方后可變形為y=a(x+，故其圖象2a4a2bb4ac-b2，的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-） 2a2a4a用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 119號(hào)編輯 7第（2）題的答案不唯一，補(bǔ)充的條件只要能求出其關(guān)系式為y=-x2+4x-1即可。例11. 已知四點(diǎn)A（1，2），B（0，6），C（2，20），D（1，12），試問(wèn)是否存在一個(gè)二次函數(shù)，使它的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)？如果存在，請(qǐng)求出它的關(guān)系式；如果不存在，說(shuō)明理由。 分析

16、：先求出經(jīng)過(guò)A、B、C的拋物線(xiàn)的關(guān)系式，再驗(yàn)證點(diǎn)D是否在所求拋物線(xiàn)上，若在，則存在這樣的二次函數(shù)；若不在，則不存在這樣的二次函數(shù)。解：設(shè)圖象經(jīng)過(guò)A、B、C的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c則由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，6），可得c6又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2），C（2，20）a+b+6=24a-2b+6=20a+b=-4 即：2a-b=7a=1 解得： b=-5經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)為y=x2-5x+6當(dāng)x=-1時(shí)，y=(-1)2-5(-1)+6=12點(diǎn)D（1，12）在函數(shù)y=x2-5x+6的圖象上即存在二次函數(shù)y=x2-5x+6，其圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)四個(gè)點(diǎn)。說(shuō)明：探索同時(shí)經(jīng)過(guò)四點(diǎn)的拋物線(xiàn)的問(wèn)題，可先求出經(jīng)

17、過(guò)其中三個(gè)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的關(guān)系式，再判斷第四個(gè)點(diǎn)是否在所求拋物線(xiàn)上?！灸M試題】一、填空題1. 拋物線(xiàn)y=-3x2+8向右平移5個(gè)單位的拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式是_。2. 二次函數(shù)y=nx2+2x+n-4n2的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式是_。3. 若拋物線(xiàn)y=-x2+mx+n的頂點(diǎn)是（1，3），則m_。4. 對(duì)稱(chēng)軸是x=-1的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M（1，4），N（2，1），這條拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)。5. 已知二次函數(shù)y=x+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（0，4），則其頂點(diǎn)坐標(biāo)是_。6. 已知二次函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，y3；當(dāng)x1時(shí)，它有最大值1，則其函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)。二、選擇題：用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 119號(hào)編輯

18、827. 已知：拋物線(xiàn)y=x2-6x+c的最小值為1，那么c的值是（ ）A. 10C. 8 B. 9 D. 78. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1），（2，4），（0，4）三點(diǎn)，那么它的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)（ ）A. x=-3 B. x=-1C. x=1 D. x=39. 一個(gè)二次函數(shù)的圖象過(guò)（1，5），（1，1）和（3，5）三個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為（ ）A. y=-x2-2x+2B. y=x2-2x+2C. y=x2-2x+1D. y=x2-2x-210. 已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖1，則此函數(shù)的關(guān)系式為（ ）圖1A. y=-x2+2x+3B. y=x2-2x-3C. y=-x-2x+3D. y=-x-2x-3三、解答題：根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式（1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），（1，3），（2，6）（2）拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，9），并且與y軸交于（0，8）（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），與y軸交于點(diǎn)（0，用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 119號(hào)編輯 9222，5），且過(guò)原點(diǎn)x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0），（3，0）且函數(shù)