初二數(shù)學(xué)分類與討論復(fù)習(xí)題

1、全國初中（初二）數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)第二十一講 分類與討論分類在數(shù)學(xué)中是常見的，讓我們先從一個簡單的例子開始有四張卡片，它們上面各寫有一個數(shù)字：1，9，9，8從中取出若干張按任意次序排列起來得到一個數(shù)，這樣的數(shù)中有多少個是質(zhì)數(shù)？因為按要求所得的數(shù)可能是一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)和四位數(shù)，我們分別給予討論任取一張卡片，只能得3個數(shù)：1，8，9，其中沒有質(zhì)數(shù)；任取二張卡片，可得7個數(shù)：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89兩個是質(zhì)數(shù)；任取三張卡片，可得12個數(shù)：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三個數(shù)是質(zhì)

2、數(shù)；取四張，所得的任一個四位數(shù)的數(shù)字和是27，因而是3的倍數(shù)，不是質(zhì)數(shù)綜上所述，質(zhì)數(shù)共有23=5個上面的解題方法稱為分類討論法當(dāng)我們要解決一個比較復(fù)雜的問題時，經(jīng)常把所要討論的對象分成若干類，然后逐類討論，得出結(jié)論分類討論法是一種很重要的數(shù)學(xué)方法在分類中須注意題中所含的對象都必須在而且只在所分的一類中分類討論一般分為三個步驟，首先確定分類對象，即對誰實施分類第二是對對象實施分類，即分哪幾類，這里要特別注意，每次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)、不遺漏，有些復(fù)雜的問題，還要逐級分類最后對討論的結(jié)果進行綜合，得出結(jié)論例1 求方程x2-2x-1-4=0的實根x2+2x-1-4=0，x2-2x1-4=

3、0，x13，x2=-1說明 在去絕對值時，常常要分類討論例2 解方程x2-x=2，其中x是不超過x的最大整數(shù)解 由x的定義，可得xx=x2-2，所以 x2-x-20，解此不等式得-1x2現(xiàn)把x的取值范圍分成4個小區(qū)間(分類)來進行求解(1)當(dāng)-1x0時，原方程為x2-(-1)=2，所以x=-1(因x=1不滿足-1x0)(2)當(dāng)0x1時，原方程為x2=2(3)當(dāng)1x2時，原方程為x2-1=2，所以(4)當(dāng)x=2時，滿足原方程例3 a是實數(shù)，解方程xx+1+a=0分析 方程中既含有絕對值，又含有參數(shù)a，若以平方化去絕對值的話，則引入了高次方程，把問題更加復(fù)雜化了對這種問題，宜討論x的取值范圍來求解

4、解 (1)當(dāng)x-1時，原方程變形為x2x-a=0當(dāng)=14a0(且a=-x1x0)，即a0時，的解為(2)當(dāng)x-1時，原方程為x2xa=0又x-1，即綜上所述，可得：當(dāng)a0時，原方程的解為例5 已知三角形中兩角之和為n，最大角比最小角大24°，求n的取值范圍解 設(shè)三角形的三個角度數(shù)分別是，且有 由題設(shè)-=24(1)若+=n，則=180°-n，=-24°156°-n，n-2n-156°所以156°-n2n-156°180°-n，所以 104°n112°(2)若=n，則=180°-n，于是所

5、以所以 112°n128°(3)若=n，則=180°-n，=+24°=204°-n，=n-=2n-204°于是180°- n2n-204°204°-n，所以 128°n136°綜上所述，n的取值范圍是104°n136°例6 證明：若p是大于5的質(zhì)數(shù)，則p2-1是24的倍數(shù)分析 關(guān)于整數(shù)的問題，我們常把它分成奇數(shù)和偶數(shù)(即按模2分類)來討論，有時也把整數(shù)按模3分成三類：3k，3k1，3k2一般地，可根據(jù)問題的需要，把整數(shù)按模n來分類本題我們按模6來分類證 把正整數(shù)按模

6、6分類，可分成6類：6k，6k+1，6k2，6k3，6k4，6k5因p是大于5的質(zhì)數(shù)，故p只能屬于6k+1，6k+5這兩類當(dāng)p=6k1時，p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)因k，3k1中必有一個偶數(shù)，此時24p2-1當(dāng)p=6k5時，p2-1=36k260k24 12k212k =12k(k1)0(mod 24)所以，P2-1是24的倍數(shù)例7 證明A=x-y+x+y-2z+x-y+x+y+2z 4maxx，y，z，其中maxx，y，z表示x，y，z這三個數(shù)中的最大者分析 欲證的等式中含有三個絕對值符號，且其中一個在另一個內(nèi)，要把絕對值去掉似乎較為困難，但等式的另一邊對我們有所提示，如

7、果x為x，y，z中的最大者，即證A=4x，依次再考慮y，z是它們中的最大值便可證得證 (1)當(dāng)xy，xz時，A=x-y+x+y-2zx-y+x+y+2z =2x-2z+2x+2z=4x. (2)當(dāng)yz，yx時，A=y-x+x+y-2z+y-x+x+y+2z =2y-2z+2y+2z=4y(3)當(dāng)zx，zy時，因為x-yxy=maxx，y2z，所以A=2z-x-y-x-y+x-y+x+y+2z=4z從而 A=4maxx，y，z例8 在1×3的矩形內(nèi)不重疊地放兩個與大矩形相似的小矩形，且每個小矩形的每條邊相應(yīng)地與大矩形的一條邊平行，求兩個小矩形周長和的最大值解 兩個小矩形的放置情況有如下幾種：(2)兩個小矩形都“橫放”，如圖2-124及圖2-125所示，這時兩個小矩形的周長和的最大值是2(a3a)21-a3(1-a)8(3)兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”，如圖2-126，這時兩個小矩形的周長和為練習(xí)二十一1解不等式：x+1x22解關(guān)于x的不等式：a(ax-1)