黑體輻射公式的推導(dǎo)

1、普朗克和瑞利-金斯黑體輻射公式的推導(dǎo)1引言馬克斯噌朗克于1900年建立了黑體輻射定律的公式，并于1901年發(fā)表。其LI的是改進(jìn)山威廉維恩提出的維恩近似（至于描述黑體輻射的另一公式：III 瑞利勛爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立時(shí)間要稍晚于普朗克定律。 山此可見(jiàn)瑞利-金斯公式所導(dǎo)致的“紫外災(zāi)難”并不是普朗克建立黑體輻射定律 的動(dòng)機(jī)）。維恩近似在短波范圍內(nèi)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相當(dāng)符合，但在長(zhǎng)波范圉內(nèi)偏差較 大；而瑞利-金斯公式則正好相反。普朗克得到的公式則在全波段范圉內(nèi)都和實(shí) 驗(yàn)結(jié)果符合得相當(dāng)好。在推導(dǎo)過(guò)程中，普朗克考慮將電磁場(chǎng)的能量按照物質(zhì)中帶 電振子的不同振動(dòng)模式分布。得到普朗克公式的前提假設(shè)是

2、這些振子的能量只能 取某些基本能量單位的整數(shù)倍，這些基本能量單位只與電磁波的頻率有關(guān)，并且 和頻率成正比。這即是普朗克的能量量子化假說(shuō)，這一假說(shuō)的提出比愛(ài)因斯坦為解釋光電效應(yīng)而 提出的光子概念還要至少早五年。然而普朗克并沒(méi)有像愛(ài)因斯坦那樣假設(shè)電磁波 本身即是具有分立能量的量子化的波束，他認(rèn)為這種量子化只不過(guò)是對(duì)于處在封 閉區(qū)域所形成的腔（也就是構(gòu)成物質(zhì)的原子）內(nèi)的微小振子而言的，用半經(jīng)典的 語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是束縛態(tài)必然導(dǎo)出量子化。普朗克沒(méi)能為這一量子化假設(shè)給出更多的 物理解釋，他只是相信這是一種數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)手段，從而能夠使理論和經(jīng)驗(yàn)上的 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在全波段范圍內(nèi)符合。不過(guò)最終普朗克的量子化假說(shuō)和愛(ài)因斯

3、坦的光子 假說(shuō)都成為了量子力學(xué)的基石。2公式推導(dǎo)2. 1普朗克公式和瑞利-金斯公式的推導(dǎo)黑體是指在任何溫度下，對(duì)于各種波長(zhǎng)的電磁輻射的吸收系數(shù)恒等于1的物體。黑體輻射的能量是山電磁場(chǎng)的本征振動(dòng)引起的，為簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程，在此將黑 體簡(jiǎn)化為邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形諧振腔。則腔內(nèi)的電磁場(chǎng)滿足亥姆霍茲方程:V2u+k2u = 0(k2 = CD1(1)用分離變量法，令 u(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)則(1)式可分解為三個(gè)方程:d2Ydy2kyY = °d2Z其中k： +疋=卅/ns得(1)式的駐波解為:y,z) = (q coskxx + dx sinkxx)(c2 coskyy +

4、d2 sinkyy) (c3 cosk_z + d3 sin k_z)5E 八由在 x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的邊界條件= °及 D-E = 0可得：Ex = Aj cosZ:vxsinkyy sin k_z< Ey = A. sinZ:vxcoskyy sin k_zE_ = sinZ:vxsin kyycosk_zf TC f 71.715=r，k產(chǎn)嚴(yán),心=廣化=°丄2,(其中 4，A2, £ 滿足關(guān)系 k.A + kyA2 + kA = 0)則kj q表示第j個(gè)本征態(tài))的絕對(duì)值為：2/ C 2 少換成第j個(gè)本征態(tài)的頻率得：Vj

5、= 當(dāng)L » Aj時(shí)，久丿和匕可視為連續(xù)變化，不必取分立值，即有:7 z C 77v吩"(2)式表明在整數(shù)n空間一組整數(shù)©，勺,，代即對(duì)應(yīng)一個(gè)本征模的頻率。因此， 頻率區(qū)間!/內(nèi)的本征模數(shù)，在數(shù)值上等于整數(shù)n空間內(nèi)數(shù)值半徑由 nn+n范圍內(nèi)球殼體積的八分之一(這是因?yàn)槭噶坑腥齻€(gè)分量，每一 個(gè)分量都為正數(shù)時(shí)的概率為l/8)o,即:(V為腔的體積)dN(y) = 4兀斥,?=4龍(2)'/"=處/ -aV-VB cc乂因?yàn)槊恳粋€(gè)頻率為v的單色平面波還存在著兩個(gè)獨(dú)立的相互垂直的偏振態(tài),則頻率間隔內(nèi)的本征模數(shù)為:dN(v)-S/rV ° , 一

6、 vdv設(shè)云(7» 表示溫度為T(mén),頻率為V的本征振動(dòng)的平均能量, pQ v)為 相應(yīng)的能量密度，則振動(dòng)頻率在V到v + dv之間的能量為：V p(T, v)Jy = E(T, v)c/N(v)=也學(xué) v2?(T, v)dvP(T")二賢心(7»本征振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，3由三維諧振子的能量本征值：En =+ )/7V(n=0, 1, 2)系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，處于各本征能量的諧振子分布遵從麥克斯韋波爾茲曼 分布律：E即：N© ccexp(掙)E”優(yōu) exp(-掙)(4)£7xr)二工 exp(-0即n則(4)式可改寫(xiě)為:云(7>)=1 dZ1d

7、pIII3Z =工 exp(-0£J = exp-(n + -)/zv nn/3=exp(-hv) exp(-/? /3 hv)2nexp(- /7v)l-exp(-y0Av)所以:M(7» =丄也Z d卩hv代入(3)式得:/9(r,v)jv =鬥冷(7>)一8也/“cc,hv現(xiàn)(莎)-1p(T,入)d2 -=豎/必幾 exp(上-)-1AkT此即為普朗克黑體輻射公式。若按經(jīng)典理論，曲熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理的能量均分定理可知平均能量為:s(T,v) = kT則：/?(T,v)Jy =8tvc3v28(T.v)dv =-kTv2dvp(TA)dA =8/rkTd九此即為瑞利

8、金斯黑體輻射公式。rQ» "ire 1口 ©£3File Edit ViewInsert Tods Desktop WindowHdp> a d (ji區(qū)君電必目| 回2.2仿真曲線兩公式Q 兄關(guān)系如下圖，藍(lán)色線為普IM克公式曲線，紅色為瑞利金斯公式曲 線，從高到低分別為5000K、4500K、4000K、3500K、3000K時(shí)的曲線。孑 Edhor Untklod"f c=> | m if g !1' c.t <» x'A-*'習(xí)毘|io *丁 “ "紡軟01 h-626H0-34.2 c=?<10*9:3 k=l.3S<10-23;4 t=5000.5 5£=0:10*-9:3*10-66 Erot i=)：57 p=3»pi»h<c. /<x. *5. *<*xpih>c/i/)c. 7x)-1)>:8 plot <x p,* bz),hold cti;99 - end10 23000.11 y-l.3*)O*-5;)O12 for j=l:5Mq=S«pi>k<t./y. '