高二數(shù)學(xué)橢圓知識(shí)點(diǎn)整理

1、第1講 課題：橢圓課 型：復(fù)習(xí)鞏固 上課時(shí)間：2013年10月3日教學(xué)目標(biāo)： （1）了解圓錐曲線的來(lái)歷；（2）理解橢圓的定義；（3）理解橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程；（4）掌握橢圓離心率的計(jì)算方法；（5）掌握有關(guān)橢圓的參數(shù)取值范圍的問(wèn)題；教學(xué)重點(diǎn)：橢圓方程、離心率； 教學(xué)難點(diǎn)：與橢圓有關(guān)的參數(shù)取值問(wèn)題； &知識(shí)清單一、橢圓的定義：(1) 橢圓的第一定義:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)(大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 說(shuō)明：兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)；兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距. (2) 橢圓的第二定義：平面上到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓. 橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化

2、為到準(zhǔn)線的距離.二、橢圓的數(shù)學(xué)表達(dá)式：;三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸: ；焦點(diǎn)在軸: .說(shuō)明：是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，是短半軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)始終在長(zhǎng)軸所在的數(shù)軸上，且滿(mǎn)足四、二元二次方程表示橢圓的充要條件方程表示橢圓的條件：上式化為，.所以，只有同號(hào)，且時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上.五、橢圓的幾何性質(zhì)（以為例）1. 范圍: 由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式，即說(shuō)明橢圓位于直線和所圍成的矩形里（封閉曲線）.該性質(zhì)主要用于求最值、軌跡檢驗(yàn)等問(wèn)題.2.對(duì)稱(chēng)性:關(guān)于原點(diǎn)、軸、軸對(duì)稱(chēng)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心。3.頂點(diǎn)（橢圓和它的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)） 有四個(gè)：4.

3、 長(zhǎng)軸、短軸：叫橢圓的長(zhǎng)軸，是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)； 叫橢圓的短軸，是短半軸長(zhǎng).5.離心率 （1）橢圓焦距與長(zhǎng)軸的比，（2）,，即.這是橢圓的特征三角形，并且的值是橢圓的離心率.（3）橢圓的圓扁程度由離心率的大小確定，與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無(wú)關(guān).當(dāng)接近于1時(shí)，越接近于，從而越小，橢圓越扁；當(dāng)接近于0時(shí)，越接近于0，從而越大，橢圓越接近圓；當(dāng)時(shí)，兩焦點(diǎn)重合，圖形是圓. 6.通徑（過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦），通徑長(zhǎng)為.7.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，構(gòu)成了一個(gè)三角形焦點(diǎn)三角形. 依橢圓的定義知：.&例題選講 一、選擇題1橢圓的離心率為（ ）A B C D2設(shè)是橢圓上的點(diǎn)若

4、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于（ ）A 4 B5 C 8 D10 3若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則m=（ ）ABCD4已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是（ ）A2 B6 C4 D125如圖，直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1和 一個(gè)頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為（ ）A B C D6已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（ ）A B C D7已知以F1（-2,0），F(xiàn)2（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）AB C D二、填空

5、題：8 在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率 9 已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 10在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則 .11橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)為A，以A為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是_ 三、解答題12已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求的值13已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程14已知方程表示橢圓，求的取值范圍15已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍16. 求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的橢圓方程導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義 1. 函數(shù)的

6、平均變化率：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：。 2. 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若無(wú)限趨近于0時(shí)，比值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱(chēng)函數(shù)在處可導(dǎo)，并稱(chēng)該常數(shù)A為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作。函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。 3. 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率：；（3）取極限，當(dāng)無(wú)限趨近與0時(shí)，無(wú)限趨近與一個(gè)常數(shù)A，則. 4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步： （1）求出在x0處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線在點(diǎn)處的切線的斜率； （2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為。 當(dāng)點(diǎn)不在上

7、時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線方程，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入確定切點(diǎn)。特別地，如果曲線在點(diǎn)處的切線平行與y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為。 5. 導(dǎo)數(shù)的物理意義：質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的位移S是時(shí)間t的函數(shù)，則表示瞬時(shí)速度，表示瞬時(shí)加速度。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1. 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）(k, b為常數(shù))；（2）(C為常數(shù))；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（為常數(shù)）；（9）； （10）；（11）；（12）；（13）；（14）。 2. 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）（C為常數(shù)）； （3）; （4）。 3. 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 若，則，

8、即。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1. 求函數(shù)的單調(diào)性： 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， （1）如果恒，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)； （2）如果恒，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)； （3）如果恒，則函數(shù)在區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：求函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；解不等式，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過(guò)來(lái), 也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題（如確定參數(shù)的取值范圍）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則(其中使的值不構(gòu)成區(qū)間)；(2) 如果函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則(其中使的值不構(gòu)成區(qū)間)；(3) 如果函數(shù)

9、在區(qū)間上為常數(shù)函數(shù),則恒成立。 2. 求函數(shù)的極值： 設(shè)函數(shù)在及其附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有（或），則稱(chēng)是函數(shù)的極小值（或極大值）?？蓪?dǎo)函數(shù)的極值，可通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的全部實(shí)根，順次將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，并列表：x變化時(shí)，和值的變化情況：x正負(fù)0正負(fù)0正負(fù)單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性 （4）檢查的符號(hào)并由表格判斷極值。 3. 求函數(shù)的最大值與最小值： 如果函數(shù)在定義域I內(nèi)存在，使得對(duì)任意的，總有，則稱(chēng)為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的步驟： （1）求在區(qū)間上的極值； （2）將第一步中求得的極值與比較，得到在區(qū)間上的最大值與最小值。 4. 解決不等式的有關(guān)問(wèn)題：（1）不等式恒成立問(wèn)題（絕對(duì)不等式問(wèn)題）可考慮值域。的值域是時(shí)，不等式恒成立的充要條件是，即；不等式恒成立的充要條件是，即。的值域是時(shí)，不等式恒