倒易點(diǎn)陣習(xí)題集

1、word格式整理版例題 21體心立方和面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 證明體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是面心立方點(diǎn)陣反之，面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是體心立方點(diǎn)陣 證明選體心立方點(diǎn)陣的初基矢量如圖18所示，其中a是立方晶胞邊長(zhǎng)，是平行于立方體邊的正交的單位矢量。初基晶胞體積根據(jù)式(21)計(jì)算倒易點(diǎn)陣矢量于是有：顯然正是面心立方點(diǎn)陣的初基矢量，故體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是面心立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長(zhǎng)是 同理，對(duì)面心立方點(diǎn)陣寫(xiě)出初基矢量如圖1.10所示。初基晶胞體積。根據(jù)式(21)計(jì)算倒易點(diǎn)陣矢量顯然，正是體心立方點(diǎn)陣的初基矢量，故面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣為體心立方點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長(zhǎng)是22 (a) 證明倒易點(diǎn)陣初基晶胞

2、的體積是，這里是晶體點(diǎn)陣初基晶胞的體積；(b) 證明倒易點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是晶體點(diǎn)陣自身證明(a) 倒易點(diǎn)陣初基晶胞體積為，現(xiàn)計(jì)算由式(21)知，此處而這里引用了公式：。由于，故有而故有或?qū)懗傻挂c(diǎn)陣初基晶胞體積為晶體點(diǎn)陣初基晶胞體積倒數(shù)的倍。(b) 現(xiàn)要證明晶體點(diǎn)陣初基矢量滿(mǎn)足關(guān)系有前面知：令又知 ，代入上式得：同理 可見(jiàn)，倒易點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣正是晶體點(diǎn)陣自身23 面間距 考慮晶體中一組互相平行的點(diǎn)陣平面(hkl)，(a) 證明倒易點(diǎn)陣矢量垂直于這組平面(hkl)；(b) 證明兩個(gè)相鄰的點(diǎn)陣平面間的距離d(hkl)為：(c) 證明對(duì)初基矢量互相正交的晶體點(diǎn)陣，有(d) 證明對(duì)簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣有證明(a

3、) 參看圖23，在平面族(hkl)中，距原點(diǎn)最近的點(diǎn)陣平面ABC在三個(gè)晶軸上的截距分別是 現(xiàn)要證明G(hkl)垂直于A(yíng)BC，只需證明G(hkl)垂直于平面ABC上的兩個(gè)矢量CA和CB即可，用倒易點(diǎn)陣基矢與晶體點(diǎn)陣基矢間的正交關(guān)系式(22)，立即可得同理，故G(hkl)垂直于點(diǎn)陣平面(hkl)(b) 點(diǎn)陣平面(hkl)的面間距d(hkl)為(c) 如果晶體點(diǎn)陣的初基矢量彼此正交，則倒易點(diǎn)陣的初基矢量也必然彼此正交設(shè) 由倒易點(diǎn)陣基矢的定義及 得于是面間距為(d) 對(duì)立方晶系中的簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣，用(c)的結(jié)果可得24 二維倒易點(diǎn)陣 一個(gè)二維晶體點(diǎn)陣由邊長(zhǎng)AB4，AC=3，夾角BAC的平行四邊形ABCD

4、重復(fù)而成，試求倒易點(diǎn)陣的初基矢量解 解法之一參看圖24，晶體點(diǎn)陣初基矢量為 用正交關(guān)系式(22)求出倒易點(diǎn)陣初基矢量。設(shè)由得到下面四個(gè)方程式 (1) (2) (3) (4)由式(1)得： 由式(2)得： ，即解得： 由式(3)得： 代入式(4)得： 于是得出倒易點(diǎn)陣基矢解法之二選取為方向的單位矢量，即令于是初基晶胞體積為倒易點(diǎn)陣基矢為對(duì)二維點(diǎn)陣，僅取兩個(gè)方向，于是得25 簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣的初基矢量可以取為(a)證明簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣，其點(diǎn)陣常數(shù)為2c和，并且相對(duì)于正點(diǎn)陣轉(zhuǎn)動(dòng)了30°角；(b)當(dāng)比率ca取什么值時(shí)，正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣的這個(gè)比率有相同

5、數(shù)值?如果正點(diǎn)陣的ca比率取理想值，倒易點(diǎn)陣的這個(gè)比率又是多少?(c)繪出簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)，并計(jì)算其體積解(a)選取簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣的初基矢量如圖25所示初基晶胞體積為倒易點(diǎn)陣初基矢量為或?qū)憺橥c(diǎn)陣初基矢量比較看出，所確定的點(diǎn)陣仍是簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣，點(diǎn)陣常數(shù)為和，并相對(duì)于正點(diǎn)陣?yán)@轉(zhuǎn)動(dòng)了30°角(見(jiàn)圖26)。(b)設(shè)倒易點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)比為，出(a)可知若，則有故當(dāng)正點(diǎn)陣的值為時(shí)，倒易點(diǎn)陣的和正點(diǎn)陣的有相同值。若正點(diǎn)陣ca，則倒易點(diǎn)陣的為故當(dāng)正點(diǎn)陣的ca為理想值時(shí)，倒易點(diǎn)陣的這個(gè)比值為0.53(c)簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)即倒易簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣的WS晶胞顯然為一六角正棱柱(如圖27)，

6、其體積為即倒易簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣初基晶胞的體積為26 底心正交點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 證明底心正交點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為底心正交點(diǎn)陣證明底心正交點(diǎn)陣的慣用晶胞如圖28所示選取初基矢量為初基晶胞體積為倒易點(diǎn)陣基矢為由圖29可以看出，這組基矢所確定的仍是一底心正交點(diǎn)陣，點(diǎn)陣常數(shù)為。 27 三角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 三角點(diǎn)陣初基矢量具有相等長(zhǎng)度a，彼此夾角為，試證明三角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為三角點(diǎn)陣，且倒易點(diǎn)陣初基矢量的長(zhǎng)度為。 其中是倒易點(diǎn)陣初基矢量間的夾角，滿(mǎn)足 -cos*cos(1+cos) 證明三角點(diǎn)陣三個(gè)初基矢量的大小相等，且彼此夾角亦相等現(xiàn)令初基矢量為 (1)參見(jiàn)圖2.10，是在x、y、z三個(gè)方向的方向余弦。由得

7、(2)由得 (3)于是有 (4)由倒易點(diǎn)陣基矢的定義可知分別垂直于正點(diǎn)陣初基晶胞的平面，且有相同長(zhǎng)度， (5)將 (6)代入上式得 (7)彼此間應(yīng)有相間夾角設(shè)間的夾角為，利用公式上式化為 (8)同理可以證明任意二矢量間的夾角均為此值。為了計(jì)算，利用式(4)得到代入式(7)得 (9)2.8 點(diǎn)陣平面上的陣點(diǎn)密度(a) 證明點(diǎn)陣平面上的陣點(diǎn)密度（單位面積上的陣點(diǎn)數(shù)），這里是初基晶胞的體積，d是該點(diǎn)陣平面所屬的平面族中相鄰兩點(diǎn)陣平面之間的距離；(b) 證明面心立方點(diǎn)陣陣點(diǎn)密度最大的平面是111面，體心立方點(diǎn)陣陣點(diǎn)密度最大的平面是110面證明(a) 考慮晶體點(diǎn)陣中相鄰二平行點(diǎn)陣平面所構(gòu)成的平行六面體，

8、如圖211所示設(shè)該平行六面體中包含n個(gè)陣點(diǎn)，它的體積為或?qū)憺槠渲蠥是所考慮的平行六面體底面的面積，d是它的高由以上二式得于是點(diǎn)陣平面上的密度為(b) 由(a)可知，面間距d較大的點(diǎn)陣平面也有較大的陣點(diǎn)密度由倒易點(diǎn)陣矢量與面間距d的關(guān)系可知，倒易點(diǎn)陣矢量G(hkl)越短，與之垂直的點(diǎn)陣平面(hkl)兩點(diǎn)密度也就越大面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是體心立方點(diǎn)陣，其初基矢量都是最短的倒易點(diǎn)陣矢量，并都在立方晶胞的<111>方向，故111平面有最大的陣點(diǎn)密度體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是面心立方點(diǎn)陣，其初基矢量也都是最短的倒易點(diǎn)陣矢量，并都沿立方晶胞的110方向，故110平面是體心立方點(diǎn)陣陣點(diǎn)密度最大的

9、平面29 單斜點(diǎn)陣的面間距 已知平面族(hkl)的面間距與倒易點(diǎn)陣矢量G(hkl)間的關(guān)系為其中，試證明單斜點(diǎn)陣的面間距d(hkl)由下式?jīng)Q定其中是單斜點(diǎn)陣慣用晶胞的三個(gè)邊長(zhǎng)，為間的夾角，（參看圖2.12） 證明：?jiǎn)涡秉c(diǎn)陣慣用晶腦的幾何特征是 初基晶胞的體積為(hkl)平面族的面間距為要計(jì)算d(hkl)，除了計(jì)算各倒易點(diǎn)陣基矢的長(zhǎng)度外，還要求出它們之間的標(biāo)量積，由倒易點(diǎn)陣基矢的定義此外，有代入d(hkl)的表達(dá)式中得210 外斯晶帶定律 屬于同一晶帶的晶面彼此的交線(xiàn)相互平行，這些平行的晶棱的共同方向稱(chēng)為晶帶軸的方向，試證明，(a) 晶帶軸uvw與該晶帶中的平面(hkl)滿(mǎn)足關(guān)系(b) 證明晶面

10、()，()，()屬于同一晶帶的條件是證明(a) 以晶面指數(shù)(hkl)為指數(shù)的倒易點(diǎn)陣矢量G(hkl)是與晶面垂直的最短倒易點(diǎn)陣矢量，于是 必定在晶面(hkl)法線(xiàn)方向而晶帶軸uvw的方向矢量為. 既然晶帶軸是以晶帶中互相平行的交線(xiàn)為方向，帶軸和屬于該晶帶的晶面總是相互平行的，于是行 用晶體點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣基矢間的正交關(guān)系直接可得(b) 既然屬于同一晶帶，由(a)有由于不同時(shí)為零，上述方程組的系數(shù)行列式必定為零，即211 一個(gè)單胞的尺寸為，試求：(a)倒易點(diǎn)陣單胞基矢；(b)倒易點(diǎn)陣單胞體積；(c)(210)平面的面間距；(d)此類(lèi)平面反射的布喇格角(己知154Å)解(a)畫(huà)出此單胞如圖213所示 寫(xiě)出晶體點(diǎn)陣單胞基矢如下：晶體點(diǎn)陣的單胞體積為( Å)3倒易點(diǎn)陣單胞的基矢為(b) 倒易點(diǎn)陣單細(xì)體積為(Å)-3(c) 與晶面(hkl)垂直的最短倒易點(diǎn)陣矢量為(Å)-1 Å(d)(210)面反射的布喇格角為 212 (a)從體心立方結(jié)構(gòu)鐵的(110)平面來(lái)的X-射線(xiàn)反射的布喇格角為22°，X-射線(xiàn)波長(zhǎng)154Å，試計(jì)算鐵的立方晶胞邊長(zhǎng)；(b)從體心立方結(jié)構(gòu)鐵的(111)平面來(lái)的反射布喇格角是多少?(c)已