旋轉(zhuǎn)中的勾股定理

1、如圖所示，在Rt三角形ABC中，AB=AC,BAC=90°，DAE=45°，且BD=3，CE=4,求DE的長(zhǎng)。已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC.(1)將PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到P'CB的位置（如圖）設(shè)AB的長(zhǎng)為a，PB的長(zhǎng)為b(b<a)，求PAB旋轉(zhuǎn)到P'CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積；若PA =2，PB =4，APB =135 o，求PC的長(zhǎng)(2)如圖，若PA2+ PC2 =2PB2，請(qǐng)說明點(diǎn)P必在對(duì)角線AC上如圖，在凸四邊形中，ABC=30°，ADC=60°，AD=DC

2、（1）如圖，若連接AC，則ADC的形狀是 等邊三角形你是根據(jù)哪個(gè)判定定理？（2）如圖，若在四邊形ABCD的外部以BC為一邊作等邊BCE，并連接AE，請(qǐng)問：BD與AE相等嗎？若相等，請(qǐng)加以證明；若不相等，請(qǐng)說明理由（3）在第（2）題的前提下，請(qǐng)你說明BD2=AB2+BC2成立的理由已知RtABC中，ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑的長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N。（1）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，求證：MN2=AM2+BN2；（思路點(diǎn)撥：考慮MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化

3、為在直角三角形中解決，可將ACM沿直線CE對(duì)折，得DCM，連DN，只需證DN=BN，MDN=90°就可以了，請(qǐng)你完成證明過程。）（2）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，關(guān)系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。如圖，在等腰三角形ABC中，A=90°，D為BC邊上的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE垂直DF，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若BE=12，F(xiàn)C=5，求的面積。如圖，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF（1）請(qǐng)說明：DE=DF；（2）請(qǐng)說明：BE2+CF2=EF2；（3）若BE=6

4、，CF=8，求SDEF的面積（直接寫結(jié)果）等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P,AP=3,BP=4,CP=5,則角APB度數(shù)為？如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a0）（1）求APB的度數(shù)；（2）求正方形ABCD的面積（2）APQ=APB+BPQ=135°+45°=180°，三點(diǎn)A、P、Q在同一直線上，請(qǐng)閱讀下列材料問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)李明同學(xué)的思路是：將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）連接PP，可得PPB是等邊

5、三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）所以APB=150°，而BPC=APB=150°進(jìn)而求出等邊ABC的邊長(zhǎng)為問題得到解決請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng)閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖（1），等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)P若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,C,的距離分別為3，4，5(1)如圖，等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)P若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5則APB=_，由于PA，PB不在一個(gè)三角形中，為了解決本題我們可以將ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ACP處，此時(shí)ACP_這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中從而求出APB的度數(shù)(2)請(qǐng)你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖，ABC中，CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)且EAF=45°，求證：EF²=BE²+FC² 2.如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作，且BQ=BP，連結(jié)CQ、PQ，若