數理金融初步

1、（1章）6從52張撲克隨機抽出兩張牌。如果已知兩張的花色不同，則他們都是A的條件概率是多少？ 解：設第一次取出A的事件為A1，第二次取出不同花色A的事件為A2,則p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1) 因為p(A1)=4/52=1/13 p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13,所以p(A1A2)=1/1697若A,B獨立，證明下列事件也獨立：a)A和Bc b)Ac和Bc證明：a)因為p（B）+p(Bc)=1,p(B/A)+P(Bc/A)=1,所以p(BcA)=p(A)xp(Bc/A)=p(A)1-p(B/A)=p(A) -p(A)p(B)=p(A)1-p(B)=p(A)p(B

2、c),所以A和Bc獨立 b)p(Ac)p(Bc)=p(Bc)p(Ac/Bc)=p(Bc)1-p(A/Bc)=p(Bc)-p(Bc)p(A/Bc)=p(Bc)-p(AcB c)=p(Bc)-p(A)P(Bc)=p(Bc)1-p(A)=p(Bc)p(Ac),所以Ac和Bc獨立。9四輛公共汽車載著152位學生從同一學校出發(fā)去足球場。四輛車分別載乘39,33,46,34位學生。如果從152位學生中任意選取一位，記X為被選中的學生所乘坐的汽車里的學生數。四輛公共汽車的司機也隨機選取一位，令Y為那位司機駕駛的汽車里的乘坐學生人數。a)你認為E（X）和E（Y）哪一個大？ b)求出E(X)和E(Y)解：a)E

3、(X)大。b)由題意知X可取39,33,46,34 。Y可取39,33,46,34。所以X=39,p(x)=39/152, x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152, x=34,p(x)=34/152,同理p(Y=39)=1/4P(Y=33)=1/4, P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,所以E（X）=39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=38.697 E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=3810兩位選手比賽兵兵球，當一個選手贏了兩局時比賽結束。設每位選手贏每一局概率

4、相等，且每一局的結果都是獨立的。求比賽總局數的期望值和方差。 解：設x為比賽的總局數，則x可取2,3，則p(x=2)=1/2x1/2x2=1/2, p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2 E(X)=2x1/2+3x1/2=5/2, x2=4,9 , p(x2=4)=1/2,p(x2=9)=1/2,E(x2)=4x1/2+9x1/2=13/2 所以var(x)=E(x2)-E(x)2=13/2-(5/2)2=1/4.11. 證明 證明：12一位律師要決定收取固定費用5000美元，還是收取勝訴酬金25000美元（輸掉則一無所獲）。他估計打贏的概率為0.3，求他收取的費用的均值和方差，如

5、果a)收取固定費用b)收取勝訴酬金費用。解：a)由題意知x=5000,p(x=5000)=1,E(x)=5000x1=5000,E(x2)=50002x1=25000000,var(x)=E(x2)-E(x)2=0,所以s=0. b)由題意知x=0,25000,則p(x=0)=1-0.3=0.7, p(x=25000)=0.3,E(x)=0.7x0+25000x0.3=7500, E(x2)=0x0.7+(25000)2x0.3=187500000,var(x)= E(x2)-E(x)2=131250000S=根號下var(x)=11456.43914. 證明：證明： 18設任意給定的時間內，

6、某股票價格只能等概率的增加1或減少1，且不同時期股票變化是獨立的。記X為股票在第一時間段內增加1或減少1的數量，Y為前三段時間內累計上升的數量，求X,Y相關性。 解：E（X）=0, E(X2)=1,var(x)=E(X2)-E(X)2=1 E(Y)=0,E(Y2)=3,var(y)=E(Y2)-E(Y)2=3 E(XY)=1,Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=1,所以X,Y呈正相關。（2章）4設x為正態(tài)隨機變量，均值為u，方差為&2,y=a+bx,如果y和x服從相同的分布，求a和b的值（a不等于0），并求出Cov(x,y). 解：因為E(X)=u,var(x)=&2,y=a+b

7、x,所以E(Y)=a+bu,var(y)=b2u2,又因為x和y服從相同的分布，所以a+bu=u, &2=b2&2,因為a不等于0，所以b=-1,a=2u,即y=2u-x, Cov(x,y)=cov(x,a+bx)=cov(x,a)+bCov(x,x)= -&2.5成年男子的血液收縮壓服從均值為127.7，標準差為19.2的正態(tài)分布，求：a)68%的成年男子血液收縮壓的取值范圍。b)95%的成年男子血液收縮壓的取值范圍。c)99.9%成年男子血液收縮壓的取值范圍。 解：a)設陳年男子血液收縮壓為X, E為對應的正態(tài)隨機變量，即E=（X-127）/19.2 u=127.7,&=19.2,所以|&

8、|=19=0.682,所以-1=(E-127.7)/19.2=1,即108.5=E,所以取值范圍為 108.5,146.9 b)由表可得p|E|=2=0.9544,即-2=(E-127.7)/19.2=2,89.3=E=166.1,所以取值范圍89.3,166.1 c) p|E|=3=0.9974,即-3=(E-127.7)/19.2=3,解得70.1=E=185.3,所以取值范圍70.1,185.3.第4章1若10%的名義利率分別為：a)半年計息一次的復利 b)每季度計息一次的復利 c)連續(xù)復利其對應的有效利率分別是多少？解：a)reff=(1+r/2)2-1=10.25% b)reff=(

9、1+r/4)4-1=10.38% c)er-1=10.522將錢存入銀行，銀行支付的名義利率為10%。如果利率是連續(xù)復利利率，多久存入的錢是原來的兩倍？ 解：pert=2p e10%t=2 t=6.93 需要7年才能變?yōu)樵瓉淼膬杀?如果利率為5%,每年計息一次，那么大約要多少年才能使你的錢變?yōu)樵瓉淼?倍？如果利率變?yōu)?%又要多少年？解：p(1+r)n=4p 當r=5%時，（1+0.05)n=4,n=28.41。當然r=4%，(1+0.04)n=4,n=35.354如果利率為年復利利率r,請給出一個公式，用它來估計多少年使你的錢變?yōu)樵瓉淼?倍。 解：由lim p(1+r/n)nt=pert pe

10、rt=3p,ert=3 t=lin3/r5假設年名義利率固定在6%，每月計息一次。在未來60個月中，每月需要投資多少錢，才能在60個月后得到100000美元？解：p(1+r/12)+(1+r/12)2+（1+r/12)60=100000 pX1+r/121-(1+r/12)60/1-(1+r/12)=100000pX1.005(1-1.35)/-0.05=100000 p=100000/70.37=1421.46,所以每月需要投資1421.46美元。6一個投資的年現金流：-1000，-1200,800,900,800.年利率為6%。對于一個既可以借款也可以存款的的人，這是否是一個值得的投資？

11、解：現值=-1000+-1200/(1+60%)+800/(1+60%)2+900/(1+60%)3+800/(1+60%)4 =-1000+(-1132.08)+712+755.66+633.67=-30.756000, r=5%時，10000e-rt=10000e-5%x10=6065.3 6000, r=10%時，10000e-rt=10000e-10%x10=3678.8600023考慮下面兩個現金流，其中每一個現金流都是在i年后得到第i次支付：100,140,131,和90,160，120 如果不知道利率，能夠說出哪一個現金流更可??？ 解：設利率為r，則100/(1+r)+140/(

12、1+r)2+131/(1+r)3-90/(1+r)+160/(1+r)2+120/(1+r)3=11/(1+r)3 -20/(1+r)2+10/(1+r), 令t=1/(1+r),0t1,則原式=t(11t2-20t+10)=f(t),=400-4x11x100即第一種更可取。24 a)一個初始成本為100的投資，兩年后收益110，求該投資的年收益率。 b)一個初始成本為100的投資，兩年后或收益120，或收益100，且兩種結果是等可能的，求年收益率的期望值。 解a)100(1+r)2=110,則r=0.05 b)100(1+r1)2=120,r1=0.095,100(1+r2)2=100,r

13、2=0,E(r)=1/2r1+1/2r2=0.0526一個初始成本為100的投資，第一年末回報40，第二年末回報70，求該投資的收益率，如果第一年末回報70，第二年末回報40，收益率又是多少？解：設第一種投資的收益率為r1,第二種投資的收益率為r2,則40/(1+r1)+70/(1+r1)2=100,r1=0.06=6% 70/(1+r2)+40/(1+r2)2=100,r2=0.75=75%.28一個初始成本為100的投資，在第i個周期末收到的回報為Xi（i=1,2）,其中X1，X2是相互獨立的正態(tài)隨機變量，均值為60，方差為25。該投資回報率大于10%的概率是多少？ 解：E（X1+X2）=

14、120，Var(X1+X2)=50,P(X1+X2110)=P(E(110-120)/5 )=p(x1+x2-10/5 )=1-o(-10/5 )= 0.9207,概率是0.9207.5.5令C是一個看漲期權的價格，這個期權可以在t時刻以價格K買入一個證券，S是這個證券現在的價格，r是利率。請寫出一個包含C、S和的不等式，并給出證明。證明：S-CK，看漲期權將被執(zhí)行，K-（S-C）0，所以S-CK時，看跌期權毫無價值，則以K的價格賣出證券，當S（t）K，則執(zhí)行看跌期權，則（P+S）K，所以P-S5.10請使用一價律證明看跌-看漲期權平價公式。證明：構造兩個投資組合，（1）0時刻買入一份股票及一

15、個看跌期權，成本S+P。（2）0時刻買入一份看漲期權并加上金額為，現金成本C+，在時刻t，假定股票價格為S（t），當S（t）K，對投資（1）來說價值S（t），投資（2）價值以=K買入一份股票，價值為S（t），當S（t）K時，投資（1）價值為K，綜上所述由一價律值：S+P=C+。5.5令C是一個看漲期權的價格，這個期權可以在t時刻以價格K買入一個證券，S是這個證券現在的價格，r是利率。請寫出一個包含C、S和的不等式，并給出證明。證明：S-CK，看漲期權將被執(zhí)行，所以S-CK時，看跌期權毫無價值，則以K的價格賣出證券，當S（t）K，那么以下的投資策略總可以得到正的收益：賣出一股股票，賣出一個看跌期權，并買入一個看漲期權。證明：如果S+P-CK，那么我們通過在0時刻購買一份股票，同時買入一個看漲期權，并賣出一個看跌期權，這個初始的投入S+P-C，在t時刻賣出如果S(t)=k，那么賣出的看跌期權無價值，則執(zhí)行看漲期權，迫使以K賣出，由于SK。6.7假設在每一個時間段內，一個證券的價值或者上漲為原來的兩倍或者下跌為原來的二分之一（即）。如果該證券的初始價格為100，求一個看漲期權的無套利價格這個期權允許持有者在兩個時間段結束時以