數(shù)列的綜合應(yīng)用二

1、§08 數(shù)列的綜合應(yīng)用（2）【基礎(chǔ)再現(xiàn)】1.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且 4a1，2a2，a3成等差數(shù)列若a11，則S4 答案：15意圖：在等差數(shù)列與等比數(shù)列項(xiàng)的基礎(chǔ)上構(gòu)成新數(shù)列2. 若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，c，a，b成等比數(shù)列，且a3bc10，則a的值為 答案：4意圖：等差數(shù)列與等比數(shù)列項(xiàng)的小綜合3.設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a12且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn 答案：意圖：在等差數(shù)列與等比數(shù)列項(xiàng)的基礎(chǔ)上構(gòu)成新數(shù)列4.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列，則q 答案：2意圖：在等差數(shù)列與等比數(shù)列項(xiàng)的基礎(chǔ)

2、上構(gòu)成新數(shù)列5. 觀察下列數(shù)表:12，34，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15則2 008是此表中的第 行的第 個(gè)數(shù)答案 11 985解析 由數(shù)表中數(shù)的排列規(guī)律可知，第n行中的第一個(gè)數(shù)為2n1，此行共有2n1個(gè)數(shù)由2n12 0082n，得10n11.2 008在第11行中，設(shè)為第m個(gè)數(shù).則有2 0081 024（m1）×1，m985.2 008是第11行中的第985個(gè)數(shù).意圖：數(shù)陣圖的問題，關(guān)鍵考察第一列數(shù)，通常通過行與行之間或者第一列數(shù)與行數(shù)的關(guān)系?！镜湫屠}】例1 已知數(shù)列an，anpq( p0，q0，pq，R，0，nN*)（1） 求證：數(shù)列 anpan 是等比

3、數(shù)列；（2） 數(shù)列an中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列？說明理由解：（1）anpq，anpanpqp(pq)q(qp)q0，pq，0，q為常數(shù)數(shù)列 anpan 是等比數(shù)列（2）取數(shù)列an的連續(xù)三項(xiàng)an，an，an2，nN*(an)anan2(pq)(pq)(pq)pq(pq)p0，q0，pq，0，pq(pq)0，即(an)anan2數(shù)列an中不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列意圖：子數(shù)列問題關(guān)于是否存在的問題，通常假定存在，再去證明成立或矛盾。例2 數(shù)列an、 bn 都是等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別記為Sn、Tn，滿足對一切nN*都有Sn3Tn（） 若a1 b1，試分別寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列an和 bn

4、；（） 若a1b11，數(shù)列cn滿足：cn4a(1)1·2b，求最大的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)nN*恒有cn1 cn成立解：（1）設(shè)數(shù)列an、 bn 的公差分別是d，d 則Sn3（n3）a1 d，Tn, nb d對一切nN*，有Sn3Tn(n3) a1 dnb d即n(a1d)n3a1 3dn(b1d)n 即故答案不唯一。例如取dd2，a1，2，b4，得an2n4， bn2n2（2）a1b11，又由（1），可得dd1，a1，1，b2 ann2， bnn1 cn4 n2(1)1·2 n1cn1cn4 n1(1)·2 n24 n2(1)1·2 n1·26(1)&

5、#183;2n當(dāng)nN*時(shí)恒有cn1 cn成立，即當(dāng)nN*時(shí)，·26(1)·2n0恒成立當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，·2恒成立，而·2，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，·2恒成立，而·2，的最大值是意圖：探求生成數(shù)列的性質(zhì) （1）第一問是利用解決等差數(shù)列的基本方法向首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)及公差轉(zhuǎn)化，然后得到等式恒成立的問題；（2）第二問實(shí)際上是由數(shù)列an、 bn 生成子數(shù)列并且給出子數(shù)列cn是遞增數(shù)列，不等式恒成立采用的分離變量。例3 將數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 已知表中的第一列數(shù)a1，

6、a2，a5，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為 bn ，且b24，b510，表中每一行正中間的一個(gè)數(shù)a1，構(gòu)成數(shù)列cn，其前n項(xiàng)和分別記為Sn（1）求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；(2)若上表中，從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，公比為同一個(gè)正數(shù)，且a131求Sn；記Mn|(n1)cn，nN*，若集合M的元素個(gè)數(shù)為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍 解：（1）bn2n(2) 設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q，由于前n行共有135(2n1)n個(gè)數(shù)，且3134，所以ab8所以aaq8q，又a131，解得q。因此cn2n·()1所以SnSn因此Sn，解得Sn8由知，cn，不等式(n1)cn可化為設(shè)f

7、(n)，計(jì)算得f(1)4，f(2)f(3)6，f(，4)5，f(5)因?yàn)閒(n1)f(n)，所以當(dāng)n3時(shí)，f(n1)f(n)因此集合M的元素的個(gè)數(shù)為3，所以的取值范圍是(4，5。意圖：數(shù)陣圖，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，例4 設(shè)無窮數(shù)列滿足：，.記.（1）若，求證：=2，并求的值；（2）若是公差為1的等差數(shù)列，問是否為等差數(shù)列，證明你的結(jié)論解:（1）因?yàn)椋匀?，則矛盾，若，可得矛盾，所以于是，從而 （2）是公差為1的等差數(shù)列，證明如下： 時(shí)，所以， ，即，由題設(shè)，又，所以，即是等差數(shù)列【課后強(qiáng)化】1.等差數(shù)列所有項(xiàng)的和為210，其中前4項(xiàng)的和為40，后4項(xiàng)的和為80，則項(xiàng)數(shù)為 。解析：142.若

8、四個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，且四個(gè)數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，則此等差數(shù)列為_；解析：1，2，5，8；8，5，2，1；1，2，5，8或8，5，2，1； 3 定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列a是等和數(shù)列，且a2，公和為5，那么a的值為_，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為 。答案：3 ； 解析： Sn4. 圖（1），（2），（3），（4）分別包含1，5，13和25個(gè)互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第50個(gè)圖包含 個(gè)互不重疊的單位正方形.答案：4 901 ；解析：由

9、圖形知a2a14×1，a3a24×2，a4a34×3，a50a494×49.相加得a50a14(12349)4×4 900，a504 901.； 5. 三個(gè)實(shí)數(shù)6，3，1排成一行，在6和3之間插入兩個(gè)實(shí)數(shù)，3和1之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，使得這六個(gè)數(shù)中的前三個(gè)、后三個(gè)分別成等差數(shù)列，且插入的三個(gè)數(shù)本身依次成等比數(shù)列，那么所插入的這三個(gè)數(shù)的和可能是：；3；7。其中正確的序號是 。解析：、；6. 設(shè)Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，則k_答案：5；解析：思路一：直接利用前n項(xiàng)和公式建立關(guān)于k的方程解之即可；思路二：利用S

10、k2Skak2ak1直接利用通項(xiàng)公式即可求解，運(yùn)算稍簡7.已知數(shù)列an滿足：a1m（m為正整數(shù)），an1，若a61，則m所有可能的取值為_解析：4 5 32；8. 將數(shù)列3n1按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），（3，9），（27，81，243），則第100組中的第一個(gè)數(shù)是 .答案：34 950；解析：由“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組中，各組數(shù)的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，前99組數(shù)的個(gè)數(shù)共有4 950個(gè)，故第100組中的第1個(gè)數(shù)是34 950.； 9已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且anSn12（n2），a12.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn，Tnbn1bn2b

11、2n，是否存在最大的正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，有Tn恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.解析：（1）由已知anSn12 得an1Sn2 ，得an1anSnSn1 (n2)，an12an (n2).又a12，a2a1242a1，an12an (n1，2，3，)所以數(shù)列an是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an2·2n12n.(2)bn，Tnbn1bn2b2n，Tn1bn2bn3b2(n1).Tn1Tn.n是正整數(shù)，Tn1Tn0，即Tn1Tn.數(shù)列Tn是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，又T1b2，TnT1，要使Tn恒成立，則有，即k6，又k是正整數(shù)，故存在最大正整數(shù)k5使Tn&

12、gt;恒成立.10. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的mN*，且m2，am1，am，am2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論解析：(1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，兩式相減可得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1，又a2ra1ra，所以當(dāng)r0時(shí)，數(shù)列an為：a,0，0，；當(dāng)r0，r1時(shí)，由已知a0，所以an0(nN*)，于是由an2(r1)an1，可得r1(nN*)，a2，a3，an，成等比數(shù)列，當(dāng)n2時(shí)，

13、anr(r1)n2a.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)對于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列，證明如下：當(dāng)r0時(shí)，由(1)知，an對于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列；當(dāng)r0，r1時(shí)，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1，若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差數(shù)列，則Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1，由(1)知，a2，a3，an，的公比r12，于是對于任意的mN*，且m2，am12am，從而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差數(shù)列綜上，對于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等

14、差數(shù)列 11.等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nlnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318，所以公比q3，故an2·3n1.(2)因?yàn)閎nan(1)nlnan2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)nln2(n

15、1)ln32·3n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，所以Sn2(133n1)111(1)n·(ln2ln3)123(1)nnln3.所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn2·ln33nln31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2×(ln2ln3)ln33nln3ln21.綜上所述，Sn12已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且對任意，都有(k為常數(shù))（1）若，求證：成等差數(shù)列；（2）若k=0，且成等差數(shù)列，求的值；（3）已知(為常數(shù))，是否存在常數(shù)，使得對任意都成立？若存在求出；若不存在，說明理由解（1）當(dāng)k(a2a1)2時(shí)，在aanan2k中，令n1，得aa1a3(a2a1)2，即a1a32a1a2a0 因?yàn)閍10，所以a32a2a10，即a2a1a3a2故a1，a2，a3成等差數(shù)列 （2）當(dāng)k0時(shí)，aanan2因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以數(shù)列an是等比數(shù)列. 設(shè)公比為q(q0)因?yàn)閍