圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)(全面實(shí)用,你值得擁有!)教學(xué)文案

1、此文檔來源于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除圓錐曲線1 .圓錐曲線的兩定義：第二定義中嘗惠理二戰(zhàn)t”.一內(nèi)跑限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離的和等于常數(shù) 2a, 且此常數(shù)2a一定要大于|FiF21，當(dāng)常數(shù)等于F1F2時(shí)，軌跡是線段 F1F2,當(dāng)常數(shù)小于|FiF2|時(shí)，無 軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F1, F 2的距離的差的絕對值等于常數(shù) 2a ,且此常數(shù)2a 一定要小于|F1F2 I , 定義中的“絕對值”與2av|F1F2|不可忽視。若2a = |F 1F2| ,則軌跡是以F1 , 52為端點(diǎn)的兩條射 線，若2a > |F 1F2 I ,則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡

2、僅表示雙曲線的一支。2 .圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心(頂點(diǎn))在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程)：2222(1)橢圓：焦點(diǎn)在x軸上時(shí)4 4 1( a b 0),焦點(diǎn)在y軸上時(shí)22 0=1( a b 0)。 a ba b22萬程Ax By C表布橢圓的充要條件是什么？ ( ABCW0,且A, B, C同號，AwB)。2222xyyx一一 一(2)雙曲線：焦點(diǎn)在x軸上： % =1,焦點(diǎn)在y軸上：% =1 (a 0,b 0)。方程 abab-22Ax ByC表小雙曲線的充要條件是什么？ ( ABCW0,且A, B異號)。(3)拋物線：開口向右時(shí) y2 2Px(p 0),開口向左時(shí)

3、y2 2Px(p 0),開口向上時(shí)2 2x 2py( p 0),開口 向下時(shí) x 2 py(p 0)。3 .圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷(首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷)：(1)橢圓：由x 2, y 2分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。(2)雙曲線：由x 2, y 2項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；(3)拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號決定開口方向。提醒：在橢圓中，a最大，a2 b2 c2,在雙曲線中，c最大，c2 a2 b2。4 .圓錐曲線的幾何性質(zhì)：22(1)橢圓(以 J -yy 1 (a b 0)為例)：范圍：a x a, b y b ；焦點(diǎn)：兩 a2b2個(gè)焦點(diǎn)(c

4、,0)；對稱性：兩條對稱軸x 0, y 0 , 一個(gè)對稱中心(0,0 ),四個(gè)頂點(diǎn)(a,0),(0, b),2其中長軸長為2a ,短軸長為2b ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線x ；離心率：e c ,橢圓 0 e 1 , cae越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。x2 y2雙曲線(以方1 (a 0,b 0)為例)：范圍：x a或x a,y R；焦點(diǎn)： a2 b2兩個(gè)焦點(diǎn)(c,0)；對稱性：兩條對稱軸x 0, y 0 , 一個(gè)對稱中心(0,0),兩個(gè)頂點(diǎn)(a,0),其 中實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b,特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為2a 一cx2 y2 k,k 0；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線x ；離

5、心率：e 一,雙曲線 e 1 ,作軸雙曲線 cae 五,e越小，開口越小，e越大，開口越大； 兩條漸近線：y 'x。a2R;焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)聲,0)，其中P20,沒有對稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)(0,0);準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線x ；離心率： 2 22x y 一5、點(diǎn) P(x°, y°)和橢圓1 ( a a b22(2)點(diǎn)P(x0,y°)在橢圓上x? 駕a be -,拋物線 e 1。ab 0)的關(guān)系：(1)點(diǎn)P(x0,y。)在橢圓外22=1 ； (3)點(diǎn) P( x0, y0)在橢圓內(nèi)02 22a b2 過a1y.2b71;(3)拋物線(以y 2 Px(p 0)為例)：范圍

6、：x 0, y 的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對稱性：一條對稱軸y6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)相交： 0 直線與橢圓相交； 0 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有 0,當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；0 直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有 0,當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。(2)相切：0直線與橢圓相切；0直線與雙曲線相切；0直線與拋物線相切；(3)相離：0直線與橢圓相離；0直線與雙曲線相離；0直線與拋物

7、線相離。提醒：(1)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交，但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí)，直線 22與拋物線相交，也只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)過雙曲線 與 j=1外一點(diǎn)P(x°, y°)的直線與雙曲線只有一個(gè) a b公共點(diǎn)的情況如下： P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條； P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：

8、一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；(3)過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。7、焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)問題：S b2tan- c|y0|,2b2.當(dāng)|y0| b即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，Smax的最大值為bc；對于雙曲線S 。如 (1)短軸長為M5,tan 28、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：(1)以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；(2)設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則/ AM已/ BMF (3)設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A B在準(zhǔn)線上的射影 分別為A1,B1 ,若P為A

9、1B1的中點(diǎn)，則PA! PB;(4)若AO的延長線交準(zhǔn)線于C,則BC平行于x軸,反之，若過B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于 C點(diǎn)，則A, O, C三點(diǎn)共線。9、弦長公式：若直線y kx b與圓錐曲線相交于兩點(diǎn) A、B,且x1,x2分別為A、B的橫坐標(biāo)，則AB只供學(xué)習(xí)交流用=1 k2X1X2方程設(shè)為x ky算,若y1, y2分別為A、B的縱坐標(biāo)，則 AB =11 V 己b,則 AB = J1 k2yiy2 °| y1 y2 ,若弦AB所在直線特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)一般不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 拋物線：2在雙曲線x2 a

10、2yr 1中，以P（X0,y0）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 bk=；在拋物線a V。2y 2px(p0）中，以P（X0,y0）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率提醒：因?yàn)?忘了檢驗(yàn)0是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件, 0!k3V。故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時(shí)，務(wù)必別11. 了解下列結(jié)論（1）雙曲線2X2 abx a2匕1的漸近線方程為b2為漸近線（即與雙曲線2X2a2X2 ay20.°,2匕1共漸近線）的雙曲線方程為b22 X2 a2y-(為 b2參數(shù)，W0）。（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦）為22 彳mX ny 1

11、 ；2b2竺，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距ab2離）為”,拋物線的通徑為2p ,焦準(zhǔn)距為p ；（5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）中最短的弦;(6)若拋物線y2 2Px(p 0)的焦點(diǎn)弦為AB, A(x1，y1)，B(x2, y?),則| AB |為 飛 p；2 X1X2 , yiy2p242(7)若OA OB是過拋物線y 2px(p 0)頂點(diǎn)。的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)(2p,0)12、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：(1)給出直線的方向向量 u 1,k或u m,n ;(2)給出OA OB與AB相交，等于已知OA 而過AB的中點(diǎn)；(3)給出pm, PN 0,等于已知P是M

12、N的中點(diǎn)；(4)給出AP AQ Bp BQ ,等于已知p,q與ab的中點(diǎn)三點(diǎn)共線；r _ r(5) 給出以下情形之一：AB/AC ；存在實(shí)數(shù)，使AB AC ；若存在實(shí)數(shù) UULTUUU UUU,且1,使OCOA OB ,等于已知A, B,C三點(diǎn)共線.(6)給出MA MB 0,等于已知 MA MB,即 AMB是直角，給出MA MB m 0 ,等于已 知 AMB是鈍角，給出MA MB m 0,等于已知 AMB是銳角，(8)給出MA MBMA MBMP ,等于已知MP是 AMB的平分線/(9)在平行四邊形 ABCD中，給出(AB AD) (AB AD) 0,等于已知 ABCD是菱形； uuu uuu

13、r uuu uur(10)在平行四邊形 ABCD中，給出|AB AD | | AB AD |,等于已知 ABCD是矩形；.2 2 2(11)在 ABC中，給出OA OB OC ,等于已知O是 ABC的外心(三角形外接圓的圓 心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn))；三角形三條中線的交點(diǎn))；(13)在 ABC中，給出 的垂心是三角形三條高的交點(diǎn))OA OB OB OC OC OA,等于已知O是ABC的垂心(三角形'UUT UUT(14)在ABC中，給出OP OA (-AB- -AC-) (R )等于已知AP通過 ABC的內(nèi)心；(15)在ABC中，給出|AB| |AC|a OA b

14、OB c OC 0,等于已知O是 ABC的內(nèi)心(三角形內(nèi)切(12)在 ABC 中，給出 OA OB OC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn))；uuur 1 uuu uuur(16)在 ABC中，給出AD AB AC，等于已知AD是 ABC中BC邊的中線；2 UUT UUU(3)已知A,B為拋物線x2=2py(p>0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，OA OB 0,點(diǎn)C坐標(biāo)為(0, 2p)(1)求證：A,B,C三點(diǎn)共線；UUUT UUT(2)若AM = BM ( R)且OM AB 0試求點(diǎn)M的軌跡方程。(1)證明：設(shè)x2 x 2 uuu“為豪B區(qū)

15、宙，由0AuuuOB22x1 x2x#22p2p22x2 x1 為：一2p0,(2p2uuurx#24p2,又QAC(xi,2p2 x12puuu),AB (x2 x1,22x2x12p2x12p)(x2 x1) 0,uur uuu AC / AB ,即A,B,C三點(diǎn)共線。uuuur uuu(2)由(1)知直線AB過定點(diǎn)C,又由OM AB 0及AM = BM ( R)知OM AB,垂 足為M,所以點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x 0,y 0)。13.圓錐曲線中線段的最值問題:例1、(1)拋物線 C:y2=4x上一點(diǎn) P到點(diǎn)A(3,4 J

16、2 )與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2)拋物線C: y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為分析:(1) A在拋物線外，如圖，連PF,則PHPF,因而易發(fā)現(xiàn),當(dāng) A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。(2)B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R,則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。 解：(1)(2,21、已知橢圓G的方程為 41,雙曲線G的左、右焦點(diǎn)分別為 C的左、右頂點(diǎn)，而 G的左、右頂點(diǎn)分別是C的左、右焦點(diǎn)。求雙曲線G的方程;(2)若直線l ： y kx<2與橢圓C及雙曲線 G恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且 l與G的兩個(gè)交點(diǎn) A和B滿足OA OB 6 (其中

17、O為原點(diǎn)),求k的取值范圍。解：(I)設(shè)雙曲線2G的方程為工2 a2y- 1 ,則 a2 b23,再由 a2 b2c2得b2 1.2故C2的方程為31. (II )將 y kx72代入y2 1 得(1 4k2)x2 8.2kx 4 0.由直線l與橢圓。恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得(8,2)2k2 16(1 4k2)-216(4k1) 0,即 k2kx 一2代入31 得(1 3k2)x2 6 2kx9 0.由直線1與雙曲線。恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)-21 3k 0, A, B得2 ( 6,2k)236(1 3k2) 36(1k2)即 k21 且 k2 1.0.3設(shè)A(Xa，Ya), B(Xb, Yb),則Xa

18、uuu 由OAuurOB 6 得 XaXb yAyBXaXbabXaXb(k2(kxA1)XaXbXb一16,而、2)( kxB國Xa6.2k2 ,3kXa Xb_9_1 3k2(k23k23k2Xb) 26 .2k1 3k2工曰3k2 于是 3k日口 15k26,即3k13.13 0.解此不等式得k2身或k2 1153由、k21或13315k2 1.故k的取值范圍為(1,U(在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)A(0,-1),B 點(diǎn)在直線 y = -3 上，M點(diǎn)滿足 MB/OA, MA?AB= ME?BA,M點(diǎn)的軌跡為曲線C(I)求C的方程；(n)P為C上的動點(diǎn),1為C在P點(diǎn)處得切線，求 。點(diǎn)

19、到1距離的最小值。(I)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).uuur所以 MA= (-x,-1-y )uuir,MB =(0,-3-y),uuuAB =(x,-2).再uuur uuir由愿意得知(MA + MB )uuuAB =0,即(-x,-4-2y ) ?(x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y= 1x2-2. ( n )設(shè) P(x0,y0)為曲線 C： 4y=- x2-2 上一點(diǎn),因?yàn)?y' = 3x,所211八八以l的斜率為一x0因此直線l的方程為yy0 x0(xx0),即x0x2y2y022x2 0。則。點(diǎn)至UI的距離d 12yL_x£ |.又

20、X2 4yo1 2-X22 ,所以4x2 4.X04 4)2,當(dāng)X2 =0時(shí)取等號，所以。點(diǎn)至l距離的最小值為2.2 X 設(shè)雙曲線-2 a2y 1 (a>0,b >0)的漸近線與拋物線 by=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于(2 X 設(shè)雙曲線x_a2二 1的一條漸近線，則雙曲線的離心率為().b22 y b21 ( a b 0)的左焦點(diǎn)Fi作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P , F2為右焦點(diǎn)F1PF260°,則橢圓的離心率為已知雙曲線2J 1(b 0)的左、右焦點(diǎn)分別是 b2Fi、F2 ,其一條漸近線方程為y x ,占八、P”3y0)在雙曲線上.則PF1 PF2 =( )0已知

21、直線y k x 2 k0與拋物線C : y2 8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若| FA | 2 |FB | ,貝U k ()已知直線I1：4x 3y 6 0和直線l2：x21 ,拋物線y4-上一動點(diǎn)P到直線I1和直線I2的距離之和的最小值是() 設(shè)已知拋物線 C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F(1, 0),直線I與拋物線C相交于A, B兩點(diǎn)。若AB的 中點(diǎn)為(2, 2),則直線I的方程為 .x2 y2橢圓一 工 1的焦點(diǎn)為F3F2,點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1| 4,則|PF2| ; F1PF2的大92小為.過拋物線y2 2 Px(p 0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45o的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn)，若

22、線段 AB的長為8,則 P 【解析】設(shè)切點(diǎn)P(X0, y0),則切線的斜率為y |x X0 2% .由題意有" 2x0又y0 x02 1解得:X021, - 2,e . '1 2. 5aI a22雙曲線2x_y 1的一條漸近線為a b=(一)2 4 0 所以-2,e aa abyy x,由方程組 7 ab- xa，消去x2 1bx 1 a0有唯一解，所以a2 b21 (b)25由漸近線方程為y x知雙曲線是等軸雙曲線，：雙曲線方程是22x y 2 ,于是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是( 2, 0)和(2, 0),且 p( J3,1)或 p(J3, 1).不妨去 P(J3,1),則PF；(

23、2 芯,1), PF2(2 氏，1).PF1-PF2=(23, 1)(2 、3, 1)(2.3)(2 ,3) 1 02一_【解析】設(shè)拋物線C : y 8x的準(zhǔn)線為l : x 2直線y k x 2 k 0恒過定點(diǎn) p 2,0 .如圖過A、B分別作AMl 于 M , BN l 于 N ,由 | FA | 2 |FB | ,則“ 八 1| AM | 2|BN |,點(diǎn) B 為 AP 的中點(diǎn).連結(jié) OB,則 |OB| - | AF |,| OB | | BF |點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2 2) k2 一2 02/2 ,故選D1 ( 2)3A x1, y1 ,B X2，y2，貝U有x1x2）

24、2y12y24x14x2兩式相減得，y122Y24 XiX2Yiy2Xix2y1一 1Y21.2.直線i的方程為y-2=x-2,即 y=x點(diǎn)p處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)p處的外角.PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4.以焦點(diǎn)半徑PR為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5.6.2 X 右P0（x0, y0）在橢圓 a2 x 右Po（xo,yo）在橢圓2 y b22 y b21上，則過P0的橢圓的切線方程是 粵 a1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為線方程是7.XoX-2a2

25、 y b21 (a >b>0)的左右焦點(diǎn)分別為橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為 SF1PF2b2 tan28.b21 ( a> b>0)的焦半徑公式:YoY b2P、P2,F1, F2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)1.則切點(diǎn)弦P1P2的直F1PF2|MFJ a exo, |MF2 | a exo（ F1（ c,0）,F2（c,0） M（x0,y。）.9.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn),A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則MFL NF.10.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, Ai、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，AP和A2

26、Q交于點(diǎn)M,A2P和AQ交于點(diǎn)N,則 MFL NF.22.211.Ab是橢圓 將 4 1的不平行于對稱軸的弦，M(xo, yo)為AB的中點(diǎn)，則 L kAB2 ,a ba即Kabb2Xo-2°a y012 .若Po(Xo,yo)在橢圓y b21內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是22XoXyo yXoyo-2-2T2abab2 X13.右 Po(Xo,yo)在橢圓 a222yxyXoXy°y2T1內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2_020Zbabab、雙曲線1. 點(diǎn)P處的切線 PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H

27、點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓,除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相交.4 .以焦點(diǎn)半徑PR為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)225.若F0(Xo,y0)在雙曲線 今 與 1 (a>0,b>0)上，則過Po的雙 曲線的 切線方程 是 a bXoX yoy 1221.a b22x y6.右B(Xo,yo)在雙曲線0 J 1(a>o,b>o)外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為 a bR、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是x2x邛1. a b227.雙曲線 與 與 1 (a>o,b >。)的左右焦點(diǎn)分別

28、為曰，F(xiàn)2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)a b2F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為SFPFb2cot.127F1 pf22228 .雙曲線 xy 4 1 (a>o,b>o)的焦半徑公式：(F1( c,o), F2(c,o) a b當(dāng) M(Xo,yo)在右支上時(shí)，|MFJ exo a, | MF21 e% a.當(dāng) M (Xo, yo)在左支上時(shí)，| MF1 |exo a , | MF21exo a9 .設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則MFL NF.10 .過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線

29、與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AP和A2Q交于點(diǎn) M A2P和A Q交于點(diǎn)N,則MF! NF. 2211 . AB是雙曲線 與 “2 1 (a>o,b>o)的不平行于對稱軸的弦，M(Xo, y°)為AB的中點(diǎn)，則a b12.13.1.2.3.4.5.6.K K 也、OM 、AB 2，a V0若P0(x0, y0)在雙曲線Xoxyoyb22 x02a即K AB2y。b2若P0(xo,yo)在雙曲線2 y b2x)x-2a橢圓b2b2x0-2°a y02 y_ b21 (a>0,b >0)內(nèi)，則被 Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是2y

30、 1 (a>0,b >0)內(nèi)，則過 Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 bycyb2 .橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)橢1 (a> b>o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為2xP1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡萬程是-2a2 x 過橢圓-2 a2 y b2B,C兩點(diǎn)，則直線若P為橢圓PF2F1(會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論) 圓A( a,0) , A2(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于2L 1 b2.1 (a >0, b >0)上任一點(diǎn)A(X0,y°)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于BC有定向且kBCb2x0 a2y02L 1 b2(a>b>0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ，F(xiàn)1

31、, F2是焦點(diǎn)，PF1F2tan co t .22b21 (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn),在 PF1F2中，記F1PF2PF1F2F1F2Psin c,則有-e.sin sin a1 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)0vew金時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn) P,使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).2P為橢圓 a2yT 1 (a>b>0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)， A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 b2a |AF2 11PA | |PFi| 2a | AFi |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2, P三點(diǎn)

32、共線時(shí)，等號成立227.0有公共點(diǎn)的充要條件是橢圓(X xo)(y 2y0)1 與直線 Ax By CabA2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2.8.22已知橢圓:與a2 b211" 2 _2 |OP| |OQ|1 (a>b>0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動點(diǎn)，且 OP OQ. (1)12 a1聲224a2b2|OP| 2+|OQ|2的最大值為 粵；(3) S OPQ的最小值是a b2, 2 a b-222 . a b229.x y過橢圓-2、1 (a>b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平 a b10.分線交x軸于2

33、已知橢圓二 a巳則me| MN | 22y , 1 ( a >b>0)b2,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與 x軸2,2a b相父于點(diǎn)P(x0,0),則 a2,2a bx。211.設(shè)P點(diǎn)是橢圓與ay2b21 ( a >b>0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、卷為其焦點(diǎn)記12.F1PF2，則(1)|PF1|PF2|2b2 .(2) S1 cosPF1F2b2 tan 一 .22設(shè)A、B是橢圓2- ab21 ( a >b>0)的長軸兩端點(diǎn),P是橢圓上的一點(diǎn)，PABPBABPAc、e分別是橢圓的半焦距離心率,則有(1) |PA|2 ,.2ab |cos

34、 |2 2c cos.(2)tan tan.2-1 e .(3)2a2b2S PAB7-22 cotb a13.b21 ( a >b>0)的右準(zhǔn)線l與-軸相交于點(diǎn)E ,過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC -軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14 .過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15 .過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16 .橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在橢圓焦三角形中，非焦

35、頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) .）17 .橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)雙曲線x2y21.雙曲線 匕 1 （a>0,b >0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1（ a,0） , A2（a,0）,與y軸平行的直線 a b22交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2B交點(diǎn)的軌跡方程是 與 與 1.a2 b2222 .過雙曲線 與 冬 1 （a>0,b >o）上任一點(diǎn) A（xo,yo）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交a bb2x雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線 BC有定向且kBC巳_0 （常數(shù)）.a V

36、。223 .若P為雙曲線2- 4 1 （a>0,b >0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F 1, F 2是焦a2b2點(diǎn)，PF1F2,PF2F1,貝U tan cot （或 tan一cot一）c a 22 c a 22224.設(shè)雙曲線 與 紜 1 （a>0,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P （異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上 a2 b2任意一點(diǎn)，在 PF1F2中，記 F1PF2PF1F2F1F2P,則有sinc e.(sin sin ) a22x y5.右雙曲線 1 1 (a>0,b >0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1ve a bw J2 1時(shí)

37、，可在雙曲線上求一點(diǎn) 巳使得PFi是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).6.2P為雙曲線xya2 匕 b21 (a>0,b >0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn),則 | AF2| 2a|PA| PFi |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號成立.7.雙曲線2 xa2y-1b2(a>0,b>0)與直線 Ax By C0有公共點(diǎn)的充要條件是8.(1)值是9.2, 2B bj , x2已知雙曲線 aOP OQ.1-Z 2|OP|a2b2b2 a2過雙曲線C2.2 y b21_2|OQ|(b>a >0), O為坐標(biāo)原

38、點(diǎn),P、122??；(2) |OP| +|OQ|的取小值為 b2Q為雙曲線上兩動點(diǎn)，且.2.22a2 ;(3)Sopq 的最小b a2 y b2(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交x軸于p,則-LPF-L | MN |10.2已知雙曲線當(dāng) a2 y b21 (a> 0,b >0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)22 a bP(Xo,0),則 Xo 或x011.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線2-y2 1 (a>0,b >0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2為其焦點(diǎn)記b212.F1PF2,則(1)|P

39、Fi |PF212b2一F.(2)2bcot .22設(shè)A、B是雙曲線三PABaPBA2yf 1 (a>0,b>0)的長軸兩端點(diǎn), bP是雙曲線上的一點(diǎn),BPA，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有此文檔來源于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除13.14.15.16. |PA|2 .2ab |cos |a222c cos |(2) tan tan2 X已知雙曲線-2 a2 y_ b2的直線與雙曲線相交于段EF的中點(diǎn).2e .(3) S pab1 (a>0,b >0)2a2b2 , AVcot的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過雙曲線右焦點(diǎn)FA B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC X軸

40、，則直線 AC經(jīng)過線過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心只供學(xué)習(xí)交流用率).e.).（注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)17 .雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比18 .雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的

41、根與系數(shù)關(guān)系來計(jì)算弦長，常用的弦長公式：ab|：；:ik2x1x2|、:1：2y1y22、直線的一般式方程：任何直線均可寫成& + & + C = 0（A,B不同日為0）的形式。3、知直線橫截距飛，常設(shè)其方程為工=號+工。（它不適用于斜率為0的直線）此文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除與直線'：擊+£y+c垂直的直線可表示為取-a+g 。I產(chǎn)4、兩平行線：念+為= %由+小+層=°間的距離為十必。5、若直線1：4二+如+孰=°與直線4：4/+吊尸+G= °平行則4殳-4月=° （斜率）且片G .為G H。（在丁軸上截

42、距）（充要條件）6、圓的-般方程：/+& +野”=°Q+EfF叫，特別提醒：只有當(dāng)- -5D叫EfF）0時(shí)，方程八八立+功才表示圓心為' 2r/，半徑為十55的圓。二元二次方程小心物+5+期+”°表示圓的充要條件是/二 Cd。,且弓=0且+；45夕0。無匚 a + r ca 37、圓的參數(shù)方程：1 = &+*口曰 （6為參數(shù)），其中圓心為（樂句，半徑為二。圓的參數(shù)方 程的主要應(yīng)用是三角換元：/+尸=儲7，=，必包產(chǎn)口日.T工=r cos ,y-r sin 日（04/）8、A出必）其孫力）為直徑端點(diǎn)的圓方程（L硝。一動+。-珀1.切線長：過圓/+M+m

43、+出M = °（xi）J（yT）J劉）外一點(diǎn)汽小汨所引圓的切線的&/+坳+F （了斗飆一功"一、氏力（）1-S9、弦長問題：圓的弦長的計(jì)算：常用弦心距W，弦長一半2 及圓的半徑尸所構(gòu)成的直角三角形來解：q,；過兩圓G ： *芮0、& N °交點(diǎn)的圓（公共弦）系為1A：心了）+用C3叫當(dāng)；! = -1時(shí)，方程/8M+謝rj） =。為兩圓公共弦所在直線方程 .。攻克圓錐曲線解答題的策略摘要:為幫助高三學(xué)生學(xué)好圓錐曲線解答題，提高成績，戰(zhàn)勝高考，可從四個(gè)方面著手：知識儲備、方法儲備、思維訓(xùn)練、強(qiáng)化訓(xùn)練。關(guān)鍵詞：知識儲備 方法儲備 思維訓(xùn)練 強(qiáng)化訓(xùn)練第一、

44、知識儲備：1.直線方程的形式(1)直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。(2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率k tan ,0,)點(diǎn)到直線的距離d A“ 2By0 2 c夾角公式：tanJ2UJa2 B21 k?ki(3)弦長公式直線 y kx b 上兩點(diǎn) A(x1, y1), B(x2, y2)間的距離： AB 7lk2|x1 x27(i k2)(xi X2)2 4x1X2或 ab ,1 2回 y2(4)兩條直線的位置關(guān)系l l2 k1k2=-1 l"/l2k1 k2且bi b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)此文檔來源于網(wǎng)

45、絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除22標(biāo)準(zhǔn)方程： 1(m 0, n 0且m n) m n距離式方程：.(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a參數(shù)方程：x a cos , y bsin(2)、雙曲線的方程的形式有兩種22標(biāo)準(zhǔn)方程： 1(m n 0)m n距離式方程：| , (x c)2 y2 . (x c)2 y2 | 2a(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？22橢圓：竺；雙曲線：曳；拋物線：2paa(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？22如：已知FF2是橢圓、y 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)M滿足MFi MF2| 2則動點(diǎn)M的軌跡是()A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5

46、)、焦點(diǎn)二角形面積公式:P在橢圓上時(shí)，S rpf2b2tan 一1 22(其中 F1PF2,cosP在雙曲線上時(shí)，S fpf2 b2cot 1 22| PF |2 | PF"2 4c2 uur uurn uur uuuur!,PE?PF2 |PFi| PF2 1cos )| PF111PF2 |(6)、記住焦半徑公式：(1)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為a e%;焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為a ey0,可簡記為“左加右減，上加下減”此文檔來源于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除(2)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上日t為e|x0| a拋物線焦點(diǎn)在x軸上日t為1xi1焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為|yif只供學(xué)習(xí)交流用2XM a,b為橢圓一

47、421;兩式相減得三y yi y2.(6)、橢圓和雙曲線的基本量第二、方法儲備1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問題)設(shè) A Xi, yi 、B X2,y2 ,2222Xiyi 1 X2 y24343x1 x2 x1 x2y142i的弦AB中點(diǎn)則有3222X2yiy20433a一 4b2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦?設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用 判別式 0 ,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(xi,yi), B(X2,y2),將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到 唉：兩個(gè)式子，然后 ©

48、;整體消元;若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利 用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為 y kx b,就意味著k存在。例i、已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓 4x2 5y2 80上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)(點(diǎn) A 在y軸正半軸上).(i)若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程；(2)若角A為90O, AD垂直BC于D,試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線 BC的方程。第二問抓住角 A為90O可得出

49、AB± AG從而得xix2 y1y214( yiy)16聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程;解：(1)設(shè) B ( Xi, yi) ,C(X2T2 工BC 中點(diǎn)為(Xo,yo),F(2,O)2 ,Xi 則有202 yi162iH202kii6兩式作差有(XiX2)(XiX2)(yi y2)(yi y2)F(2,0)為三角形重心,直線BC的方程為6x設(shè)直線BC方程為yXiX210kb4 5k2 '20i6y°k4yiy28k4 5k29b232b 164 5k2直線過定點(diǎn)(0,所以由xyiy243y。2,代入(i)得5y 28 0yiy2i4(yi y) i6kxXiX2,yy2b,代入 4x2 5y280 ,得(45k2)X2 i0bkx5b28025b2 804 5k24b2 80k2-代入(2)式得4 5k.人.4b 4(舍)或b 9-) ,設(shè) D (x,y ),則9xi ,即 9y2 9x232yi6一 一 9i6所以所求自D的軌跡方程是x2 (y )9嚕)2(y4)。4、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中AB| 2CD|，