202X年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其線性運(yùn)算課件8蘇教版選修2_1

1、空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)大小大小 方向方向 一樣一樣 相等相等 平行或重合平行或重合 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)1憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)互相垂直互相垂直 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn) “兩向量平行和兩向量平行和“兩向量同向不清致兩向量同向不清致誤誤定義定義表示法表示法向量向量向量的模向量的模零向量零向量單位向量單位向量相等向量相等向量相反向量相反向量平行向量平行向量(共線向量共線向量)0記作|,|aAB a, AB 具有大

2、小和方向的量具有大小和方向的量向量的大小向量的大小長度為零的向量長度為零的向量模為模為 1 的向量的向量長度相等且方向相反的向量長度相等且方向相反的向量長度相等且方向一樣的向量長度相等且方向一樣的向量方向一樣或相反的非零向量方向一樣或相反的非零向量常用常用 e 表示表示ab記作ab 記作ab記作與任一向量共線.01. 1. 空間向量的有關(guān)概念及表示法空間向量的有關(guān)概念及表示法平面向量平面向量空間向量空間向量概念概念加法加法減法減法數(shù)乘數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算運(yùn)運(yùn)算算律律具有大小和方向的量減法減法:三角形法那么三角形法那么加法加法: :三角形法那么三角形法那么或或平行四邊形法那么平行四邊形法那么數(shù)乘數(shù)乘:k

3、a, k為正數(shù),負(fù)數(shù),零加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律abba()()abcabc ()k abkakb 加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律abba()()abcabc ()k abkakb 1. 1. 空間向量的有關(guān)概念及表示法空間向量的有關(guān)概念及表示法具有大小和方向的量具有大小和方向的量 共線向量共線向量共面向量共面向量定定義義 向量所在直線互相平向量所在直線互相平行或重合行或重合 平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共面向量做共面向量.定定理理推推論論運(yùn)運(yùn)用用, ,p a bpxayb 共共面面APAB OPmOAnOB (0)b / /R,abab ( ,)a b 不不共共線線

4、A, P, B三點(diǎn)三點(diǎn)共線共線APxAByAC OP OAAB (1)mn P, A, B,C四點(diǎn)四點(diǎn)共面共面OPxOAyOBzOC OPOA xAByAC (1)xyz (A, B, C三點(diǎn)不共線三點(diǎn)不共線)判斷三點(diǎn)共線判斷三點(diǎn)共線, ,或兩直線平行或兩直線平行 判斷四點(diǎn)共面判斷四點(diǎn)共面, ,或直線平行于平面或直線平行于平面2. 2. 空間向量的有關(guān)定理及推論空間向量的有關(guān)定理及推論1.1.數(shù)量積的定義：數(shù)量積的定義： cos|baba2.2.向量的夾角定義：向量的夾角定義： AOBbOBaOA則則,共共起起點(diǎn)點(diǎn)與與ba3.3.向量的垂直：向量的垂直：90ab 4.4.投影：投影： cos|

5、b.方方向向上上的的投投影影在在叫叫做做ab5.數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積的幾何意義：的方向上的投影的方向上的投影 的乘積的乘積. .數(shù)量積數(shù)量積 等于等于 的長度的長度 與與 在在 |cosb a b a |a b a 6.數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)(2)()()()(3)()a bb aaba bababca cb c (,)a b 設(shè)設(shè)是是兩兩個(gè)個(gè)非非零零向向量量(1)0;aba b 22(2)|aaa a 2|aaa a 7.7.數(shù)量積的主要性質(zhì)數(shù)量積的主要性質(zhì): :(判斷兩個(gè)向量是否垂直判斷兩個(gè)向量是否垂直)(3)cos;| |a bab (4)| | |a bab (求兩

6、個(gè)向量的夾角求兩個(gè)向量的夾角)(向量不等式向量不等式)(求向量的長度求向量的長度(模模)的依據(jù)的依據(jù))8.8.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算. .設(shè)設(shè) , ,則則123123(,),( ,)aa a abb b b 112233(2)(,);abab ab ab 112233(1)(,);abab ab ab 123(3)(,)(R);aaaa 1 12233(4);a ba ba ba b 112233(5) / /,(R);abab ab ab 1 12233(6)0.aba ba ba b 222123(7)|;aa aaaa 1 12 23 3222222123123(8)cos

7、,;|a ba ba ba ba ba baaabbb 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo). .222111(,) (,)xy zx y zABOBOA 212121(9)(,).ABxx yy zz ( (1 10 0) )222212121|()()() .ABxxyyzz 設(shè)設(shè) A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 那那么么M=(x,y,z),假設(shè)假設(shè)M是線段是線段AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，121212(11),.222xxyyzzxyz8.8.向

8、量的直角坐標(biāo)運(yùn)算向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算. .平面向量平面向量空間向量空間向量1122(,),(,)axybxy 平平面面向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算：111222(,),(,)ax y zbxy z 空空間間向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算：1212111212b(,);(,),;b.axxyyaxyRax xy y 222112221211121122(,), (,)(|(,);(,2),2)AA x yB x yABxx yyC x yABxxxyyxyyyBx 若若則則是是的的中中點(diǎn)點(diǎn), ,則則121211112122121(,),b(,);.axyaxzRa bx xy yz zxyy zz

9、2222121111222212112121221|()()()(,), (,)(,);2( , )22A x y zB xy zABxx yyxxxyyC x yABABxxyyzzzyzz 若若則則是是的的中中點(diǎn)點(diǎn)，則則9. 9. 空間向量的坐標(biāo)計(jì)算空間向量的坐標(biāo)計(jì)算FEACBO1,OABCEFABOCOEBF 例例 . .正正四四面面體體， 、 分分別別是是、的的中中點(diǎn)點(diǎn) 求求異異面面直直線線、所所成成角角的的余余弦弦值值. .11()(2 )22OE BFabcb 解解: :設(shè)設(shè)棱棱長長為為1,c,OAa OBb OC 1(),2OEab 則則21(22)4a ca bb cb 1 1

10、11(12).4 222 a b c 11(2 ).22BFBOOCcb 33|,|.22OEBF 又又122cos,.33|4OE BFOE BFOEBF 所所以以，所所求求異異面面直直線線所所成成的的角角的的余余弦弦值值為為2.3可知可知 共面共面,又又 不共線不共線, 證證明明:EMNDENMD 21.33CDDE 3232AEDBDE 22()()33BCCDDEADDE CDDE 與與,MN CD DE , ,MNCDE 又又平平面面所以所以MN/平面平面CDE.ABCDEFNM例例3.在平行六面體在平行六面體AC1中，中，AB=AD, A1AD=A1AB= DAB=60. .(1)

11、求證：求證：AA1 BD;(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí),才能使才能使AC1平面平面A1BD.請證明請證明.證明證明:1,c,ABa ADb AA 設(shè)設(shè)1ABAA| | |,|c|,abmn 設(shè)設(shè).BDBAADba 1c ()cc0,AA BDbaba 1.AABD 所所以以2,cc.22mmna bab 解解: :根根據(jù)據(jù)題題意意, ,要要使使面面11,ACA BD 而而1,A Bac 只只要要11,ACA B ()()0.acabc 1.ACabc 220aa b a c a c b c c 22211022mmmn n (32 )() 0mn m n 1111.ABACA BDAA 所所以以當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,平平面面C1D1B1CABDA1.m n 11ACA D . .11.ACA Dmn 同同理理由由, ,得得PBOCAPOPCCO PABO1)2POPAPB （D1)3POabc （23PCCD 21()32PCCACB BDAPCO1)4POPAPBPCPD （BACDEFCBCFFEEB 5,BC ,FC EB