202X年高中數(shù)學第二章變化率與導數(shù)2.2.1導數(shù)的概念課件3北師大版選修2_2

1、導數(shù)的概念導數(shù)的概念瞬時速度：物體在某一時刻的速度。瞬時速度：物體在某一時刻的速度。 在高臺跳水運動中，運發(fā)動相對于水面的高在高臺跳水運動中，運發(fā)動相對于水面的高度為度為h單位：單位：m與起跳后的時間與起跳后的時間t(單位：單位：s )存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系2+6.5t+10求求2 2時的瞬時速度？時的瞬時速度？新課學習新課學習思考：思考：t在在2,2.1內(nèi)的平均速度是多少？內(nèi)的平均速度是多少？t在在2,2.01內(nèi)的平均速度是多少？內(nèi)的平均速度是多少？t在在2,2.001內(nèi)的平均速度是多少？內(nèi)的平均速度是多少？t在在2,2.0001內(nèi)的平均速度是多少？內(nèi)的平均速度是多少？t在在2,2.000

2、01內(nèi)的平均速度是多少？內(nèi)的平均速度是多少？(2)(2)13.1 4.9hhtvtt 2(2)(2)4.9 (2)6.5 (2) 10 ( 4.9 4 6.5 2 10)13.1 4.9hthvttttt t0時，從時，從2s到到(2+t)s這段時間內(nèi)平均速度這段時間內(nèi)平均速度t0時，從時，從(2+t)s到到2s這段時間內(nèi)平均速度這段時間內(nèi)平均速度t0時時, 在在2, 2 +t 這段時這段時間內(nèi)間內(nèi)1.139.4tv1.139.4tv當t = 時,當t = 時,當t = 時,當時,當t = 時,當時,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,當當t趨近于趨近于0

3、時時,平均平均速度有什么變化趨勢速度有什么變化趨勢?vvvvvvvvvv 當當 t 趨近于趨近于0時時, 即無論即無論 t 從小于從小于2的一邊的一邊, 還是從大還是從大于于2的一邊趨近于的一邊趨近于2時時, 平均速度都趨近與一個確定的值平均速度都趨近與一個確定的值 。 從物理的角度看從物理的角度看, 時間間隔時間間隔 |t |無限變小時無限變小時, 平均速度平均速度就無限趨近于就無限趨近于 t = 2時的瞬時速度時的瞬時速度. 因此因此, 運動員在運動員在 t = 2 時時的瞬時速度是的瞬時速度是 13.1m/s。v 0,22lim13.12,0,13.1 .ththtttv 為 了 表 述

4、 方 便 我 們 用表 示 “ 當趨 近 于時 平 均 速 度趨 近 于 確定 值”0(2)(2)13.1ththvt 當時 ，0 xx0000()()limlimxxf xxf xyxx 00()()h tth tt 0000()(llim)imttsh tttvhtt 跳水運發(fā)動在跳水運發(fā)動在t0到到t0+t時刻內(nèi)的平均速度：時刻內(nèi)的平均速度：跳水運發(fā)動在跳水運發(fā)動在t=t0時刻的瞬時速度：時刻的瞬時速度：函數(shù)函數(shù)f(x)從從 到到 的平均變化率的平均變化率00( )() fxxfxyxx 0 x0 xx 函數(shù)函數(shù)f(x)在在 處的瞬時變化率為處的瞬時變化率為導數(shù)的定義xxfxxfxyxf

5、yxfxxxfyxxfxxfxyxxxfyxxxxxx)()(limlim)()()()()(limlim)(0000000000000即：或記作處的導數(shù)，在我們稱它為函數(shù)處的瞬時變化率是在點一般的，函數(shù) 例例1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對原油進行冷卻和加熱需要對原油進行冷卻和加熱. 如果第如果第 x h時時, 原油的溫度原油的溫度(單單位位: )為為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計算第計算第2h和第和第6h, 原油溫度的瞬時變化率原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義并說明它們的意義.C解解:

6、在第在第2h和第和第6h時時, 原油溫度的瞬時變化率就是原油溫度的瞬時變化率就是)2(f ).6(f 和和根據(jù)導數(shù)的定義根據(jù)導數(shù)的定義,所以所以,求導數(shù)的步驟：(1)求平均變化率 00()()fxxfxyxx (2)取極限得導數(shù)00()limxyfxx 牛頓萊布尼茨萊布尼茨 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖如圖,函數(shù)函數(shù)y= f(x)的圖象上有任意一點的圖象上有任意一點P(x0,y0),Q為為P在曲線在曲線C上鄰近的一點上鄰近的一點,Q(x0+x,y0+y)tanPQykxPQoxyy=f(x)割割線線切線切線T當點當點Q Q沿著曲線逐

7、漸向點沿著曲線逐漸向點P P接近接近x x0,0,割線割線PQPQ有一個極限位置有一個極限位置PT.PT.我們把直線把直線PTPT稱為曲線在點稱為曲線在點P P處的處的切線切線. .PTxkxy0lim曲線在點曲線在點P(x0,y0)處處的的切線的斜率切線的斜率0000()()tanlimlimxxf xxf xykxx 切線函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0處的導數(shù)處的導數(shù)00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx 所以函數(shù)所以函數(shù)y=f(x)在點在點x0處存在導數(shù)時，導數(shù)的幾何處存在導數(shù)時，導數(shù)的幾何意義為：函數(shù)在該點處切線的斜率。即意義為：函數(shù)在該點處切線的斜率。即0(x )k

8、f 切線練一練練一練1 1、求函數(shù)f(x)=x2在x=3處的導數(shù)。2 2、1(x)fx求在x=1處的導數(shù)，并求出f(x)在該點處切線的方程。1 1、求函數(shù)、求函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2在在x=3x=3處的導數(shù)。處的導數(shù)。解：解：2 2、解：解： 11(1)(1)1(1)limlim1lim11xoxoxofxfxfxxx 由導數(shù)的幾何意義知，所求的切線的斜率由導數(shù)的幾何意義知，所求的切線的斜率為為-1-1，且切線經(jīng)過點，且切線經(jīng)過點1,11,1。由點斜式得，。由點斜式得，f(x)f(x)在在x=1x=1處切線的方程為處切線的方程為 y=-x+1 y=-x+1小結(jié)小結(jié)導數(shù)導數(shù)xxfxxf

9、xyxfxx)()(limlim)(00000 馬克思曾對微積分作過一番歷史考察，他把這一時馬克思曾對微積分作過一番歷史考察，他把這一時期稱為期稱為“神秘的微積分時期，并有這樣的評論：神秘的微積分時期，并有這樣的評論：“于是，于是，人們自己相信了新發(fā)現(xiàn)的算法的神秘性。這種算法肯定人們自己相信了新發(fā)現(xiàn)的算法的神秘性。這種算法肯定是通過不正確的數(shù)學途徑得出了正確的而且在幾何應是通過不正確的數(shù)學途徑得出了正確的而且在幾何應用上是驚人的結(jié)果。人們就這樣把自己神秘化了，對用上是驚人的結(jié)果。人們就這樣把自己神秘化了，對這新發(fā)現(xiàn)的評價更高了，使一群舊式正統(tǒng)派數(shù)學家更加這新發(fā)現(xiàn)的評價更高了，使一群舊式正統(tǒng)派數(shù)學家更加惱怒，并且激起了敵對的叫囂，這種叫囂甚至在數(shù)學界惱怒