極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展

1、畢 業(yè) 論 文題 目 極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展 專 業(yè) 數(shù)學(xué)教育 院 系 數(shù)學(xué)系 學(xué) 號(hào) 131002145 姓 名 指 導(dǎo) 教 師 二一三年五月定西師范高等專科學(xué)校 2010 級(jí) 數(shù)學(xué)系 系畢業(yè)論文開(kāi)題報(bào)告專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)教育 姓名： 指導(dǎo)教師： 一.論文題目：極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展二.選題依據(jù)：隨著社會(huì)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)并不是自我封閉的學(xué)科，它與其他學(xué)科有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。數(shù)學(xué)不僅是一種方法，一門(mén)藝術(shù)或一種語(yǔ)言，數(shù)學(xué)更主要的是一門(mén)有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系。在探求極限起源與發(fā)展的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)確實(shí)是一個(gè)美麗的世界，享受數(shù)學(xué)是一個(gè)美妙的過(guò)程。三.相關(guān)理論研究綜述：本文綜述了極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展歷史。極

2、限思想的產(chǎn)生與完善是社會(huì)實(shí)踐的需要，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動(dòng)力，成為了近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。四.研究方法：查閱教材、圖書(shū)館查相關(guān)資料書(shū)。五.論文結(jié)構(gòu): 1摘 要 2關(guān)鍵詞 3引 言 4內(nèi) 容 5小結(jié) 6參考文獻(xiàn) 六.撰寫(xiě)計(jì)劃：2013 年 1月10日選題 2013 年 1月15日搜索材料 2013年 3 月 5 日開(kāi)始撰寫(xiě) 2013年 4 月 2 日修改完稿目 錄內(nèi)容摘要：.4關(guān)鍵詞：.4引言：.5一、極限思想的產(chǎn)生6二、極限思想發(fā)展的分期6（一）極限思想的萌芽時(shí)期6（二）極限思想的發(fā)展時(shí)期8（三）極限思想的完善時(shí)期8三、極限思想與微積分9（一）微積分的孕育10（二）牛頓與

3、微積分.11（三）萊布尼茨與微積分12（四）微積分的進(jìn)一步發(fā)展13結(jié)束語(yǔ).14參考文獻(xiàn).15致謝15內(nèi)容摘要 本文綜述了極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展歷史。極限思想的產(chǎn)生與完善是社會(huì)實(shí)踐的需要，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動(dòng)力，成為了近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。關(guān)鍵詞 極限；無(wú)窮；微積分引言極限思想作為一種哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想，由遠(yuǎn)古的思想萌芽，到現(xiàn)在完整的極限理論，其漫長(zhǎng)曲折的演變歷程布滿了眾多哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家們的勤奮、智慧、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真、孜孜以求的奮斗足跡。極限思想的演變歷程，是數(shù)千年來(lái)人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的整個(gè)過(guò)程的一個(gè)側(cè)面反應(yīng)，是人類追求真理、追求理想，始終不渝地求實(shí)、創(chuàng)新的生動(dòng)寫(xiě)照。在數(shù)學(xué)的發(fā)展

4、中，數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)源和發(fā)展表現(xiàn)為多種多樣的途徑和極其復(fù)雜的情況。縱觀極限思想的發(fā)展，首先哲學(xué)為其提供了直覺(jué)上的發(fā)展方向，數(shù)學(xué)家們依據(jù)這種直覺(jué)或直觀進(jìn)行應(yīng)用和探索；其后悖論一次次地出現(xiàn)，又促使數(shù)學(xué)家們一次一次地進(jìn)行探究求證，使這一思想不斷得以發(fā)展和完善。而數(shù)學(xué)的求證又給予了哲學(xué)以實(shí)在的支持，為哲學(xué)更好地描述和論證世界提供了強(qiáng)有力的工具。從最初時(shí)期樸素、直觀的極限觀，經(jīng)過(guò)了2000多年的發(fā)展，演變成為近代嚴(yán)格的極限理論，這其中的思想演變是漸進(jìn)的、螺旋式發(fā)展的、相互推動(dòng)的。極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，極限方法為人類認(rèn)識(shí)無(wú)限提供了強(qiáng)有力的工具，它從方法論上突出地表現(xiàn)了微積分學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，是近現(xiàn)代

5、數(shù)學(xué)的一種重要思想。極限思想蘊(yùn)含著豐富的辯證法思想，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的極好應(yīng)用。理清極限思想的發(fā)展脈絡(luò)，揭示極限思想的核心內(nèi)容及其與哲學(xué)思想的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)于理解數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)哲學(xué)史上的一些問(wèn)題將具有一定的理論意義。對(duì)于培養(yǎng)人的思維方法、思維品質(zhì)，提高其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力都有極好的促進(jìn)作用。一、極限思想的產(chǎn)生限思想的產(chǎn)生和其他科學(xué)思想一樣，是經(jīng)過(guò)歷代古人的思考與實(shí)踐一步一步漸漸積累起來(lái)的，因此它也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘認(rèn)的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但希臘人對(duì)“無(wú)限的恐懼”，他們避免明顯的

6、“取極限”，而是借助于間接證法歸謬法來(lái)完成有關(guān)的證明。到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過(guò)程中改進(jìn)了古希臘人的歸謬法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問(wèn)題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無(wú)意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。數(shù)學(xué)家拉夫綸捷夫曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)極限法的創(chuàng)造是對(duì)那些不能夠用算術(shù)，代數(shù)和初等幾何的簡(jiǎn)單方法來(lái)解決的問(wèn)題進(jìn)行了許多世紀(jì)的頑強(qiáng)探索的結(jié)果”。兩千多年前可以稱作是極限思想的萌芽階段。其突出特點(diǎn)為人們已經(jīng)開(kāi)始意識(shí)到極限的存在，并且會(huì)運(yùn)用極限思想解決一些實(shí)際問(wèn)題，但是還不能夠系統(tǒng)而清晰的利用極限思想解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。極限思想的萌芽階段以希臘的芝諾、中國(guó)古

7、代的惠施、劉徽、祖沖之等為代表。我國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的哲學(xué)名著莊子記載著惠施的一句名言：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭?！币簿褪钦f(shuō)，從一尺長(zhǎng)的竿，每天截取前一天剩下的一半，隨著時(shí)間的流逝竿會(huì)越來(lái)越短，長(zhǎng)度越來(lái)越趨于零，但又有緣不會(huì)等于零。這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。我國(guó)古代的劉徽和祖沖之計(jì)算圓周率時(shí)所采用的“割圓術(shù)”則是極限思想的一種基本應(yīng)用。所謂“割圓術(shù)”，就是用半徑為R的圓的內(nèi)接正多邊形的面積S就越來(lái)越接近于圓的面積R。在有限次的過(guò)程中，用正多邊形的面積來(lái)逼近圓的面積，只能到達(dá)近似的程度。但可以想象，如果把這個(gè)過(guò)程無(wú)限次的繼續(xù)下去，就能得到精確的圓面積。二、極限思想發(fā)展的分期（一）極限思想的

8、萌芽時(shí)期遠(yuǎn)在2000多年以前，人們?cè)趯?duì)無(wú)窮的萌芽認(rèn)識(shí)中，極限的思想和方法就不可回避的孕育在其中了。在我國(guó)，著名的莊子·天下篇一書(shū)中記有：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭?！蹦抑髂?#183;經(jīng)天下中也有“非半弗，則不動(dòng)，說(shuō)在端?！钡恼撌?。從中可體現(xiàn)出我國(guó)早期對(duì)物質(zhì)的無(wú)限可分性與連續(xù)性已有了相當(dāng)深刻的認(rèn)識(shí)，雖然這些認(rèn)識(shí)屬于哲學(xué)，但已反映出極限思想的萌芽。將無(wú)窮思想創(chuàng)造性地運(yùn)用到數(shù)學(xué)中的是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽。劉徽在注釋九章算術(shù)中多次用到極限思想處理問(wèn)題，運(yùn)用的比較熟練，說(shuō)明當(dāng)時(shí)他已經(jīng)對(duì)極限思想有了相當(dāng)深刻的認(rèn)識(shí)。對(duì)極限的觀念和方法已經(jīng)有了直觀基礎(chǔ)上的運(yùn)用。正是以“割圓術(shù)”為理論

9、基礎(chǔ)，劉徽得出徽率。到公元五世紀(jì)，南北朝時(shí)期的大數(shù)學(xué)家、科學(xué)家祖沖之（429500年）的綴術(shù)中，同樣運(yùn)用“割圓術(shù)”推算出24576邊形得到：3.1415926<<3.1415927。祖沖之這一成果領(lǐng)先世界近千年。在國(guó)外，古希臘的巧辯學(xué)派幾何三大問(wèn)題。安提芬在研究畫(huà)圓為方的問(wèn)題時(shí)想到用邊數(shù)不斷增加的內(nèi)接正多邊形來(lái)接近圓面積，當(dāng)多邊形的邊數(shù)不斷加倍時(shí)內(nèi)接正多邊形與圓周之間存在的空隙就被逐漸“窮竭”,而布萊森（約公元前450年）則從相反的方向，提出通過(guò)圓的外切正多邊形的面積來(lái)逼近圓的面積的思想。公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯創(chuàng)立了較嚴(yán)格的確定面積和體積的一般方法“窮竭法”，這種方法假

10、定量的無(wú)限可分性，并且以及下面命題為基礎(chǔ)：“如果從任何量中減去一個(gè)不小于它的一半部的部分，從剩余部分中再減去不小于它的一半的另一部分，繼續(xù)下去，則最后將留下一個(gè)小于任何給定的同類量的量”。應(yīng)用窮竭法，歐多克斯(約公元前400前347年）正確地證明了“圓面積與直徑的平方成正比例”以及“球的體積與直徑的立方成正比例等結(jié)論”。他的窮竭法也已經(jīng)體現(xiàn)出了極限論思想。繼歐多克索斯之后，阿基米德使用窮竭法求出了一系列幾何圖形的面積。他用足夠“內(nèi)接”和“外切”扇形逼近螺線所圍成的平面圖形，這和我國(guó)的“割圓術(shù)”理論大相徑庭，實(shí)質(zhì)上是一種極限思想。阿基米德（Archimedes，公元前287前212年）生于敘拉古

11、（現(xiàn)意大利西西里島）。他才智過(guò)人、成果卓著，被譽(yù)為古代最偉大的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。他的傳世名著有圓的測(cè)量、論球體和圓柱體、論劈錐曲面體與球體、拋物線弓形求積、論螺線、砂粒計(jì)算等。他巧妙地把歐克多索斯與人的窮竭法與德·謨克利特的原子論觀點(diǎn)結(jié)合起來(lái)通過(guò)嚴(yán)密的計(jì)算，解決了求幾何圖形的面積、體積、曲線場(chǎng)，計(jì)算大量的計(jì)算問(wèn)題。他突破了傳統(tǒng)的有限運(yùn)算，采用了無(wú)限逼近的思想，將需要求積的量分成許多微小單元，再來(lái)用另一組容易計(jì)算總和的微小單元來(lái)進(jìn)行比較，他的無(wú)窮小概念到17世紀(jì)被牛頓作為微積分的基礎(chǔ)。阿基米德的杰出成就豐富了古代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其思想的深度和論述的嚴(yán)密性在當(dāng)時(shí)是極為罕見(jiàn)的，因而被人們稱為“數(shù)學(xué)

12、之神”,并與高斯、歐拉和牛頓并稱為19世紀(jì)以前的“數(shù)學(xué)四杰”。由此，我們可以看到數(shù)學(xué)無(wú)窮思想發(fā)展之初，古人已經(jīng)在極限領(lǐng)域開(kāi)創(chuàng)了光輝的起點(diǎn)。（二）極限思想的發(fā)展時(shí)期14世紀(jì)末，歐洲開(kāi)始有了資本主義的萌芽，到15世紀(jì)中期，封建制度的解體，歐洲的生產(chǎn)力得到了迅速地發(fā)展，開(kāi)始了“文藝復(fù)興”時(shí)代。由于生產(chǎn)力的發(fā)展，也推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，當(dāng)時(shí)，圍繞著力學(xué)為中心，在天文學(xué)、物理學(xué)、地理學(xué)等方面都提出了大量的新問(wèn)題，對(duì)這些問(wèn)題的探究促進(jìn)了相關(guān)科學(xué)的發(fā)展。如哥白尼“日心說(shuō)”的誕生帶來(lái)了一場(chǎng)自然科學(xué)的革命；由于對(duì)天體力學(xué)的研究，涌現(xiàn)出了一批科學(xué)家，如斯蒂文、伽利略、開(kāi)普勒等，他們?cè)跀?shù)學(xué)方面也做了大量的研究工作，

13、為微積分的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，為極限思想和方法的發(fā)展及運(yùn)用帶來(lái)了機(jī)遇。16世紀(jì)以后，歐洲處于資本主義的萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到了極大的發(fā)展。生產(chǎn)力和科學(xué)技術(shù)中發(fā)生了大量的變量問(wèn)題，如曲線切線問(wèn)題、最值問(wèn)題、力學(xué)中速度問(wèn)題、受力做功問(wèn)題等，初等數(shù)學(xué)方法對(duì)此越來(lái)越無(wú)能為力，需要的是新的數(shù)學(xué)思想，新的數(shù)學(xué)方法，突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，提供能夠用以描述和研究運(yùn)動(dòng)，變化過(guò)程的新工具，這極大的促進(jìn)了極限思想的發(fā)展。眾多數(shù)學(xué)家為解決上述問(wèn)題做了不懈的努力，如笛卡爾、費(fèi)馬、巴羅、卡瓦列里、沃利斯等，并取得了一定成果，尤其是牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分的工作，他們都以不同的角度運(yùn)用了極限的思想和方法，雖然他們的工作過(guò)多的

14、依賴于直觀，缺乏嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，但在他們的努力和成就為極限思想的進(jìn)一步完善奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 （三）極限思想的完善時(shí)期18世紀(jì)微積分富有成果然而欠缺嚴(yán)密的基礎(chǔ)，因而受到了人們的懷疑和攻擊。英國(guó)哲學(xué)家大主教貝克萊對(duì)微積分的攻擊最為激烈，他說(shuō)微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。正因?yàn)楫?dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)密的極限定義，微積分理論才受到嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。弄清極限概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身的需要，而且還有著認(rèn)識(shí)論上的重大意義。柯西的貢獻(xiàn)幾乎遍及所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在他的7本專著和800篇論文中，可以看出他在微積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論、微分方程、復(fù)變函數(shù)論、數(shù)論、行列式論、群論等方面都有研究和貢獻(xiàn)。1821年至

15、1826年他的無(wú)窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用和無(wú)窮小分析講義等3部專著給出了分析學(xué)的一系列基本理論的嚴(yán)格定義，從而形成了現(xiàn)代微積分體系，他是近代微積分的奠基著。在復(fù)變函數(shù)方面，柯西在關(guān)于定積分理論的報(bào)告中，從可交換積分順序的二重積分著手，導(dǎo)出來(lái)積分于路徑無(wú)關(guān)的柯西理論。他證明了函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)為：（其中c為包含的圓）。并且他還證明了：如果曲線C包圍著函數(shù)的一些極點(diǎn)，則沿曲線C的積分就是該函數(shù)在這些極點(diǎn)上留數(shù)之和的倍。在微積分方程理論中，柯西探討了微分方程的存在性問(wèn)題，證明了微分方程在不包含奇點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)存在著滿足給定條件的解這一事實(shí)，從而使微分方程的理論得以進(jìn)一步深化。在研究微分方程的解法時(shí)，他成功地

16、提出了優(yōu)勢(shì)函數(shù)法，柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過(guò)獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于19世紀(jì)70年代各自建立了完整的實(shí)數(shù)體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸納為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康拓爾提出用有理基本序列的極限來(lái)定義無(wú)理數(shù)。由此，沿柯西開(kāi)辟的道路，建立起來(lái)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題歸納為實(shí)數(shù)論的無(wú)矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠地基礎(chǔ)之上。三、極限思想與微積分  極限思想的發(fā)展與微積分的建立有著密不可分的聯(lián)系。16世紀(jì)的歐洲由于資本主義的興起，

17、資本主義手工業(yè)迅速發(fā)展，使得力學(xué)在科學(xué)中的地位越來(lái)越重要。以力學(xué)為中心地一系列實(shí)際問(wèn)題擺在可科學(xué)家面前，歸納起來(lái)有大致有以下四個(gè)方面：第一，由距離和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反之，由物體的加速度和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系求速度和距離；第二，確定運(yùn)動(dòng)物體在其軌道上任一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向，以及通過(guò)研究光線透鏡的途徑而提出求曲線的切線問(wèn)題；第三，求函數(shù)的最大值和最小值，這是普遍存在的實(shí)際問(wèn)題；例如求行星離開(kāi)太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近距離；第四，尋找曲線長(zhǎng)度、曲線圍成的面積和體積、物體的重心等的一般方法。從這四類問(wèn)題的出現(xiàn)可以看出，以常對(duì)量為主要研究對(duì)象的數(shù)學(xué)已經(jīng)不能滿足社會(huì)發(fā)展的需求，因而科學(xué)家門(mén)開(kāi)始由

18、對(duì)以常量為主要研究對(duì)象的研究轉(zhuǎn)移到以變量為主要研究對(duì)象的研究上來(lái)，自然科學(xué)開(kāi)始邁入綜合與突破的階段。  （一）微積分的孕育 微積分的誕生是數(shù)學(xué)史上的偉大事件。然而它是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期醞釀和孕育的產(chǎn)物，其根源可以追溯到古希臘時(shí)代，例如歐多克索斯的窮竭法，阿基米得的圓、球、拋物線圖形求積法。此外，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)此也做過(guò)有益探索，劉徽的割圓術(shù)、祖恒之的截面原理都可以說(shuō)明這一點(diǎn)。但是，這些工作由于時(shí)代限制，在數(shù)學(xué)史上僅是一些孤立的技巧。17世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家圍繞著前述四個(gè)方面問(wèn)題做了大量研究工作，他們?yōu)槲⒎e分的孕育做出了重大貢獻(xiàn)。   求復(fù)雜面積、體積和線段長(zhǎng)度的工作開(kāi)

19、始于得國(guó)科學(xué)家開(kāi)普勒（kepler.1571-1630年）。1615年，開(kāi)普勒發(fā)表酒桶的建立體幾何學(xué)，集中研究了求旋轉(zhuǎn)體體積問(wèn)題。其基本方法是-首先，把給定得幾何圖形分成無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小得圖形，用某種特定的方法把這些圖形的面積或體積加起來(lái)，變得到給定的圖形的面積和體積；其次，幾何圖形是由同樣維數(shù)的不可分離量即無(wú)窮小面積或體積組成的。雖然這些計(jì)算都是不嚴(yán)格的，但是他得出的結(jié)果卻是正確的。這些簡(jiǎn)單易行的方法，同今天常采用的“微元法”有著相似之處。開(kāi)普勒是第一個(gè)在求積中運(yùn)用無(wú)窮小的數(shù)學(xué)家，這就是他對(duì)積分學(xué)的最大貢獻(xiàn)。  1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦利里（1598-1647年）的用新方法促進(jìn)的

20、連續(xù)不可分幾何學(xué)的正式出版標(biāo)志著積分學(xué)的一個(gè)重要進(jìn)展。他認(rèn)為，幾何圖形是由無(wú)數(shù)多個(gè)維為數(shù)較低的不可分量組成的，即面積是由條數(shù)不定的等距離平行線構(gòu)成的，體積是由等距離的平行平面構(gòu)成的，他把這些元素分別稱之為面積和體積的不可分量。這一方法所依據(jù)的一個(gè)重要原理就是“祖恒原理”（國(guó)外數(shù)學(xué)家稱為卡瓦利里原理，實(shí)際上發(fā)展這一原理我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之、祖恒之父子比卡瓦利里要早1100多年）。他用他“重新發(fā)現(xiàn)”的這一原理證明：圓錐的體積是外接圓柱體積的 EMBED Equation.3 ，拋物線弓形面積是外接矩形面積的?？ㄍ呃锊豢煞智蠛驮?，實(shí)際上就是后來(lái)定積分概念的雛形。同時(shí)，他還證明了：對(duì)于1到9的正整數(shù)n

21、，有。在用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分幾何學(xué)一書(shū)中，還有應(yīng)用微積分概念求極值的某些定理，第一個(gè)命題就包含著與羅爾定理等價(jià)的推斷。    意大利物理學(xué)家伽利略對(duì)微積分的孕育也做了重大貢獻(xiàn)。微積分概念形成于切線、極值及運(yùn)動(dòng)速度問(wèn)題的處理。伽利略在兩種新科學(xué)的對(duì)話一書(shū)中，給出了自由落體運(yùn)動(dòng)距離和時(shí)間的關(guān)系式。他在處理迅速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，證明了在速度時(shí)間曲線下的面積就是距離，他把面積看成是由無(wú)窮多個(gè)不可分的單位堆積而成的。在他的著作中，他描述了無(wú)窮大和無(wú)窮小的某些性質(zhì)，還求援出了擺線一個(gè)拱尺面的面積和擺線切線的做法。   法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對(duì)微積分的孕育也

22、有重要的影響。1629年，他首次獲得了求函數(shù)極值的法則，即運(yùn)用上了微分學(xué)思想；用類似方法他還求出了平面曲線的切線，拋物線體積的重心和拐點(diǎn)；他還用極限求出了拋物線的面積等。    此外，英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯（john wsillis.1616-1703年）和巴羅（Isaac barrow.1630-1677年）微積分萌芽中也做了大量工作。1655年沃利斯在其名著無(wú)窮算術(shù)中運(yùn)用分析法和不可分原理，得到了一些更為廣泛有用的結(jié)果。他首次把圓錐曲線看作二次曲線，從而使得笛卡兒和卡瓦利里的方法得到系統(tǒng)化和推廣。同時(shí)他還把推廣到維分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)（除-1外）。  綜上所述，這些

23、數(shù)學(xué)家的先驅(qū)性工作均為微積分的創(chuàng)立奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。為微積分的創(chuàng)立積累了大量的資料，而這些堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)和大量的資料，無(wú)一不是以極限的思想為基石一步一步堆積起來(lái)的。   （二）牛頓與微積分  牛頓（Isaac  Newton，16431727），英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。1643年出生于英格蘭北部林肯郡的一個(gè)農(nóng)民家庭。為躲避鼠疫回鄉(xiāng)，兩年間他提出了“流數(shù)法”，發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律并得到了太陽(yáng)光譜。牛頓發(fā)現(xiàn)微積分首先得助于其老師巴羅，巴羅關(guān)于“微分三角形”的深刻思想給他影響極大；另外，費(fèi)馬的切線方法和沃利斯的無(wú)窮算術(shù)也給了他很大啟發(fā)。1666年，牛頓寫(xiě)出第一篇關(guān)于微積分的

24、論文流數(shù)短論，在該文中首先提出了流數(shù)概念。而于1669年完成到1711年才發(fā)表的運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)，則給出了一個(gè)求變量對(duì)另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的普遍方法，并且證明了面積可以求變化率的逆過(guò)程得到。1671年，牛頓完成了流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)（1736年出版），進(jìn)一步對(duì)自己的思想做了更廣泛更明確的說(shuō)明，系統(tǒng)的引進(jìn)了他所獨(dú)創(chuàng)的概念和記法。他將變量稱作“流”，將變量的變化率稱作“流數(shù)”。1676年牛頓完成了另一部著作求曲邊形的面積（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”兩個(gè)新概念，并且明確的表現(xiàn)出將導(dǎo)數(shù)作為增量比的極限思想。在牛頓微積分學(xué)說(shuō)的發(fā)展過(guò)程中，可以看到牛頓始終不渝地努力改進(jìn)、完善自己

25、的微積分學(xué)說(shuō)，經(jīng)過(guò)20年左右的時(shí)間，他的微積分從以無(wú)窮小為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐詷O限為基礎(chǔ)。但由于時(shí)代或認(rèn)識(shí)的問(wèn)題，牛頓始終沒(méi)能給出無(wú)窮小和極限的嚴(yán)格定義，但瑕不掩瑜，他將自古以來(lái)求解無(wú)窮小問(wèn)題的各種方法和特殊技巧有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)。正是在這種意義下，我們說(shuō)牛頓創(chuàng)立了微積分。（三）萊布尼茨與微積分德國(guó)自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨生于萊比錫。在惠更斯的激勵(lì)和引導(dǎo)下，萊布尼茨步入數(shù)學(xué)和物理之門(mén)。他深入研究了笛卡爾，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡，巴羅等人的數(shù)學(xué)論著并做了大量筆記。在這段時(shí)間，他引進(jìn)了常量、變量，和參考變量概念，從研究幾何問(wèn)題入手完成了微積分的基本計(jì)算理論。他創(chuàng)作了微積分的符號(hào)、及積分符號(hào)，并提出了函數(shù)

26、的和、差、積、商的微分法則和在積分量下對(duì)參變量求微分的方法以及旋轉(zhuǎn)體體積公式。1684年，他在博學(xué)文摘上發(fā)表第一篇論文，文中提出了切線、極大值、極小值和拐點(diǎn)的方法。牛頓和萊布尼茨同是微積分的創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茨在創(chuàng)立微積分過(guò)程中都采用了一些新的方法，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上都有創(chuàng)造性作用。他們都把求面積和體積以及其他以往作為求和處理的問(wèn)題都?xì)w于反微分，從而為積分運(yùn)算開(kāi)辟了一個(gè)簡(jiǎn)單途徑。然而，他們的創(chuàng)造性工作也有所不同。牛頓較多的注重于創(chuàng)立微積分的體系和基本方法，從考慮變化率出發(fā)解決面積和體積問(wèn)題。而萊布尼茨更多地關(guān)心微積分運(yùn)算公式的建立和推廣，從而建立了微積分法則和公式。綜上所述，眾多數(shù)學(xué)家在解決問(wèn)題時(shí)

27、都不同程度地使用了無(wú)窮小，進(jìn)而是極限的思想和方法，但都沒(méi)有給出明確的定義，包括被譽(yù)為微積分的創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茲，他們?cè)趧?chuàng)立微積分的過(guò)程中也沒(méi)有給出無(wú)窮小和極限的數(shù)學(xué)定義。但這些絲毫也無(wú)損于這些科學(xué)偉人的歷史功績(jī)，因?yàn)槿魏慰茖W(xué)理論的創(chuàng)立，都不是某個(gè)數(shù)學(xué)家憑空臆想出來(lái)的，而是社會(huì)發(fā)展的需要。從認(rèn)識(shí)論的角度看，人的認(rèn)識(shí)規(guī)律是由具體到抽象，那么人類對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)和發(fā)展也不應(yīng)例外。（四）、微積分的進(jìn)一步發(fā)展繼牛頓和萊布尼茨之后，1718世紀(jì)初產(chǎn)生了不少微積分成果。這些成果主要包括兩方面：一是對(duì)微積分的可靠性進(jìn)行研究，指出不足、做出修正；二是增補(bǔ)具體成果。歐拉（Leonhard Euler，17071

28、783年），瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。在發(fā)展微積分方面，他整理了萊布尼茨的支持者大陸派的微積分內(nèi)容，先后發(fā)表了無(wú)窮小分析應(yīng)論、微分學(xué)、積分學(xué)等著作。在這些著作與一系列論文中，歐拉對(duì)微積分的發(fā)展做出了偉大的貢獻(xiàn)。1、他對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了系統(tǒng)的探討，定義了多元函數(shù)和超越函數(shù)概念，區(qū)分了顯函數(shù)和隱函數(shù)，單值函數(shù)和多值函數(shù)；2、他給出了用累次積分計(jì)算有界區(qū)域的二重積分方法；3、他研究了數(shù)列極限的存在性，并把該極限記為e;對(duì)于發(fā)散級(jí)數(shù)，他給出了下面的結(jié)果（歐拉常數(shù)）: 他把實(shí)函數(shù)的許多結(jié)果都推廣到復(fù)數(shù)域，從而推動(dòng)了復(fù)變函數(shù)的理論發(fā)展；5、通過(guò)對(duì)函數(shù)極值問(wèn)題的研究，他解決了一般函數(shù)問(wèn)題的極值問(wèn)題，并成功的找到了

29、極值函數(shù)必須滿足的微分方程歐拉方程;6、歐拉通過(guò)對(duì)積分以及。此外，他在微分方程、幾何、數(shù)論以及力學(xué)、光學(xué)和天文學(xué)等方面做出了極大的貢獻(xiàn)，難怪人們稱他是：“一個(gè)多才的科學(xué)家，一個(gè)方法的發(fā)明家，一個(gè)熟練的巨匠”。拉格朗日（Joseph Louis lagrange,17361813年），法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和天文學(xué)家。從1766年起，由歐拉推薦任柏林科學(xué)院院長(zhǎng)長(zhǎng)達(dá)21年。在柏林科學(xué)院工作期間，他對(duì)代數(shù)、數(shù)論、微分方程、變分法、力學(xué)、天文學(xué)等進(jìn)行了廣泛深入的研究，并取得了豐碩成果。關(guān)于微積分他試圖徹底的拋棄模糊不清的無(wú)窮小概念，在其名著解析函數(shù)論（1797年發(fā)表）中。他曾經(jīng)嘗試把微分、無(wú)窮小和極限與概念，從微積分中排除。他用代數(shù)方法證明了泰勒展開(kāi)式。他對(duì)無(wú)窮小級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題仍無(wú)法回