正方形的判定

1、關(guān)于正方形的判定第一頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片 你覺得什么樣的四邊形是你覺得什么樣的四邊形是正方形呢正方形呢?( ?( 判斷一個(gè)四邊形是判斷一個(gè)四邊形是正方形有哪些方法？）正方形有哪些方法？）第二頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片平行四邊形平行四邊形矩矩形形菱菱形形正正方方形形正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)系？正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)系？第三頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片平行四邊形平行四邊形正方形正方形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角1 1、 正方形正方形菱形菱形 2 2、一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角矩形矩形3 3、一組鄰邊相等一組鄰邊相等正方形正方形正方形的判定方法正方形的判定

2、方法：(可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）對(duì)角線相等對(duì)角線相等對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相垂直第四頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片5種判種判定方法定方法三個(gè)角是直角三個(gè)角是直角四條邊相等四條邊相等一一個(gè)個(gè)角角是是直直角角或或?qū)?duì)角角線線相相等等一組鄰邊相等一組鄰邊相等或或?qū)蔷€垂直對(duì)角線垂直一組鄰邊相等一組鄰邊相等或或?qū)蔷€垂直對(duì)角線垂直一個(gè)角是直角一個(gè)角是直角或或?qū)蔷€相等對(duì)角線相等一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)第五頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片正方形的判定方法正方形的判定方法1：w定義

3、:一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形行四邊形是正方形w求證:四邊形ABCD是正方形.w證明:四邊形ABCD是平行四邊形,A=900,又AB=BC,四邊形ABCD是正方形.w已知:四邊形ABCD是平行四邊形,A=900.AB=BCABCD四邊形ABCD是矩形.第六頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片正方形的判定方法正方形的判定方法2：w有一個(gè)組鄰邊相等的矩形是正方形有一個(gè)組鄰邊相等的矩形是正方形w求證:四邊形ABCD是正方形.w證明:四邊形ABCD是矩形,又AB=BC,AB=BC=CD=AD四邊形ABCD是正方形.w已知:四邊形ABCD是矩形,AB=BC.ABCDA=

4、B=C=D=90，AD=BC,AB=CD.第七頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片正方形的判定方法正方形的判定方法3w有一個(gè)角是直角的菱形是正方形有一個(gè)角是直角的菱形是正方形. .w求證:四邊形ABCD是正方形.w分析:要證明四邊形ABCD是正方形,可轉(zhuǎn)化為證明有一組鄰邊相等的矩形即可.w證明:AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.A=B=C=900.四邊形ABCD是矩形.四邊形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四邊形ABCD是正方形.w已知:四邊形ABCD是菱形,A=900.ABCD第八頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片w對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形. .w求證:四邊形ABC

5、D是正方形.w證明:ABC=900,四邊形ABCD是平行四邊形.ACBD,四邊形ABCD是菱形.ABC=900.四邊形ABCD是矩形,四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是矩形,且ACBD.ABCDO正方形的判定方法正方形的判定方法4第九頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片w對(duì)角線相等的菱形是正方形對(duì)角線相等的菱形是正方形.w求證:四邊形ABCD是正方形.w證明:AB=BC,四邊形ABCD是平行四邊形.AC=BD,四邊形ABCD是矩形.AB=BC,四邊形ABCD是菱形,四邊形ABCD是正方形.w已知:四邊形ABCD是菱形,且對(duì)角線AC=BD.ABCDO正方形的判定方法正方形的判定方法5第十頁(yè)，共31頁(yè)幻

6、燈片歸納歸納：正方形的正方形的5種判定方法種判定方法w2 2、有一個(gè)組鄰邊相等的矩形是正方形、有一個(gè)組鄰邊相等的矩形是正方形w3 3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形. .w4 4、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形. .w5 5、對(duì)角線相等的菱形是正方形對(duì)角線相等的菱形是正方形.w1、定義:一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形平行四邊形是正方形第十一頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片(1)(1)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（ ）(2)(2)如果一個(gè)菱形的對(duì)角線相等，那么它

7、一定如果一個(gè)菱形的對(duì)角線相等，那么它一定 是正方形是正方形 （ ）(3)(3)如果一個(gè)矩形的對(duì)角線互相垂直，那么它如果一個(gè)矩形的對(duì)角線互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （ ）(4)(4)四條邊相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形四條邊相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形 是正方形（是正方形（ ）(5)(5)四個(gè)角都相等的四邊形是正方形四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 ( )( )(6)(6)四條邊都相等的四邊形是正方形四條邊都相等的四邊形是正方形 ( )( )第十二頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片 1、下列命題正確的是（、下列命題正確的是（ ） A、四個(gè)角都相等的四邊形是正方形、四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 B、

8、四條邊都相等的四邊形是正方形、四條邊都相等的四邊形是正方形 C、對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形、對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形 D、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形D例1:第十三頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片 練習(xí)2四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（ ）A、正方形、正方形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D、平行四邊形、平行四邊形練習(xí) 3在四邊形在四邊形ABCD中，中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn)能判定這個(gè)四邊形是正能判定這個(gè)四邊形是正 方形的是：（方形的是：（ ）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD

9、CA第十四頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片練習(xí)4 四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等 的四的四邊形一定是：（邊形一定是：（ ）A正方形正方形 B菱形菱形 C矩形矩形 D平行四邊形平行四邊形A第十五頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片練習(xí)練習(xí)5 5、已知四邊形、已知四邊形ABCDABCD是平行四邊形，對(duì)角是平行四邊形，對(duì)角線線ACAC、BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O。若若AB=BC，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若AC=BD，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若BCD=900，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若OA=OB，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若AB=BC，且

10、，且AC=BD，則四邊形，則四邊形ABCD是是 （ ）菱形菱形矩形矩形矩形矩形矩形矩形正方形正方形第十六頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片例例2 2、直角三角形直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB。求證：四邊形求證：四邊形CEDFCEDF是正方形。是正方形。ABCDEF四邊形四邊形ABCDABCD是正方形（是正方形（ ) ) DE=DF( ) DE=DF( )DEACDEAC， DFBCDFBC CD CD平分平分ACBACB 四邊形四邊形ABCDABCD為矩形為矩形( )( )而而ACB=90ACB=90 DEC=90 DEC=

11、90， DFC=90DFC=90證明：證明： DEAC DEAC，DFABDFAB有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形角平分線的定理角平分線的定理有一組鄰邊相等的矩形是正方形有一組鄰邊相等的矩形是正方形第十七頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片 已知已知: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E、F F、G G 、H H分別是分別是AB AB 、BC BC 、CD CD 、DADA的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,試判斷四邊形試判斷四邊形EFGHEFGH是正是正方形嗎方形嗎? ?為什么為什么? ?第十八頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片 達(dá)標(biāo)檢測(cè)6：已知已知: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E

12、、F F、G G 、H H分別在分別在AB AB 、BC BC 、CD CD 、DADA上上, ,且且AE=BF=CG=DH,AE=BF=CG=DH,試試判斷四邊形判斷四邊形EFGHEFGH是正方形嗎是正方形嗎? ?為什么為什么? ?123第十九頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片 例4：已知已知: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E、F F、G G 、H H分別在分別在AB AB 、BC BC 、CD CD 、DADA上上, ,且且AE=BF=CG=DH,AE=BF=CG=DH,試判斷四試判斷四邊形邊形EFGHEFGH是正方形嗎是正方形嗎? ?為什么為什么? ?123證明：證明： 四邊形四邊形

13、ABCD是正方形是正方形 A= B= C=D=90，AB=AD=DC=BC又又 AE=BF=CG=DHAB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF即即BE=AH=DG=CF AEH BFE CGF DHG EH=EF=GF=HG 1=3又又 3+2=90 1+2=90 EFH=90 四邊形四邊形EFGH是正方形是正方形 (有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形） 第二十頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片 在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路使得在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分(不考慮道路的

14、寬度不考慮道路的寬度).你有幾種方法？你有幾種方法？設(shè)計(jì)花壇設(shè)計(jì)花壇第二十一頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片第二十二頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片例例2 2、已知：如圖、已知：如圖(4)(4)在正方形在正方形ABCDABCD中，中，F(xiàn) F為為CDCD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CEAFCEAF于于E E，交，交ADAD于于M M，求證：求證：MFDMFD4545證明：證明：DM=DFDM=DFRtRtADFRtADFRtCDMCDM(ASA)(ASA)又又ADADCDCD，ADFADFMDC=90MDC=901122又又CMDCMDAME AME （對(duì)頂角）（對(duì)頂角）ADCADCAEMAEM9090CEAF CEAF 四

15、邊形四邊形ABCDABCD是正方形是正方形MFDMFD4545第二十三頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片例例3：如圖，已知：如圖，已知RtABC中，中，C=900，A、B的角平分線相交于點(diǎn)的角平分線相交于點(diǎn)D，DEBC于點(diǎn)于點(diǎn)E，DFAC于于點(diǎn)點(diǎn)F，求證：四邊形求證：四邊形AEDF是正方形。是正方形。DABCEFM第二十四頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片 1 1、在正方形、在正方形ABCDABCD中，中，AC=10AC=10，P P是是ABAB上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，PEACPEAC于點(diǎn)于點(diǎn)E E，PFBDPFBD于點(diǎn)于點(diǎn)F F，求，求PE+PFPE+PF的值。的值。ABCDEPFO第二十五頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片思考題：思考題

16、： 如圖正方形如圖正方形ABCDABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)的對(duì)角線相交于點(diǎn)O O，O O又是又是另一個(gè)正方形另一個(gè)正方形OEFGOEFG的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形OEFGOEFG繞點(diǎn)繞點(diǎn)O O旋旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中. .探究探究2:2:若正方形若正方形OEFGOEFG與正方形與正方形ABCDABCD兩邊分別相交于兩邊分別相交于M NM N，試判斷線，試判斷線段段AMAM于于BNBN之間的關(guān)系之間的關(guān)系. .探究探究1:1:兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否會(huì)發(fā)生變化？?jī)蓚€(gè)正方形重疊部分的面積是否會(huì)發(fā)生變化？探究探究3:3:若正方形若正方形ABCDABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為

17、1 1，則陰影部分面積，則陰影部分面積BMONBMON為多少？為多少？第二十六頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片例例5、如圖，點(diǎn)、如圖，點(diǎn)M是矩形是矩形ABCD邊邊AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，2ABAD，點(diǎn)點(diǎn)P是邊是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，上一動(dòng)點(diǎn)，PEMC，PFMB，垂足分別為，垂足分別為E、F，求點(diǎn)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形PEMF為正方形？為正方形？ 第二十七頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片2 2、已知，如圖在、已知，如圖在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn)D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分線，的平分線，CEANCEAN垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn)E E，求證：四邊形求證：四邊形ADCEADCE是矩形。是矩形。當(dāng)當(dāng)ABCABC滿足什么條件時(shí)，四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADCEADCE是正方形，說明理由。是正方形，說明理由。ABCEMND第二十八頁(yè)，共31頁(yè)幻燈片3、如圖、如圖B、C、E是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形四邊形ABCD與與CEFG是正方形，連接是正方形，連接BG、DE（1）觀察、猜想）觀察、猜想BG與與DE之間的大小關(guān)系之間的大小關(guān)系，并說明理由。，并說明理由。（2）正方形）正方形CEFG在繞點(diǎn)在繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中，旋轉(zhuǎn)過程中，BG與與DE之間的關(guān)系是否仍然成立