有限元方法及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

1、現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)理論與方法有限元方法學(xué)院：機(jī)械工程學(xué)院日期：2012年12月8日目 錄摘 要3關(guān)鍵詞3Abstract3Key Words41 有限元方法的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及應(yīng)用實(shí)例41.1 有限元的發(fā)展趨勢(shì)41.2 有限元的應(yīng)用實(shí)例42 有限元方法的分析過(guò)程52.1 有限元分析的三個(gè)階段52.2 有限元分析的七個(gè)步驟52.3 有限元軟件的分析過(guò)程63 參考文獻(xiàn)8有限元方法摘 要：有限元方法法的基本概念是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替復(fù)雜問(wèn)題后再求解。有限元法的基本思想是先化整為零再積零為整，也就是把一個(gè)連續(xù)體分割成有限個(gè)單元；即把一個(gè)結(jié)構(gòu)看成由若干通過(guò)節(jié)點(diǎn)相連的單元組成的整體，先進(jìn)行單元分析，然后再把這些單元

2、組合起來(lái)代表原來(lái)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析。關(guān)鍵詞：有限元方法；單元；節(jié)點(diǎn)Finite Element MethodAbstract：The basic concepts of the finite element method is solving complex problems with a simple question instead.The basic idea of the finite element method is dismembered, and then plot the parts into a whole, that is divided a continuum into

3、 a finite number of unit; that is to regard a structure as a whole connected by many nodes，first to analysis unit，then analysis the overall combined by these units，which represents the original structure.Key Words：finite element method；unit；node1 有限元方法的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及應(yīng)用實(shí)例“有限單元法”這一名稱是克拉夫（Clough）在1960年首先引用的。

4、它是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的一種現(xiàn)代計(jì)算方法。它雖然是50年代首先在連續(xù)體力學(xué)領(lǐng)域飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)態(tài)特性分析中應(yīng)用過(guò)的一種有效的數(shù)值分析方法，但是，由于它所依據(jù)理論的普遍性，已經(jīng)能夠成功地用來(lái)求解其它工程領(lǐng)域中的許多問(wèn)題1。隨后很快廣泛的應(yīng)用于求應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)、電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)、流體場(chǎng)等連續(xù)性問(wèn)題。涉及了很多的工程學(xué)科，如機(jī)械設(shè)計(jì)、聲學(xué)、電磁學(xué)、巖土力學(xué)、流體力學(xué)等。在機(jī)械工程領(lǐng)域，有限元被廣泛的應(yīng)用于機(jī)構(gòu)、振動(dòng)和傳熱問(wèn)題上。1.1 有限元的發(fā)展趨勢(shì)縱觀當(dāng)今國(guó)際上有限元軟件的發(fā)展情況，可看出有限元軟件的一些發(fā)展趨勢(shì)：與CAD軟件的無(wú)縫集成；更為強(qiáng)大的網(wǎng)格處理能力；由求解線性問(wèn)題發(fā)展到求

5、解非線性問(wèn)題；由單一結(jié)構(gòu)場(chǎng)求解發(fā)展到耦合場(chǎng)問(wèn)題的求解；程序面向用戶開放性等。1.2 有限元的應(yīng)用實(shí)例地鐵振動(dòng)預(yù)測(cè)的周期性有限元邊界元耦合模型Jones利用有限元無(wú)限元耦合二維模型計(jì)算了鐵路隧道內(nèi)及周圍土體的動(dòng)力響應(yīng)2。針對(duì)地鐵列車運(yùn)行引起的隧道結(jié)構(gòu)和自由場(chǎng)中的振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題，提出了一個(gè)在頻率波數(shù)域內(nèi)的三維周期性有限元邊界元耦合的數(shù)值模型，此模型中隧道結(jié)構(gòu)采用有限元法計(jì)算，自由場(chǎng)采用邊界元法模擬。此模型采用Floquet變換，利用隧道和自由場(chǎng)在隧道軸線方向上的周期性，把無(wú)限長(zhǎng)的隧道及自由場(chǎng)的網(wǎng)格劃分限制在一個(gè)基本元內(nèi)，這樣使動(dòng)力學(xué)數(shù)值計(jì)算的效率大大提高。利用此模型計(jì)算了在隧道底板上施加固定單位諧振

6、荷載情況下隧道自由場(chǎng)相互作用系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)果表明此模型可應(yīng)用于地鐵列車運(yùn)行引起的隧道和自由場(chǎng)中的動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)3。 永磁直線同步電機(jī)解析分析及有限元驗(yàn)證對(duì)永磁直線同步電動(dòng)機(jī)具有邊端效應(yīng)、氣隙不均勻、氣隙磁場(chǎng)分布復(fù)雜、永久磁極幾何尺寸難以確定的問(wèn)題，給出了單段永磁直線同步電動(dòng)機(jī)氣隙磁場(chǎng)的二維解析分析，討論了電機(jī)的各主要尺寸參數(shù)對(duì)氣隙磁場(chǎng)和性能的影響，提出了永久磁極的設(shè)計(jì)原則和計(jì)算公式，分析了考慮飽和影響、計(jì)及邊端效應(yīng)時(shí)分段式永磁直線同步電動(dòng)機(jī)的非線性、不對(duì)稱、變化的自感和互感參數(shù)的解析計(jì)算方法，得到了定子繞組自感和互感系數(shù)隨動(dòng)子位置不同時(shí)的變化曲線。有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，導(dǎo)出的分段式永磁直線

7、同步電動(dòng)機(jī)永久磁極的設(shè)計(jì)計(jì)算公式以及電機(jī)變電感參數(shù)解析計(jì)算公式是適用的4。 基于響應(yīng)面的橋梁有限元模型修正采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)和回歸分析方法，以顯式的響應(yīng)面模型逼近特征量與設(shè)計(jì)參數(shù)間復(fù)雜的隱式函數(shù)關(guān)系，得到簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)模型(Meta-model)，給出有限元模型修正過(guò)程。針對(duì)復(fù)雜的土木工程結(jié)構(gòu)，討論樣本選擇、修正參數(shù)選取以及如何從眾多因素中較合理地建立結(jié)構(gòu)的響應(yīng)面模型。用數(shù)值模擬算例和六跨連續(xù)梁橋環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果，實(shí)現(xiàn)基于響應(yīng)面模型的土木工程結(jié)構(gòu)有限元模型修正，并與傳統(tǒng)的基于靈敏度方法直接對(duì)結(jié)構(gòu)有限元模型修正結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明，基于響應(yīng)面方法的有限元模型修正和驗(yàn)證，能顯著提高修正的效率，修正過(guò)程計(jì)算

8、簡(jiǎn)潔、迭代收斂快，避開每次迭代都需要進(jìn)行有限元計(jì)算，易于工程實(shí)際應(yīng)用5。2 有限元方法的分析過(guò)程2.1 有限元分析的三個(gè)階段前處理階段：將整體結(jié)構(gòu)或其一部分簡(jiǎn)化為理想的數(shù)學(xué)力學(xué)模型，用離散化的單元代替連續(xù)實(shí)體結(jié)構(gòu)或求解區(qū)域；主要包括：定義分析的類型、添加材料屬性、添加載荷和約束、網(wǎng)格的劃分等分析求解階段：運(yùn)用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)離散模型進(jìn)行分析計(jì)算，這個(gè)過(guò)程是由計(jì)算機(jī)來(lái)完成的。后處理階段：對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析、整理和歸納。2.2 有限元分析的七個(gè)步驟1、結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的簡(jiǎn)化從實(shí)際的問(wèn)題中抽象出力學(xué)模型，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的邊界條件、約束條件和外載荷條件進(jìn)行簡(jiǎn)化。抽象簡(jiǎn)化出來(lái)的力學(xué)模型應(yīng)該能盡可能的反映真實(shí)的實(shí)際

9、問(wèn)題，合理的模型既能保證計(jì)算結(jié)構(gòu)的精度，又不會(huì)帶來(lái)結(jié)構(gòu)上的過(guò)分復(fù)雜（模型的建立在有限元分析的過(guò)程中是一個(gè)比較重要的階段）。2、結(jié)構(gòu)的離散化所謂結(jié)構(gòu)的離散化就是將連續(xù)的結(jié)構(gòu)體劃分為有限個(gè)單元體以代替原來(lái)的結(jié)構(gòu)。這個(gè)過(guò)程也就是網(wǎng)格的劃分，網(wǎng)格劃分是建立有限元模型的中心工作，模型的合理性很大程度上可以通過(guò)所劃分的網(wǎng)格形式反映出來(lái)。 3、位移模式的選擇為了能用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，在分析時(shí)就要對(duì)單元體位移的分布進(jìn)行一定的假設(shè)，假設(shè)位移是坐標(biāo)的某種簡(jiǎn)單函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是位移模式或者位移函數(shù)。 一般情況下選擇多項(xiàng)式作為位移模式，因?yàn)樗械墓饣瘮?shù)的局部都可以用多項(xiàng)式逼近。4、分析單元的力學(xué)

10、特性單元特性的分析包括以下三部分的內(nèi)容：（1）利用幾何方程，用位移模式導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變的關(guān)系式。（2）利用物理方程，由應(yīng)變表達(dá)式導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力的關(guān)系式。（3）利用虛功原理建立作用于單元上的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式，也就是單元的剛度方程。5、計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力彈性體經(jīng)過(guò)離散后，假定力是通過(guò)節(jié)點(diǎn)在單元體之間進(jìn)行傳遞的。但是，實(shí)際的連續(xù)體，力是通過(guò)單元的公共邊界進(jìn)行傳遞的。因此，作用在單元上的各種力就需要等效移植到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來(lái)代替單元上的力。移植的方法是按照虛功等效原則進(jìn)行的。6、集合所有單元的剛度方程，建立這個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程這個(gè)過(guò)程包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是

11、由各個(gè)單元的剛度矩陣集合成整個(gè)物體的整體剛度矩陣；二是將作用于各單元的等效節(jié)點(diǎn)力列陣合成總的載荷列陣。集合所依據(jù)的原則是要求相鄰的單元在公共節(jié)點(diǎn)處的位移相等。7、求解未知節(jié)點(diǎn)的位移和計(jì)算單元應(yīng)力由集合起來(lái)的平衡方程組，解出未知位移。在線彈性平衡問(wèn)題中，可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)選擇合適的計(jì)算方法。對(duì)于非線性問(wèn)題，則通過(guò)一系列的步驟，并逐步修正剛度矩陣或載荷矩陣，才能獲得解答。最后，利用物理方程和求出的節(jié)點(diǎn)位移，計(jì)算各單元的應(yīng)力，并加以整理得出所要的結(jié)果。2.3 有限元軟件的分析過(guò)程用Solidworks軟件中的simulation插件可以解決一些簡(jiǎn)單的有限元問(wèn)題。 數(shù)學(xué)模型的建立從實(shí)際問(wèn)題中抽象

12、出數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1000mm、100mm、50mm的一個(gè)長(zhǎng)方體。利用Solidworks軟件進(jìn)行實(shí)體建模，選擇材料為合金鋼，如下圖所示：接下來(lái)，我們添加靜態(tài)算例，因?yàn)樗惺艿妮d荷是靜態(tài)的。 添加約束和載荷將實(shí)體的左端面固定，并且在最右端添加一個(gè)豎直向下的5000N的力。如下圖所示： 將實(shí)體進(jìn)行網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分后的結(jié)果如下： 運(yùn)行求解應(yīng)力截圖位移截圖應(yīng)變截圖 結(jié)果分析對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析可知，與實(shí)際的工程應(yīng)用實(shí)例結(jié)果一致。3 參考文獻(xiàn)1任中全，寇子明，趙燦等現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)理論與方法M北京：煤炭工業(yè)出版社，2000：24-25. 2Jones C J C，Wang A，Dawn T MModelling propagation of vibration from railway tunnelsAComputational Acoustics and its Environmental ApplicationscS