概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件

1、 前面，我們討論了參數(shù)的點估計前面，我們討論了參數(shù)的點估計. . 它是用樣本算的一個值去估計未知參數(shù)它是用樣本算的一個值去估計未知參數(shù). . 但是，點估計僅僅給出了未知參數(shù)的一但是，點估計僅僅給出了未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這種估計的精個近似值，它沒有反映出這種估計的精度度. .區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個不區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個不足之處足之處. .可信度：越大越好可信度：越大越好估計估計你的年齡你的年齡 八成八成在在21212828歲之間歲之間被估參數(shù)被估參數(shù)可信度可信度范圍、區(qū)間范圍、區(qū)間區(qū)間：越小越好區(qū)間：越小越好 引例引例 在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我在估計湖中魚數(shù)的

2、問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)N的最大的最大似然估計為似然估計為10001000條條. .實際上，實際上，N的真值可能大于的真值可能大于1000條，條，也可能小于也可能小于1000條條. .為此，我們希望確定一個區(qū)間為此，我們希望確定一個區(qū)間來估計參數(shù)真值來估計參數(shù)真值a 使我們能以比較高的可靠程度相信它使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值包含真參數(shù)值. .湖中魚數(shù)的真值湖中魚數(shù)的真值 這里所說的這里所說的“可靠程度可靠程度”是用概率來度量的是用概率來度量的b 區(qū)間估計的精度要高區(qū)間估計的精度要高. .7.4 正態(tài)總體的區(qū)間估計正態(tài)總體的區(qū)間估計

3、設(shè)設(shè)X1 ，X2, ,，Xn為來自總體為來自總體X F(x; )的一個的一個樣本樣本， 是未知參數(shù)是未知參數(shù). 若對于給定的若對于給定的 （0 1），存在兩個統(tǒng)計量），存在兩個統(tǒng)計量 11122112(,), (,)()nnXXXX 使得對任意的使得對任意的 滿足滿足 1121(,) (,)1nnPXXXX 一一 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義則稱隨機區(qū)間則稱隨機區(qū)間 為參數(shù)為參數(shù) 的置信水平的置信水平(confidence level)為為1-1- 的置信區(qū)間的置信區(qū)間(confidence interval).12 , 置信水平又稱為置信度，置信區(qū)間的左端點置信水平又稱為置信度，置信區(qū)間的左

4、端點 又稱為置信下界，置信區(qū)間的右端點又稱為置信下界，置信區(qū)間的右端點 又稱為置信上界又稱為置信上界. .1212 , 1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大.12()P2. 估計的精度要盡可能的高估計的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間如要求區(qū)間長度長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則的其它準(zhǔn)則.21即要求估計盡量可靠即要求估計盡量可靠. 可靠度與精度是一對矛盾，可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度盡可能提高精度.(1)從未知參數(shù)從未知

5、參數(shù) 的某個點估計的某個點估計 出發(fā)，構(gòu)造出發(fā)，構(gòu)造 與與 的一個函數(shù)的一個函數(shù)W( , ) , 使得使得W的分布已知，且不依賴于未知參數(shù)的分布已知，且不依賴于未知參數(shù) 該函數(shù)通常稱為樞軸量該函數(shù)通常稱為樞軸量.,1(,)nXX 二二 構(gòu)造置信區(qū)間的方法構(gòu)造置信區(qū)間的方法1. 樞軸量法樞軸量法(3) 利用不等式運算，將不等式利用不等式運算，將不等式(1, )P aWb (2) 適當(dāng)選取兩個常數(shù)適當(dāng)選取兩個常數(shù)a, b，使對給定的，使對給定的 ，有有( , )aWb 等價變形為等價變形為1121(,)(,)nnXXXX即即( , )P aWb 1121 (,)(,) 1nnPXXXX 此時參數(shù)此

6、時參數(shù) 的置信水平為的置信水平為1-1- 的置信區(qū)的置信區(qū)間為間為12 ,. 2. 如何確定如何確定a , b我們總是希望置信區(qū)間盡可能短我們總是希望置信區(qū)間盡可能短. . 任意兩個數(shù)任意兩個數(shù)a和和b，只要它們的縱標(biāo)包含，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下下95%的面積，就確定一個的面積，就確定一個95%的置信的置信區(qū)間區(qū)間. .0uuu( )f uab950.950.950.cdab在在 概率密度為單峰且對稱的情形，概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)當(dāng)a =-b時求得的置信區(qū)間的長度為最短時求得的置信區(qū)間的長度為最短. .( , )W 0uuu)(ufab950.950.950.a =-babab

7、即使即使 的概率密度不對稱的情的概率密度不對稱的情形，如形，如 分布，分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對稱的分布，習(xí)慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間. .222( )n212( )n)(xfx)(2nX ( , )W 三三 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計2( ,)N 1 單個總體的情形21221,( ,)nnXXXNXS 設(shè)已給定置信水平為 ，并設(shè)，為來自總體的樣本，和分別是樣本均值和方差.N(0, 1)選選 的點估計為的點估計為nX求參數(shù)求參數(shù) 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例1 設(shè)設(shè)X1,Xn是取自是取自

8、 的樣本，的樣本， 2,已知),(2 N1nXZn取解：解： 尋找一個待估參數(shù)和尋找一個待估參數(shù)和估計量的函數(shù)估計量的函數(shù) ，要求，要求其分布為已知其分布為已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出Z取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率.,1 對給定的置信水平對給定的置信水平對于給定的置信水平對于給定的置信水平, 根據(jù)根據(jù)Z的分布，的分布，確定一個區(qū)間確定一個區(qū)間, 使得使得Z取值于該區(qū)間的取值于該區(qū)間的概率為置信水平概率為置信水平.2|1nXPzn 使使,1 對給定的置信水平對給定的置信水平221nnP XzXznn 2|1nXPzn 使使從中解得從中解得22,nnXzXznn221

9、nnP XzXznn 的一個置信水平為的一個置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間1置信區(qū)間的長度為置信區(qū)間的長度為22Lzn說明：說明：(2)置信區(qū)間的中心是樣本均值置信區(qū)間的中心是樣本均值(3)置信水平置信水平 越大，越大， 越大，因此越大，因此置信區(qū)間越長置信區(qū)間越長1/2z(4)樣本容量樣本容量n越大，置信區(qū)間越短越大，置信區(qū)間越短置信區(qū)間的長度為置信區(qū)間的長度為22Lzn(1)L越小，置信區(qū)間提供的信息越精確越小，置信區(qū)間提供的信息越精確( )b2 ，均值 的置信水平為1- 的置未知信區(qū)間為因方差未知，則因方差未知，則/2nXzn不是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量. .想法：用樣本均方差想法：用樣本均方

10、差 S 代替代替. . (1)nXtt nSn于是取于是取 對給定的置信水平對給定的置信水平 ,確定分位數(shù)確定分位數(shù)12(1),tn使使即即2| |(1)1Pttn 2|(1)1nXPtnSn 22(1),(1)nnSSXtnXtnnn均值均值 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.即為即為1從中解得從中解得22(1)(1) 1nnSSP XtnXtnnn 例例2 有一大批糖果有一大批糖果. .現(xiàn)從中隨機的取現(xiàn)從中隨機的取1616袋，袋，稱得重量稱得重量( (以克記以克記) )如下：如下： 設(shè)每袋糖果的重量近似服從正態(tài)分布，設(shè)每袋糖果的重量近似服從正態(tài)分布，試求總體均值試求總體均值

11、的置信水平為的置信水平為0.950.95的的置信區(qū)間置信區(qū)間506 508 499 503 504 510 497 512506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496514 505 493 496 506 502 509 496解：這是單總體方差未知，總體均值解：這是單總體方差未知，總體均值 的區(qū)間估計問題的區(qū)間估計問題.22(1),(1)nnssxtnxtnnn根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得/20.02510.95,/20.025,115,(1)(15)2.1315ntnt 這里這里503.75,6.2

12、022nxs均值均值 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為122(1),(1)6.20226.2022503.752.1315,503.7524,507.1nnssxtnxtnnn 均值均值 的置信水平為的置信水平為0.95 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為) 1() 1(222nSn 取樞軸量取樞軸量2221222(1)(1)(1)1nSPnn 從中解得從中解得22222212(1)(1)1(1)(1)nSnSPnn (2)方差方差 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.21 對給定的置信水平對給定的置信水平 ,確定分位數(shù)確定分位數(shù)122(1) ,n

13、 使使212(1) ,n2222212(1)(1),(1)(1)nSnSnn 方差方差 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為21 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.12221211,(1)(1)nSnSnn例例3 求例求例2 2中總體標(biāo)準(zhǔn)差中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平的置信水平 為為0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間解：解：根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得22/20.025221/20.975/20.0251/20.975,115,(1)(15)27.488,(1)(15)6.262nnn ，這里這里6.2022s 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為的置

14、信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.12221211,(1)(1)nSnSnn 代入具體數(shù)值算得代入具體數(shù)值算得15 6.202215 6.2022,27.4886.2624.58,9.60將具體值解：代入可得22212(1)(1)3.96,3.962WWnsmsSSnm因此所求置信區(qū)間為因此所求置信區(qū)間為120.02511(14) 3.962.022.1388xxt 4.15即為 ，0.11 由于所得置信區(qū)間包含由于所得置信區(qū)間包含0，實際中，實際中，認為采用這兩種催化劑所得的得率的認為采用這兩種催化劑所得的得率的均值沒有顯著差別均值沒有顯著差別.4.15所求區(qū)間為 ，0.112212/20.051/20.950.0518,0.34,13,0.29,0.10,(1,1)(17,12)2.59,11(1,1)(17,12)(12,17)2.38nsmsFnmFFnmFF解：這里因此所求置信區(qū)間為因此所求置信區(qū)間為0.3410.34,2.380.45,2.790.29 2.59 0.29正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間總體個數(shù)待估參數(shù)條件樞軸 量置 信 區(qū) 間一個20 已知 未 知 0/0,1nn XN22,nnXzXznn / (1)nn XSt n/ 2/ 2(1),(1)SnnSnnXtnXtn222(1)/1nSn2222