山東高考數(shù)學專題復習：立體幾何專題理

1、高考數(shù)學專題復習：立體幾何專題（理）一、山東省高考試題分析高考試卷中，立體幾何把考查的立足點放在空間圖形上，突出對空間概念和空間想象能力的考查。立體幾何的基礎是對點、線、面的位置關(guān)系的討論和研究，進而討論幾何體。高考命題時，突出空間圖形的特點，側(cè)重于直線與直線、直線與平面、兩個平面的位置的關(guān)系以及空間角、面積、體積的計算的考查，以便檢測考生立體幾何的知識水平和能力。高考試題中題型分布及分值比例（以下是近三年考題、考點、分值分布統(tǒng)計表）卷型題 序分 值 考查的題型及知識點09年4、5、185+5+12=22幾何體三視圖、面面垂直的判定、線面平行的判定、二面角10年3、195+12=17線面垂直與

2、平行的判定與性質(zhì)、線面角、幾何體的體積11年11、195+12=17幾何體的三視圖、線面平行的證明、以及二面角從上表可以看出：立體幾何均分在20分左右，高考的命題堅持以穩(wěn)定大局，控制難度，貫徹“說明”要求，命題的穩(wěn)定主要表現(xiàn)在：考查的重點及難點穩(wěn)定，高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與判定，線、面間的角的計算作為考查的重點；同時在創(chuàng)新方面做了一些有益的嘗試。1充分、必要條件與點線面位置關(guān)系的綜合高考對簡單邏輯用語中的充分、必要條件的考查，主要通過與其它部分的綜合問題出現(xiàn)，而與立體幾何相綜合的問題最為普遍，通過這種形式主要考查對充分、必要條件的理解和立體幾何部分的

3、幾何體、點線面的位置關(guān)系等嚴密性問題（09年理5）已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( )A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【解析】：由平面與平面垂直的判定定理知，如果m為平面內(nèi)的一條直線，則；反過來則不一定所以“”是“”的必要不充分條件答案：B（10年理3）在空間，下列命題正確的是（ ）（A）平行直線的平行投影重合 （B）平行于同一直線的兩個平面平行（C）垂直于同一平面的兩個平面平行 （D）垂直于同一平面的兩條直線平行【解析】由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以很容易得出答案D.本題考查空間直線與平面

4、的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)，屬基礎題?！军c評】：此類題目主要考查了立體幾何中垂直關(guān)系的判定和充分必要條件的概念解決此類問題的關(guān)鍵是弄清楚點線面之間的位置關(guān)系的判定此類小題是很容易出錯的題目，解答時要特別注意2三視圖與幾何體的面積、體積的綜合空間幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀察能力、歸納能力和空間想象能力，識別三視圖所表示的空間幾何體，柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征與新增內(nèi)容三視圖的綜合會重點考查，從近三年高考題來看，三視圖是出題的熱點，題型多以選擇題、填空題為主，屬中等偏易題隨著新課標的推廣和深入，難度逐漸有所增加（09年理4）一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積

5、為( ).2 2 2 正(主)視圖 2 2 側(cè)(左)視圖 A. B. C. D. 【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,俯視圖 圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案:C【點評】本題考查了立體幾何中的空間想象能力,由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能準確地計算出幾何體的體積. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 正（主）視圖俯視圖（11年理11）右圖是長和寬分別相等的兩個矩形給定下列三個命題：存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；存

6、在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖其中真命題的個數(shù)是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0【點評】：A.此題考查學生的空間想象能力，無論是命題形式與考查深度令人欣賞。應該說2007年以來，立體幾何刪去了傳統(tǒng)的球面距離、球的切接問題、空間距離等明顯降低了立體幾何的難度。但是，空間想象能力為考試說明的第三能力。因此，此題非常好，難度適當，形式自然，目的明確。3幾何體與線、面位置關(guān)系的綜合以空間幾何體為載體考查直線與平面平行或垂直、平面與平面平行或垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理和性質(zhì)定理證明線線平行或垂直、線面平行或垂直、面面平行或垂直，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線線垂直、線

7、面垂直、面面垂直為主，屬中檔題4空間向量與空間角和距離的綜合用空間向量解決立體幾何問題的基本步驟：（1）用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題（幾何問題向量化）；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾我有等問題（進行向量運算）；（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應的幾何意義（回歸幾何問題）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （09年理18）如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4， BC=CD=2， AA=2， E、E、F分別是棱AD

8、、AA、AB的中點（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值wwwks5ucom 解析：解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4， CD=2，且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1/A1D，又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因為平面FCC，平面FCC，所以直線EE/平面FCC（2）因為AB=4， BC=CD=2， 、F是棱AB的中點，所以BF=BC=CF

9、，BCF為正三角形，取CF的中點O，則OBCF，又因為直四棱柱ABCD-ABCD中，CC1平面ABCD，所以CC1BO，所以OB平面CC1F，過O在平面CC1F內(nèi)作OPC1F，垂足為P，連接BP，則OPB為二面角B-FC-C的一個平面角， 在BCF為正三角形中，在RtCC1F中， OPFCC1F， ， wwwks5ucom 在RtOPF中，所以二面角B-FC-C的余弦值為E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:（1）因為AB=4， BC=CD=2， F是棱AB的中點，所以BF=BC=CF，BCF為正三角形， 因為ABCD為等腰梯形，所以BAC=ABC=60

10、°，取AF的中點M，連接DM，則DMAB，所以DMCD，以DM為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（，-1，0），F(xiàn)（，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（，0），E1（，-1，1），所以，設平面CC1F的法向量為則 所以取，則，所以，所以直線EE/平面FCC（2），設平面BFC1的法向量為，則所以，取，則，所以，由圖可知二面角B-FC-C為銳角，所以二面角B-FC-C的余弦值為【點評】：本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計算考查空間想象能力和推理運算能力，以及應用向量知識解答問題的能力，向量法求二面角是一種獨

11、特的方法，因為它不但是傳統(tǒng)方法的有力補充，而且還可以另辟溪徑，解決傳統(tǒng)方法難以解決的求二面角問題向量法求二面角通常有以下三種轉(zhuǎn)化方式：先作、證二面角的平面角，再求得二面角的大??；先求二面角兩個半平面的法向量（注意法向量的方向要分布在二面角的內(nèi)外），再求得二面角的大小為向量夾角或其補角；先分別在二面角兩個半平面內(nèi)作棱的垂線（垂足不重合），又可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線的夾角二、2012年高考預測分析透析高考試題，可以看出本專題的熱點為：（1） 直線和平面平行、垂直的判定與性質(zhì)；（2） 兩個平面平行、垂直的判定與性質(zhì)；（3） 異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角；（4） 幾何體的表面積、體積，注

12、重與三視圖的交匯，以及割補思想、等價轉(zhuǎn)化思想在求體積方面的應用；（5） 利用空間向量來證明平行和垂直關(guān)系（包括線線垂直、平行；線面垂直、平行；面面垂直、平行）及利用空間向量解決求空間角；（6） 棱柱、棱錐、球的概念和性質(zhì)，棱柱、棱錐的復現(xiàn)率較高，在迎考中應繼續(xù)關(guān)注；（7） 尋找截面形狀，多面體的外切球、內(nèi)接球，計數(shù)問題，折疊問題也值得我們注意。從近幾年高考來看，一般以12個客觀題來考查線面關(guān)系的判定、表面積與體積、空間幾何體的性質(zhì)與識圖等，以1個解答題來考查線面關(guān)系的證明以及角的計算在高考中屬于中檔題目而三視圖作為新課標的新增內(nèi)容，在近三年高考中，有2次在此知識點命題，主要考查三視圖和直觀圖，

13、特別是通過三視圖來確定原圖形的相關(guān)量預計今后高考中，在命題規(guī)律呈現(xiàn)如下： （一）客觀題仍以幾何體的的三視圖與表面積與體積的計算、空間線面關(guān)系與命題、充要條件的結(jié)合為主預測1 空間幾何體的三視圖與其表面積、體積的求解相結(jié)合仍會是2012年高考的命題熱點。 1、 若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 2、已知一幾何體的三視圖如下，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）矩形；不是矩形的平行四邊形；ba正視圖俯視圖側(cè)視圖a有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體

14、；每個面都是等腰三角形的四面體； KS*5每個面都是直角三角形的四面體預測2 空間線面關(guān)系的判斷與命題、充要條件相結(jié)合會是今后高考命題的一個趨勢1、平面平面的一個充分條件是（ ）A. 存在一條直線 B. 存在一個平面 C. 存在一個平面 D. 存在一條直線2、已知三條不重合的直線m、n、l，兩個不重合的平面，有下列命題若； 若；若； 若；其中正確的命題個數(shù)是A1B2C3D4（二）解答題考查線面關(guān)系的位置關(guān)系和空間角預測3 解答題仍會以常規(guī)多面體（棱柱和棱錐）為載體，重點考查線面關(guān)系的邏輯推理與空間角的求解、空間向量的基本運算以及空間想象能力和邏輯推理能力和應用空間向量解決數(shù)學問題的意識和能力.

15、1、在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是邊長為的正三角形，點A1在底面ABC上的射影O恰是ABOCDA1B1C1BC的中點（）求證：A1ABC；（）當側(cè)棱AA1和底面成45°角時，求二面角A1ACB的大小余弦值；（）若D為側(cè)棱A1A上一點，當為何值時，BDA1C12、已知梯形ABCD中，ADBC，ABC =BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EFBC，AE = x，G是BC的中點。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF (如圖) .(1) 當x=2時，求證：BDEG ；(2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的

16、最大值；(3) 當 f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值.三、立體幾何專題練習1、某師傅需用合板制作一個工作臺，工作臺由主體和附屬兩部分組成，主體部分全封閉，附屬部分是為了防止工件滑出臺面而設置的三面護墻，其大致形狀的三視圖如右圖所示(單位長度: cm), 則按圖中尺寸，做成的工作臺用去的合板的面積為（制作過程合板的損耗和合板厚度忽略不計）（）A. B. C. D. 2、設、是空間不同的直線或平面，對下列四種情形： 、均為直線； 、是直線，是平面； 是直線，、是平面； 、均為平面。其中使“且”為真命題的是 （）A B C D 3、一個幾何體的三視圖如右圖，其中主視圖和左視圖都是邊

17、長為1的正三角形，那么這個幾何體的側(cè)面積為（） A B C D4、已知是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：若；若； 如果相交；若其中正確的命題是 （ ） ABCD5、如圖，已知是底面為正方形的長方體，點是上的動點（1）試判斷不論點在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面？并證明你的結(jié)論；（2）當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正切值的最大值6、如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，垂直于底面，分別為的中點。 (1)求證：；（2）求與平面所成的角；（3）求截面的面積。【參考答案】：1D，2C，3A，4D5、解：（1）不論點在上的任何位置，都有平面垂直于平面證明如下：由題意知，又 平面又平面 平面平面（2）解法一：過點P作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中 , ， 又在中，