步步高江蘇專用理高三數(shù)學大二輪專題復習與增分策略專題七坐標系與參數(shù)方程

1、第3講坐標系與參數(shù)方程【高考考情解讀】高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應用以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識高考中以解答題形式出現(xiàn)，中檔難度，分值為10分1 直線的極坐標方程若直線過點M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)幾個特殊位置的直線的極坐標方程(1)直線過極點：；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過M且平行于極軸：sin b.2 圓的極坐標方程若圓心為M(0，0)，半徑為r的圓方

2、程為：220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標方程(1)圓心位于極點，半徑為r：r；(2)圓心位于M(r,0)，半徑為r：2rcos ；(3)圓心位于M，半徑為r：2rsin .3 常見曲線的參數(shù)方程(1)圓x2y2r2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)圓(xx0)2(yy0)2r2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)拋物線y22px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(5)過定點P(x0，y0)的傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))4 直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位如圖，設M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角

3、坐標、極坐標分別為(x，y)和(，)，則，.考點一極坐標與直角坐標的互化例1在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是cos()3和sin28cos ，直線l與曲線C交于點A、B，求線段AB的長解cos()cos cos sin sin cos sin 3，直線l對應的直角坐標方程為xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲線C對應的直角坐標方程是y28x.解方程組，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即線段AB的長為16. (1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一(2)在與曲線的方程進行互化

4、時，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價性 (1)(2012陜西改編)求直線2cos 1與圓2cos 相交的弦長解直線2cos 1可化為2x1，即x；圓2cos 兩邊同乘得22cos ，化為直角坐標方程是x2y22x.將x代入x2y22x得y2，y.故弦長為2.(2)(2012湖南)在極坐標系中，曲線C1：(cos sin )1與曲線C2：a(a0)的一個交點在極軸上，求a的值解(cos sin )1，即cos sin 1對應的普通方程為xy10，a(a0)對應的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2得a.考點二參數(shù)方程與普通方程的互化例2(1)(2013江蘇

5、)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點的坐標解因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由xt1得tx1，代入y2t，得到直線l的普通方程為2xy20.同理得到曲線C的普通方程為y22x.聯(lián)立方程組解得公共點的坐標為(2,2)，.(2)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓y21上的任意一點，求點P到直線l的距離的最大值解由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，故直線l的普通方程為x2y0.因為P為橢圓y21上的任意一點，故可設P(2cos ，sin )，其中R.因此點P到直線l的距離是d.所以當k，

6、kZ時，d取得最大值. (1)參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等在參數(shù)方程化為普通方程時，要注意保持同解變形(2)參數(shù)方程思想的應用，不僅有利于曲線方程的表達，也成為研究曲線性質(zhì)的有力工具，如在求軌跡方程、求最值的問題中有廣泛的應用 (1)(2013廣東改編)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(1,1)處的切線為l，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求l的極坐標方程解由(t為參數(shù))，得曲線C的普通方程為x2y22.則在點(1,1)處的切線l的方程為y1(x1)，即xy20.又xcos ，ysin ，故l的極坐標方程為

7、cos sin 20.(2)(2013課標全國)已知動點P、Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點求M的軌跡的參數(shù)方程；將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點解依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)M點到坐標原點的距離d(0b0)，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標方程分別為sin()m(m為非零常數(shù))與b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓

8、O相切，求橢圓C的離心率解橢圓C的標準方程為1，直線l的標準方程為xym，圓O的方程為x2y2b2，由題意知，a2b22b2，a23b2，e.(2)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C2的極坐標方程為(cos sin )1，若曲線C1與C2相交于A、B兩點求線段AB的長；求點M(1,2)到A、B兩點的距離之積解由曲線C1的參數(shù)方程可得曲線C1的普通方程為yx2(x0)，由曲線C2的極坐標方程可得曲線C2的直角坐標方程為xy10，則曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入曲線C1的普通方程得t2t20，設A、B兩點對應的參數(shù)分

9、別為t1、t2，則t1t2，t1t22，所以AB|t1t2|.由可得MAMB|t1t2|2.1 解決直線、圓和圓錐曲線的有關問題，將極坐標方程化為直角坐標方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用在涉及圓、橢圓的有關最值問題時，若能將動點的坐標用參數(shù)表示出來，借助相應的參數(shù)方程，可以有效地簡化運算，從而提高解題的速度2 極坐標方程與普通方程互化核心公式：，.3 過點A(0，0) ，傾斜角為的直線方程為sin()0sin(0)特別地，過點A(a,0)，垂直于極軸的直線l的極坐標方程為cos a.平行于極軸且過點A(b，)的直

10、線l的極坐標方程為sin b.4 圓心在點A(0，0)，半徑為r的圓的方程為r2220cos(0)5 重點掌握直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))，理解參數(shù)t的幾何意義.1 在極坐標系中，求過圓6cos 的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標方程解把6cos 兩邊同乘以，得26cos ，所以圓的普通方程為x2y26x0，即(x3)2y29，圓心為(3,0)，故所求直線的極坐標方程為cos 3.2 已知極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同直線l的極坐標方程為，點P(1cos ，sin )，參數(shù)0,2)(1)求點P軌跡的直角坐標方程；(2)求點P到直線l距離的最大值解

11、(1)由得點P的軌跡方程(x1)2y21.(2)由，得，sin cos 9.曲線C的直角坐標方程為xy9.圓(x1)2y21的圓心(1,0)到直線xy9的距離為4，所以(PQ)min41.(推薦時間：60分鐘)1 (2013湖南改編)在平面直角坐標系xOy中，若直線l1：(s為參數(shù))和直線l2：(t為參數(shù))平行，求常數(shù)a的值解由消去參數(shù)s，得x2y1.由消去參數(shù)t，得2xaya.l1l2，a4.2 (2012江蘇)如圖，在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P，圓心為直線sin與極軸的交點，求圓C的極坐標方程解在sin中令0，得1，所以圓C的圓心坐標為(1,0)因為圓C經(jīng)過點P，所以圓C的半徑PC1，于

12、是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為2cos .3 在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程解由題設知，橢圓的長半軸長a5，短半軸長b3，從而c4，所以右焦點為(4,0)將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x2y20.故所求直線的斜率為，因此其方程為y(x4)，即x2y40.4 (2013重慶改編)在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系若極坐標方程為cos 4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，求AB的長解將極坐標方程cos 4化為直角坐標方程得x4，將x4代入得t2，從而y8.所以A(4,8)，B(4，8

13、)所以AB|8(8)|16.5 在極坐標系中，已知圓2cos 與直線3cos 4sin a0相切，求實數(shù)a的值解將極坐標方程化為直角坐標方程，得圓的方程為x2y22x，即(x1)2y21，直線的方程為3x4ya0.由題設知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有1，解得a8或a2.故a的值為8或2.6 求直線關于(R)對稱的直線方程解直線化為直角坐標方程為3x2y5，化為直角坐標方程為yx，則3x2y5關于yx對稱的直線方程為3y2x5，化為極坐標方程為3sin 2cos 5，即.7 在極坐標系中，P是曲線12sin 上的動點，Q是曲線12cos上的動點，試求PQ的最大值解12sin ，212s

14、in ，x2y212y0，即x2(y6)236.圓心坐標為(0,6)，半徑為6.又12cos，212(cos cossin sin)，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，圓心坐標為(3，3)，半徑為6.(PQ)max6618.8 已知曲線C1的極坐標方程為4sin ，曲線C2的極坐標方程為(R)，曲線C1，C2相交于點M，N.(1)將曲線C1，C2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求線段MN的長解(1)由4sin ，得24sin ，即曲線C1的直角坐標方程為x2y24y0，由(R)得，曲線C2的直角坐標方程為yx.(2)把yx代入x2y24y0，得x2x2x0，即x2x0，解得x1

15、0，x2，y10，y21.MN2.即線段MN的長為2.9 (2013遼寧)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系圓C1，直線C2的極坐標方程分別為4sin ，cos2.(1)求C1與C2交點的極坐標；(2)設P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值解(1)圓C1的直角坐標方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標方程為xy40.解得所以C1與C2交點的極坐標為，注：極坐標系下點的表示不唯一(2)由(1)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0,2)，(1,3)故直線PQ的直角坐標方程為xy20，由參數(shù)方程可得yx1，所以解得a1，b2.10(2012遼寧)在直角坐標系xOy中，圓C1：x2y24，圓C2：(x2)2y24.