概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)大綱

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)大綱（2002年制定 2004年修訂）課程編號：英 文 名：Probability Theory and Mathematical Statistics課程類別：學(xué)科基礎(chǔ)課前 置 課：高等數(shù)學(xué)后 置 課：計量經(jīng)濟學(xué)、抽樣調(diào)查、試驗設(shè)計、貝葉斯統(tǒng)計、非參數(shù)估計、統(tǒng)計分析軟件、 時間序列分析、統(tǒng)計預(yù)測與決策、多元統(tǒng)計分析、風(fēng)險理論學(xué) 分：5學(xué)分課 時：85課時修讀對象：統(tǒng)計學(xué)專業(yè)學(xué)生主講教師：楊益民等選定教材：盛驟等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，北京：高等教育出版社，2001年（第三版） 課程概述： 本課程是統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)課程，其

2、理論及方法與數(shù)學(xué)其它分支、相互交叉、滲透，已經(jīng)成為許多自然科學(xué)學(xué)科、社會與經(jīng)濟科學(xué)學(xué)科、管理學(xué)科重要的理論工具。由于其具有很強的應(yīng)用性，特別是隨著統(tǒng)計應(yīng)用軟件的普及和完善，使其應(yīng)用面幾乎涵蓋了自然科學(xué)和社會科學(xué)的所有領(lǐng)域。本課程是統(tǒng)計專業(yè)學(xué)生打開統(tǒng)計之門的一把金鑰匙，也是經(jīng)濟類各專業(yè)研究生招生考試的重要專業(yè)基礎(chǔ)課。本課程由概率論與數(shù)理統(tǒng)計兩部分組成。概率論部分側(cè)重于理論探討，介紹概率論的基本概念，建立一系列定理和公式，尋求解決統(tǒng)計和隨機過程問題的方法。其中包括隨機事件和概率、隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理等內(nèi)容；數(shù)理統(tǒng)計部分則是以概率論作為理論基礎(chǔ)，研究如何對試驗

3、結(jié)果進行統(tǒng)計推斷。包括數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、參數(shù)統(tǒng)計、假設(shè)檢驗、非參數(shù)檢驗、方差分析和回歸分析等。教學(xué)目的：通過本課程的學(xué)習(xí)，要求能夠理解隨機事件、樣本空間與隨機變量的基本概念，掌握概率的運算公式，常見的各種隨機變量（如01分布、二項分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等）的表述、性質(zhì)、數(shù)字特征及其應(yīng)用，一維隨機變量函數(shù)的分布、二維隨機變量的和分布、順序統(tǒng)計量的分布。理解數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的本質(zhì)涵義，掌握數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，熟練運用各種計算公式。了解大數(shù)定律和中心極限定量的內(nèi)容及應(yīng)用，熟悉數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)推斷的各種基本方法，能用

4、所掌握的方法具體解決所遇到的各種社會經(jīng)濟問題，為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計專業(yè)課打下堅實的基礎(chǔ)。教學(xué)方法：本課程具有很強的應(yīng)用性，在教學(xué)過程中要注意理論聯(lián)系實際，從實際問題出發(fā)，通過抽象、概括，引出新的概念。由于本課程是研究隨機現(xiàn)象的科學(xué)，學(xué)生之前從未接觸過，學(xué)習(xí)起來會感到難度較大，授課時應(yīng)突出重點，講清難點。要使學(xué)生明白，本課程主要研究哪些方面的問題，從何角度、用何原理和方法進行研究的，是怎樣研究的，得到哪些結(jié)論，如何用這些方法和結(jié)論處理今后遇到的社會經(jīng)濟問題。在教育中要堅持以人為本，全面體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，教師應(yīng)充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，注意隨時根據(jù)學(xué)生的理解狀況調(diào)整教學(xué)進度。授課要體現(xiàn)兩方面的作用：一是

5、為學(xué)生自學(xué)準備必要的理論知識和方法，二是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)。在教學(xué)中要體現(xiàn)計算機輔助教學(xué)的作用，采用多媒體技術(shù)，提高課堂教學(xué)的信息量。通過課堂計算機演示實驗，幫助學(xué)生加深對概念的理解。每次課后必須布置較大數(shù)量的思考題和作業(yè)，并加強課外輔導(dǎo)和答疑。各章教學(xué)要求及教學(xué)要點第一章 概率論的基本概念課時分配：13課時教學(xué)要求：1、了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關(guān)系與運算。2、理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、乘法公式、減法公式、全概率公式，以及貝葉斯公式。3、理解事件的獨立性的概念，掌握用事件

6、獨立性進行概率計算；理解獨立重復(fù)試驗的概念，掌握計算有關(guān)事件概率的方法。教學(xué)內(nèi)容：1、 隨機試驗、隨機事件與樣本空間 。2、  事件的關(guān)系與運算、  完全事件組 。3、  概率的概念、  概率的基本性質(zhì) 、 概率的基本公式  。4、 等可能概型 （古典概型）、 幾何型概率。 5、 條件概率 、全概率公式、貝葉斯公式。6、   事件的獨立性 、 獨立重復(fù)試驗。思考題：1、 事件A表示三個人對某問題的

7、回答中至少有一人說“否”，B表示三個人對某問題的回答都說“是”。試問：事件AÈB、AB各表示什么涵義？2、 社會經(jīng)濟現(xiàn)象是否只分成確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象？“某天的天氣狀況”是否屬于這兩類現(xiàn)象？試舉出至少三種不屬于這兩類現(xiàn)象的社會經(jīng)濟現(xiàn)象。3、 隨機事件與集合的對應(yīng)關(guān)系是怎樣的？4、 對立事件和不相容事件有何區(qū)別？5、 全概率公式和貝葉斯公式有何區(qū)別，各自能解決什么問題？6、 “小概率事件”是否不會發(fā)生？7、 “概率為零的事件”是否必然是不可能事件？第二章 隨機變量及其分布課時分配：10課時教學(xué)要求：1、理解隨機變量及其概率分布的概念；理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)；會計算與隨機變量相聯(lián)系的事

8、件的概率。2、理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握01分布、二項分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用。3、了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。4、理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布N(，)、指數(shù)分布及其應(yīng)用。5、 根據(jù)自變量的概率分布求其簡單函數(shù)的概率分布。教學(xué)內(nèi)容：1、 隨機變量及其分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)。2、 離散型隨機變量及其分布律。3、 連續(xù)型隨機變量及其概率密度。4、 常見隨機變量的概率分布。5、  隨機變量的函數(shù)分布。思考題：1、 引入隨機變量的意義何在？如何用微積分的工具來研究隨機試驗？2、 分布函

9、數(shù)有哪些性質(zhì)？3、 離散型隨機變量的分布律有哪些性質(zhì)？若有一組數(shù)，它們是不是某個離散型隨機變量的概率分布？4、 二項分布何時取得極大值？其極大值是什么？5、 什么類型的實際問題可以用二項分布來研究？如何解決二項分布的計算問題？6、 什么類型的實際問題可以用泊松（Poisson）分布來研究？7、 指數(shù)分布的密度函數(shù)在不同的教材上有不同的定義，它們的區(qū)別何在？8、 連續(xù)型隨機變量的概率密度有哪些性質(zhì)？9、 正態(tài)分布N(，)與標準正態(tài)分布的分布函數(shù)之間有何聯(lián)系？如何利用標準正態(tài)分布來計算正態(tài)分布N(，)落在某個區(qū)間的概率？10、 什么是正態(tài)分布的“3s法則”？如何利用“3s法則”來研究實際問題？11

10、、 若隨機變量X的密度函數(shù)不單調(diào)，如何求密度函數(shù)？第三章 多維隨機變量及其概率分布課時分配：12課時教學(xué)要求：1、理解二維隨機變量的概念、理解二維隨機變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)及兩種基本形式：離散型聯(lián)合概率分布，邊緣分布和條件分布；連續(xù)型聯(lián)合概率密度、邊緣密度和條件密度。會利用二維概率分布求有關(guān)事件的概率。2、理解隨機變量的獨立性概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機變量獨立的條件。3、掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義。4、會求兩個隨機變量的簡單函數(shù)（和、順序統(tǒng)計量）的分布。教學(xué)內(nèi)容：1、 二維隨機變量及其概率分布  。2、 二維離散型隨機變量

11、的概率分布、邊緣分布和條件分布。3、  二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，常用二維隨機變量的概率分布。4、  隨機變量的獨立性和相關(guān)性。5、  兩個隨機變量函數(shù)的分布。思考題：1、 二維隨機變量概率分布和相應(yīng)的兩個一維隨機變量的概率分布間有何聯(lián)系？2、 如何用一張概率分布表同時表示二維隨機變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律？能否同時表示兩個條件分布律？3、 二維均勻分布的聯(lián)合概率密度與一維均勻分布的概率密度有何共性？如何由此推出三維及n維隨機變量的聯(lián)合概率密度？4、 二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度和相應(yīng)的兩個一維正態(tài)分布的概率密度間有何聯(lián)系？5、 二維正態(tài)分

12、布的聯(lián)合概率密度各參數(shù)的涵義是什么？何時相應(yīng)的兩個一維正態(tài)分布是相互獨立的？6、 如何確定條件密度表達式的函數(shù)定義域？7、 設(shè)某離散型隨機變量與某連續(xù)型隨機變量是相互獨立的，如何求它們的和分布？8、 哪些獨立隨機變量具有可加性？9、 隨機變量的獨立性與事件的獨立性有何區(qū)別？第四章 隨機變量的數(shù)字特征課時分配：12課時教學(xué)要求：1、理解隨機變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標準差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，并會運用數(shù)字特征基本性質(zhì)計算具體分布的數(shù)字特征，掌握常用分布（如01分布、二項分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等）的數(shù)字特征。2、 會根據(jù)隨機變量的概率

13、分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會根據(jù)二維隨機變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。3、了解切比雪夫不等式及其應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：1、 隨機變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 。2、 方差、標準差及其性質(zhì)，切比雪夫（Chebyshev）不等式。3、 協(xié)方差、 相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)。4、  矩、協(xié)方差矩陣。思考題：1、 數(shù)學(xué)期望和方差的統(tǒng)計意義是什么？2、 如何求一維與二維隨機變量函數(shù)的期望？3、 寫出01分布、二項分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差。4、 數(shù)學(xué)期望和方差有哪些重要性質(zhì)？其中哪些性質(zhì)需要“相互獨立”這一前提條件？5

14、、 切比雪夫不等式的表達式是什么？它的證明過程中關(guān)鍵步驟是什么？它在處理實際問題中有何作用？6、 方差與協(xié)方差的實用計算公式是什么？7、 不相關(guān)與相互獨立之間的關(guān)系是怎樣的？若隨機變量X與Y不相關(guān)，它們是否必然相互獨立？若隨機變量X與Y是正態(tài)分布，結(jié)論怎樣？8、 若隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)r=0，是否說明X與Y之間沒有關(guān)系？舉例說明之。9、 事件A與B的相關(guān)系數(shù)是如何定義的？寫出其定義式。 10、n維正態(tài)分布有哪些重要性質(zhì)？第五章 大數(shù)定律和中心極限定理課時分配：4課時教學(xué)要求：1、了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨立同分布隨機變量的大數(shù)定律）。2、了解棣莫弗拉普拉斯定理（

15、二項分布以正態(tài)分布為極限分布）和列維林德伯格定理（獨立同分布的中心極限定理）。教學(xué)內(nèi)容： 1、幾乎處處收斂、依概率收斂、依分布收斂。2、切比雪夫大數(shù)定律、 伯努利大數(shù)定律、 辛欽（Khinchine）大數(shù)定律。3、 棣莫弗拉普拉斯（De MoivreLaplace）定理 、 列維林德伯格（LevyLindberg）定理。思考題： 1、幾乎處處收斂、依概率收斂、依分布收斂之間的關(guān)系是怎樣的？2、切比雪夫大數(shù)定律、 伯努利大數(shù)定律、 辛欽（Khinchine）大數(shù)定律成立的條件是什么，它們之間的差別是什么？3、哪個大數(shù)

16、定律可以用來說明頻率的穩(wěn)定性？試說明之。4、棣莫弗拉普拉斯定理和列維林德伯格定理之間的關(guān)系是怎樣的？5、 如何用列維林德伯格定理來近似求獨立同分布隨機變量的和分布？第六章 樣本及抽樣分布課時分配：6課時教學(xué)要求：1、 理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念。2、 了解 分布、t分布和F分布的概念及性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會查表計算。3、 了解正態(tài)總體的某些常用抽樣分布。教學(xué)內(nèi)容： 1、 總體、個體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差和樣本矩。2、  分布、t分布和F分布，分位數(shù)，正態(tài)總體的常用抽樣分布。思考題：1、 總體和隨機變量之間有何關(guān)系

17、？2、 什么是簡單隨機樣本？3、 數(shù)理統(tǒng)計中所說樣本空間和隨機變量X的樣本空間是否同一概念？4、 為何能用樣本觀察值推斷總體的狀況？它依據(jù)的原理是什么？5、 什么叫統(tǒng)計量？常用的統(tǒng)計量有哪些？6、  分布是怎樣定義的？它有哪些重要的性質(zhì)？它的主要作用是什么？寫出它的數(shù)學(xué)期望和方差。7、 t分布是怎樣定義的？它有哪些重要的性質(zhì)？它的主要作用是什么？寫出它的數(shù)學(xué)期望和方差。8、 F分布是怎樣定義的？它有哪些重要的性質(zhì)？它的主要作用是什么？寫出它的數(shù)學(xué)期望和方差。9、 隨機變量的上側(cè)a分位數(shù)和雙側(cè)a分位數(shù)是怎樣定義的？如何通過查表求標準正態(tài)分布、 分布、t分布和F分布的a分位數(shù)？

18、10、 關(guān)于正態(tài)總體的樣本均值、樣本方差有何重要結(jié)論？第七章 參數(shù)估計課時分配：8課時教學(xué)要求：1、 理解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念。2、 掌握矩估計法（一階、二階矩）和最大似然估計法。3、 了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性。4、 了解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)內(nèi)容：1、 點估計的概念、估計量與估計值。2、 矩估計法、 最大似然估計法。3、 估計量的評選標準。4、 區(qū)間估計的概念。5、 單個正態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計。6、 兩個正態(tài)總體的均

19、值差和方差比的區(qū)間估計。7、 （0-1）分布參數(shù)的區(qū)間估計。8、 單側(cè)置信區(qū)間。思考題：1、 參數(shù)估計主要處理在社會經(jīng)濟中遇到的什么類型的問題？2、 矩估計法的優(yōu)點和缺陷各是什么？3、  最大似然估計法依據(jù)的原理是什么？4、 寫出一般情況下最大似然估計法的解題步驟。這個步驟對服從均勻分布的總體是否適用？如何用最大似然估計法對服從均勻分布的總體進行點估計？5、 估計量有哪幾個評選標準？其中最基本的標準是什么？6、 為何要進行參數(shù)的區(qū)間估計？它與點估計相比有何優(yōu)越性？7、 寫出確定參數(shù)的置信區(qū)間的一般步驟。8、 單個正態(tài)總體均值的區(qū)間估計用到哪幾種抽樣分布？9、 單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估

20、計用到哪種抽樣分布？10、兩個正態(tài)總體的均值差的區(qū)間估計用到哪幾種抽樣分布？11、兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計用到哪種抽樣分布？第八章 假設(shè)檢驗課時分配：7課時教學(xué)要求： 1、 理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設(shè)檢驗的基本步驟，了解假設(shè)檢驗可能產(chǎn)生的兩類錯誤。2、了解單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗，會用公式進行單邊及雙邊假設(shè)檢驗。3、 了解分布擬合檢驗和秩和檢驗概念與步驟。教學(xué)內(nèi)容：1、 顯著性檢驗。2、 單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗。3、 假設(shè)檢驗的兩類錯誤，樣本容量的選取。4、 區(qū)間估計與假設(shè)檢驗之間的關(guān)系。5、 分布擬合檢驗。6、 秩和檢驗。思考題：1、

21、假設(shè)檢驗分為哪兩種類型？2、 假設(shè)檢驗主要處理在社會經(jīng)濟中遇到的什么類型的問題？3、 假設(shè)檢驗依據(jù)的原理是什么？4、 確定雙邊假設(shè)檢驗與單邊假設(shè)檢驗的原則是什么？5、 對單邊假設(shè)檢驗如何確定備擇假設(shè)？6、 寫出顯著性檢驗的一般步驟。7、 單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗用到哪幾種抽樣分布？它和區(qū)間估計有何異同？8、 單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗用到哪種抽樣分布？它和區(qū)間估計有何異同？9、 兩個正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗用到哪幾種抽樣分布？它和區(qū)間估計有何異同？10、兩個正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗用到哪幾種抽樣分布？它和區(qū)間估計有何異同？11、什么叫施行特征函數(shù)？如何用它來描述犯“取偽”錯誤的概率？12、對

22、單邊及雙邊假設(shè)檢驗，為同時控制犯兩類錯誤的概率，其必要樣本容量應(yīng)取多大？分別寫出其表達式。13、假設(shè)檢驗和區(qū)間估計之間的差別何在？14、 擬合檢驗法、偏度、嶧度檢驗法、秩和檢驗法各自適用于檢驗什么問題？如何提出原假設(shè)？第九章 方差分析和回歸分析課時分配：9課時教學(xué)要求：1、了解方差分析的基本思想，試驗因素和水平的意義。2、掌握平方和的分解，會作出方差分析表。3、了解回歸分析的基本思想。4、掌握一元線性回歸，了解可化為線性回歸的一元非線性回歸和多元線性回歸。5、了解線性相關(guān)性檢驗和利用回歸方程進行預(yù)測和控制。教學(xué)內(nèi)容：1、單因素和雙因素試驗的方差分析。2、一元線性回歸、非線性回歸、多元線性回歸。思考題：1、 方差分析主要處理在社會經(jīng)濟中遇到的什么類型的